Bài 1:
Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng: $$\sum {\dfrac{a}{{b^3 + 16}}} \ge \dfrac{1}{6}$$

1. Cho a,b $\geq$0
a+b=2
Tìm max, min của P=$(a^{2}+1)(b^{2}+1)$

2. Cho x,y $\epsilon \left [ 0;1 \right ]$
Tìm max P=xy(x-y)

3. Cho x,y,z $\epsilon \left [ 0;1 \right ]$
Tìm max P= x²y + y²z + z²x - x²z - z²y - y²x

Bài 1: ( có thể dài dòng bằng cách lớp 6 này )
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
a = 1 + t \\
b = 1 - t \\
\end{array} \right.\left( {0 \le t \le 1} \right)$
Ta có: \[\begin{array}{l}
P = \left( {{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 1} \right)\left( {{{\left( {1 - t} \right)}^2} + 1} \right) = \left( {{t^2} + 2t + 2} \right)\left( {{t^2} - 2t + 2} \right) = {t^4} + 4 \\
Do\left( {0 \le t \le 1} \right) \Rightarrow 0 + 4 \le P \le 1 + 4 \Leftrightarrow 4 \le P \le 5 \\
\end{array}\]
Bài 2:
Do $x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow P \le 1.y\left( {1 - y} \right) \le \frac{{{{\left( {y + 1 - y} \right)}^2}}}{4} = \frac{1}{4}$

Nếu một số có hai chữ số chia cho số hàng đơn vị của nó thì được thương là 6 và dư 5. Tìm số đó.

Gọi số cần tìm là $\overline {ab} $với$a = \overline {1,9} ,b = \overline {0,9} $
Theo bài ta có:
$10a + b = 6b + 5 \Leftrightarrow 10a = 5b + 5 \Leftrightarrow a = \dfrac{{b + 1}}{2}$
Dễ thấy $b$ là số lẻ
$ \Rightarrow b \in \{ 1;3;5;7;9\} $ (rồi suy ra $a$ tương ứng)
Vậy số cần tìm là $\overline {ab} \in \{ 11;23;35;47;59\} $
P/s: Mình vội quá nên nhầm đáp số.!

Cho $x> 0;y> 0;x+y<1$. Chứng minh $\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq 4$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{1}{{{x^2} + xy}} + \frac{1}{{{y^2} + xy}} \ge \frac{4}{{{x^2} + {y^2} + 2xy}} = \frac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} > 4\,\,\left( {do\,x + y < 1} \right)$