\[\begin{array}{l}
{x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^5} = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0
\end{array}\]
\[ \Rightarrow {x^5} \ge 0 \Rightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \ge 1 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow {x^5} \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\]

Còn cái suy luận phía trên thì sao ạ. Nếu em tiếp tục đánh giá:

\[\begin{array}{l}
\Rightarrow {x^5} \ge 0 \Rightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \ge 1 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow {x^5} \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\\
\Rightarrow x + 1 \ge 2 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 4 \Rightarrow {x^5} \ge 4 \Rightarrow x \ge \sqrt[5]{4}... \Rightarrow x \to + \infty
\end{array}\]
Như vậy thì khoảng cần xét của $x$ là khoảng nào đây ạ?
Và như thế thì nghiệm $x \in \left( {1;2} \right)$ liệu có còn thỏa mãn

Anh Khuê nhòm phát là phát hiện ra ngay rồi .
Em đi đố nhiều người cắn bút mãi mới phát hiện ra.
@anh Khuê: Em gây sự chú ý cũng hiệu quả đấy chứ , 2 anh Admin đều tham gia
Thank các anh!

Mình muốn mọi người trao đổi chút về câu này.
Trước tiên hãy cứ post lời giải của các bạn lên đã nhé!

Câu V ( Khối D_2004)
Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm:
\[{x^5} - {x^2} - 2{\rm{x}} - 1 = 0\]

Các thầy cho em góp một số vấn đề, bài toán liên quan ạ. .
Bài toán 1
Bài toán 2

2) CMR a,b,c:
$\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}$ 2.($\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$)

Bài này có 1 số điểm trục trặc:
- Thiếu $abc \ne 0$

- Dễ thấy nhất : thay $a=b=c=1$ thấy ngay BĐT sai.

- Có vẻ thừa số 2 ( biến đổi tương đương sẽ thấy )

Cái này là thế nào đây.
Anh làm huấn luyện viên được không ?

TRẠI HÈ TOÁN HỌC 2011

Trại hè Toán học này được viện Toán học tổ chức với mục đích bổ sung các kiến thức nâng cao cho học sinh giỏi toán nhằm hướng tới các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Với sự tham gia của các giáo viên giàu kinh nghiệm trong lĩnh vực bồi dưỡng học sinh giỏi, trại hè cũng là nơi lý tưởng để các giáo viên học hỏi, trao đổi kinh nghiệm nhằm phục vụ tốt hơn công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

THÔNG BÁO SỐ 1

Thời gian: 15/8-20/8/2011
Địa điểm: Trung tâm Thực nghiệm Giáo dục Sinh thái và Môi trường Ba Vì, xã Tản Lĩnh, huyện Ba Vì, Hà Nội.
Ban tổ chức:
TS. Vũ Thế Khôi
TS. Nguyễn Chu Gia Vượng
(Viện Toán học, Viện Khoa học và Công Nghệ Việt Nam)
Nội dung hoạt động:
- Bài giảng về Toán dành cho học sinh và giáo viên
- Bài kiểm tra dành cho học sinh
- Giao lưu trao đổi kinh nghiệm về công tác bồi dưỡng học sinh tham gia thi HSG Toán
Đối tượng tham dự:
- Học sinh THPT, số lượng dự kiến 50.
- Giáo viên THCS; THPT, số lượng dự kiến 20.
Các giáo viên sau đã đồng ý giảng bài tại Trại hè:
- Thầy Hạ Vũ Anh (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
- Cô Phan Thị Hà Dương (Viện Toán học)
- Thầy Phùng Hồ Hải (Viện Toán học)
- Thầy Hà Huy Khoái (Viện Toán học)
- Thầy Nguyễn Khắc Minh (Bộ GD và ĐT)
- Thầy Nguyễn Duy Thái Sơn (ĐHSP Đà Nẵng)
Phí tham dự: 1,5 triệu đồng/người bao gồm chi phí ăn ở, học tập và thăm quan trong thời gian Trại hè. Trại hè sẽ xem xét miễn phí tham dự cho một số em học sinh có thành tích học tập tốt và hoàn cảnh khó khăn. Trong bản đăng ký cần ghi rõ tên và thành tích của học sinh xin miễn phí tham dự.
Hình thức đăng ký: Các học sinh tham dự theo đoàn, mỗi đoàn cần có ít nhất 1 giáo viên (hoặc phụ huynh) phụ trách đi cùng. Người phụ trách đoàn gửi thư điện tử các thông tin theo mẫu dưới đây về ban tổ chức.
Liên hệ: thông tin đăng ký hoặc câu hỏi cho ban tổ chức xin gửi về:
Vũ Thế Khôi, Viện Toán học 18 Hoàng Quốc Việt Hà Nội.
Điện thoại: 0935136372, Email: [email protected]
Thông tin chi tiết hơn về các hoạt động của Trại hè sẽ được đăng tải trong thông báo số 2.
Thông tin đăng ký:

- Tên và Địa chỉ nhà trường:
- Họ và Tên, Địa chỉ và Số điện thoại người phụ trách đoàn:
- Danh sách các thành viên trong đoàn: (tên học sinh, lớp học, địa chỉ và số điện thoại gia đình)
- Xin miễn phí tham dự: (tên học sinh, thành tích học tập)
- Thông tin khác: (nếu có)

Số lượng 50 người phải có tiêu chuẩn gì không ạ!Hay Đăng kí sớm là được ạ?

Có điều kiện gì của A,B,C không ?

Hỏi nhiều bài vậy em. Nhiều bài tương tự những bài em vừa hỏi rồi mà.
Em phải học gõ Latex đi nhé, không lần sau anh del bài đó!
Gợi ý:
Bài 1:
Chứng minh:
$\dfrac{a}{{a + b + c + d}} < \dfrac{a}{{b + c + a}} < \dfrac{{a + d}}{{a + b + c + d}}$
Tương tự sau đó công lại thấy $1<A<2$ suy ra A không nguyên!
Bài 2:
Áp dụng BĐT Shwarz có ngay:

$\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{b + a}} \ge \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{2(a + b + c)}} = 1$

Bài 3:
Thế ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$ vào và biến đổi là được.
Bài 4:
Giả thiết tương đương:
$ab + bc + ac = 0$
Bài 5:
....

Topic sôi đông thật. Mỗi Box đều có vài Topic về BĐT. Mọi người cần post tập trung để tránh phân tán.
Góp vui một bài:
Bài 32:
Giả sử hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} = 3\\{y^2} + yz + {z^2} = 16\end{array} \right.$ có nghiệm.

Chứng minh rằng:

$xy + yz + zx \le 8$

Góp một bài.
Bài 38:Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực dương. Biết : $a+b+c=1$
Chứng minh rằng:
\[ax + by + cz + 2\sqrt {(xy + yz + xz)(ab + ac + bc)} \le x + y + z\]

Bài 68:
Cho $a,b,c,d$ là các số dương. Chứng minh rằng:
\[\frac{{{a^2}}}{{b + c + d}} + \frac{{{b^2}}}{{a + c + d}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b + d}} + \frac{{{d^2}}}{{a + b + c}} \ge \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\sqrt {\frac{{\left( {ab + cd} \right)\left( {ad + bc} \right)}}{{ac + bd}}} \]

Bây giờ thì cho mình hỏi câu tích phân này:
Bài 6

$I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - {x^2} - 4x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 2}}dx} $

P/s: ongtroi và xusint vào giúp nhé!

Chém tiếp bài số 2 nè.

$$I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\left ( \frac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}} \right )dx$$

Biến đổi:
\[I = \int {\ln \left( {\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)dx} = \int {\ln \left( {\frac{{{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + {{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}} \right)} dx = \frac{1}{2}\int {\ln \left( {{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 2\tan \frac{x}{2} + 1} \right)dx} \]
Đặt $\tan \frac{x}{2} = t$ ta có:
\[I = \frac{1}{2}\int {\left( {{t^2} + 1} \right)\ln \left( {{t^2} + t + 1} \right)} dt\]
Đến đây thì mình dùng tích phân từng phần. Không biết ai có cách khác không?

em mới bắt đầu vào tích phân mong các bác giúp đỡ và hãy giải hết bài .ở câu $\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}dx} $ thì 1 phần hai ở đâu mà đủa ra ngoài vậy các bác em chủa hiểu chỗ đó ( ngay bứoc thứ 3) -(em k biết gõ telex mang các bác thông cảm )
P/s: Đề thế này phải không bạn?

Lưu ý: Bạn là phải viết tiếng Việt và gõ đúng công thức toán.

Xin giải căn kẽ đề bạn hiểu nhé.

$I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{dx}}{{{x^2} - 4x + 3}}} = \dfrac{1}{2}.\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{2}{{(x - 1)(x - 3)}}dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{(x - 1) - (x - 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}}dx} = \dfrac{1}{2}\left[ {\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{x - 1}}{{(x - 1)(x - 3)}}dx} - \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{x - 3}}{{(x - 1)(x - 3)}}dx} } \right]$

$ = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{dx}}{{x - 3}}} - \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{dx}}{{x - 1}}} } \right) = \dfrac{1}{2}\left[ {\ln (x - 3) - \ln (x - 1)} \right] = \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}}} \right|_{ - 1}^0$

Các bạn giải thử giúp mình nhé

Đang định khởi động lại Topic này thì may có bạn này giúp.
Mọi người tham gia nhiệt tình hơn nhé. Chỉ cẩn post hướng giải quyết, không nhất thiết phải đi đến đáp án cuối cùng ( mình biết gõ cái này khá khổ )
Trở lại bài của bạn trên.
Ta biến đổi như sau:
\[I = \int {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + \left( {x + 1} \right) + 1} }}} \]
Đặt :\[x + 1 = \frac{1}{t} \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{t^2}}}\]
Ta có:
\[I = \int {\frac{{\frac{{dt}}{{{t^2}}}}}{{\frac{1}{t}.\sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + \frac{1}{t} + 1} }}} = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + t + {t^2}} }}} = \int {\frac{{d\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} }}} = \ln \left| {t + \frac{1}{2} + \sqrt {{{\left( {t + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} } \right|\]

P/s: Mình trình bày kiểu nguyên hàm, không có cận cho dễ nắm bắt được ý tưởng.

Hêhê. Cứ góp vui thường xuyên nhé.
Xin phép làm 1 bài.

$$I_1=\int_{0}^{1}\frac{x^4+1}{x^6-1}dx$$

Ta biến đổi như sau:
\[I = \int {\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^6} - 1}}dx} = \int {\frac{{{x^4} + 1}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}dx} = \int {\frac{{\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right) - 1}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}dx} \]
\[I = \int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}} - \int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}} - \int {\frac{{dx}}{{{x^6} - 1}}} = \int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}} - \int {\frac{{dx}}{{\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)}}} - \frac{1}{2}\int {\frac{{\left( {{x^3} + 1} \right) - \left( {{x^3} - 1} \right)}}{{\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)}}dx} \]
Đến đây chắc hết khó khăn rồi.

Cậu Phúc và mọi người thử sức với 2 câu này nhé:
Bài 10:
\[{I_1} = \int {\frac{{{x^4}}}{{{x^6} + 1}}dx} \]
Bài 11:
\[{I_2} = \int {\frac{{2\sin x + 3\cos x}}{{{{\left( {4\sin x + 5\cos x} \right)}^2}}}dx} \]

Mình muốn tham khảo ý kiến về cách giải câu tích phân này:
Bài 5:

$I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} dx} $

Bài 3: (Tích phân hàm hữu tỉ)
a) $\int\limits_0^1 {\dfrac{{x^{2001} dx}}{{\left( {x^2 + 1} \right)^{1002} }}} $
b) $\int\limits_0^1 {\dfrac{{x^3 dx}}{{\left( {x^8 - 4} \right)^2 }}} $
c) $\int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {2x^2 + 5x - 2} \right)dx}}{{x^3 + 2x^2 - 4x - 8}}} $

Bài làm
a)$\[\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^{2001}}}}{{{{({x^2} + 1)}^{1002}}}}dx} = \dfrac{1}{2}.\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^{2000}}}}{{{{({x^2} + 1)}^{1002}}}}d} ({x^2} + 1) = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{{(t - 1)}^{1000}}}}{{{t^{1002}}}}} dt = ...\]$
Dạng quen thuộc r�ồi....
b)$\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^3}}}{{{{({x^8} - 4)}^2}}}dx} = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{d({x^4})}}{{{{({x^8} - 4)}^2}}}} = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} - 4}}} = ...$
Dạng quen thuộc r�ồi....
c)$\int\limits_0^1 {\dfrac{{2{x^2} + 5x - 2}}{{{x^3} + 2{x^2} - 4x - 8}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{2{x^2} + 5x - 2}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 2)}}dx} $
Dùng hệ số bất định là xong....

Xin làm nốt câu 1b.
Ta có:
$\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{(x + 1)(x - 2)}}} = \dfrac{1}{3}.\int\limits_0^1 {(\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}})dx} = \dfrac{1}{3}(\ln \left| {x - 2} \right|\left| {_0^1} \right. - \ln \left| {x + 1} \right|\left| {_0^1} \right.)$

Góp cho Việt một bài. Tính các tích phân bất định:
1. $$I=\int \dfrac{dx}{x+\sqrt{x^{2}+x+1}}$$

Lâu mới lên diễn đàn.
Làm bài này của anh Thành post lên năm ngoái vậy
Đặt: \[\begin{array}{l}
x + \sqrt {{x^2} + x + 1} = t \\
\Leftrightarrow {\left( {t - x} \right)^2} = {x^2} + x + 1 \\
\Leftrightarrow {t^2} - 2tx = x + 1 \\
\Leftrightarrow x = \frac{{{t^2} - 1}}{{1 + 2t}} \\
\end{array}\]
Tiếp theo tính $dx$ để đưa về hàm phân thức hữu tỷ ẩn $t$.
Với biểu thức của $x$ như trên ta dễ dàng tính được: $dx = \frac{{2\left( {{t^2} + t + 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 2t} \right)}^2}}}dt$
Bây giờ ta chỉ cẩn tính: $\int {\frac{{2\left( {{t^2} + t + 1} \right)}}{{t{{\left( {1 + 2t} \right)}^2}}}dt} $.
Việc này khá đơn giản khi ta dùng hệ số bất định.

TÍCH PHÂN ÔN LUYỆN

CÂu hỏi về tÍch phÂn luÔn luÔn xuất hiện trong đề thi Đại học- Cao đẳng.
Mình thấy các topic về TÍch phÂn còn lẻ tẻ nên mình xin lập một topic về TÍch phÂn để mọi người cùng thảo luận.
Mong mọi người ủng hộ nhé! ( đừng spam nhé )
Mình sẽ post lên nhưng bài tập để mọi người cùng làm. Làm xong nếu có thể mọi người post thêm bài cho mọi người tham khảo nhé.
(Sẽ là những bài tÍch phÂn khÔng quá khó, tiện lợi cho việc Ôn thi Đại học)

Bài 1: ( Dạng tÍch phÂn hàm hữu tỷ )
a) $\int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 3}}dx} $

b) $\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} $

c) $\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^3} + 1}}} dx$

Bài 2: (khó hơn 1 chút xÍu)
a)$\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} $

b)$\int\limits_0^2 {\dfrac{{{x^5} - x}}{{{x^8} + 1}}dx} $

c)$\int\limits_1^3 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{x.({x^3} - 4).({x^4} - 4x + 1)}}dx} $

Rất cảm ơn mọi người!

Bài 5:Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn :$\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 9\\
x \ge 5;x + y \ge 8
\end{array} \right.$
Chứng minh rằng:$xyz \le 15$

Ngoài cách của Đạt phía trên thì còn nhiều cách giải cho bài này .
Xin post lên 1 cách:
Ta dùng pp phản chứng.
Ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 9\\
x + y \ge 8
\end{array} \right. \Rightarrow z \le 1\]
Giả sử: \[xyz \ge 15 \Rightarrow xy \ge \frac{{15}}{z} \ge 15\]
Ta có: \[x + y + z = 5.\frac{x}{5} + 3.\frac{y}{3} + z = 2.\frac{x}{5} + 2.\left( {\frac{x}{5} + \frac{y}{3}} \right) + \left( {\frac{x}{5} + \frac{y}{3} + z} \right)\]
Theo BĐT AM-GM thì:

$ \Leftrightarrow x + y + z \ge 5 + 2.2\sqrt {\frac{{xy}}{{15}}} + 3\sqrt[3]{{\frac{{xyz}}{{15}}}} > 9$ ( vô lý)

Suy ra giả sử sai và suy ra được đpcm.

Phạm vi các bài toán có bị giới hạn không Vương.
Xin góp vui một bài :
Bài 5:Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn :$\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 9\\
x \ge 5;x + y \ge 8
\end{array} \right.$
Chứng minh rằng:$xyz \le 15$