Bài toán. Cho $P$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $ \widehat{APB}-\widehat{ACB}=\widehat{APC}-\widehat{ABC}$. Gọi $D$, $E$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $APB$, $APC$. Chứng minh rằng $AP$, $DB$, $CE$ đồng quy.

Mọi người đều biết rằng 0,(1)=$\frac{1}{9}$
Nhưng có ai biết 0,(9)=... gì ko
điền p/số thích hợp nhé

http://diendantoanhoc.net/index.php?/topic/11722-099-1/
Close thớt

Tìm một số  có 2 chữ số mà 8 lần chữ số hàng chục chia cho  chữ số hàng đơn vị thì được thương 5 dư 3(ghi rõ cách giải)

Lời giải.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{ab}$ với $0<a\leq 9$, $0\leq b\leq 9$ và $a$, $b$ nguyên.

Theo bài ra ta có $8a=5b+3\Leftrightarrow b=\frac{8a-3}{5}$.

Để $b$ là số nguyên thì $5\mid 8a-3$ tức là $8a$ phải tận cùng là $3$ hoặc $8$. Mặt khác vì $8$ là số chẵn nên không thể tận cùng là số $3$ (số lẻ), vậy chỉ còn trường hợp tận cùng là $8$.

Với $a\in \left ( 0;9 \right ]$ thì chỉ có $a=1$ hoặc $a=6$ thì tận cùng là chữ số $8$.

Từ đó tìm ra được hai số là $11$ và $69$.

 

 

số 69 thỏa nè

Mình nghĩ lần sau bạn nên trình bày lời giải ra cụ thể hơn thay vì đưa ra đáp số.

Cho tam giác $ABC$. Vẽ về phía ngoài của tam giác các hình vuông $ABDE, ACFG$ có tâm theo thứ tự là $M$ và $N$. Gọi $I$ và $K$ theo thứ tự là trung điểm của $EG$ và $BC$. 

a) Chứng minh $KMIN$ là hình vuông.

b) Chứng minh $IA \bot BC$.

Bạn xem ở đây nhé, mở rộng cho bài toán này ở đây.

Bài toán. Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} \left | x-1 \right |+\left | x-2 \right |+...+\left | x-2016 \right |=2031120 & \\ x^{3}-3x+2=y\sqrt{y}+3y & \end{matrix}\right.$$

Bài toán. Cho $a$, $b$, $c>\frac{1}{2}$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^{2}}{\sqrt{5-2\left ( b+c \right )}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{5-2\left ( c+a \right )}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{5-2\left ( a+b \right )}}$.

Bài toán. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left ( x+my-4 \right )^{2}+\left [ 2x+\left ( m-1 \right )y+1 \right ]^{2}$ với $m$ là tham số.

Làm một bài nhẹ nhàng giải trí xí nhỉ mọi người , mấy bạn post bài khó quá nhìn thấy choáng .
=========
Bài toán: Cho phương trình $x^{3}+ax^{2}+x+b=0$ có ba nghiệm dương phân biệt và gọi ba nghiệm đó lần lượt là $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$. Chứng minh rằng $\dfrac{x_{1}^{3}}{x_{2}+x_{3}}+\dfrac{x_{2}^{3}}{x_{2}+x_{1}}+\dfrac{x_{3}^{3}}{x_{1}+x_{2}}>\dfrac{1}{2}$.

Bài toán. Giải hệ phương trình sau $$\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1=0 \\ \sqrt{2xy^{2}+9x^{2}+x-4y+1}+\sqrt{2xy^{2}+4y^{2}+8y-5x+9}=\sqrt{-2xy^{2}+\left ( 3x+2y \right )^{2}+29x+20y+16} \end{matrix}\right.$$

sai thì thôi nhé .
áp dụng hệ thức Vi-ét ta có $\left\{\begin{matrix} x_{1}x_{2}x_{3}=-b \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a \\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}= 1 \end{matrix}\right.$
áp dụng bđt Chebyshez vào vế trái của bđt cần chứng minh ta có
$VT\geq \frac{1}{3}(\sum x_{1}^{3})(\sum \frac{1}{x_{2}+x_{3}})$
mặt khác áp dụng bđt Holder ta có
$(\sum x_{1}^{3})(1+1+1)(1+1+1)\geq (\sum x_1)^{3}$
và theo C-S
$\sum \frac{1}{x_{2}+x_{3}}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{2\sum x_{1}}$
từ các bđt trên ta cần chứng minh $\frac{1}{3}\frac{(-a)^{3}}{9}\frac{9}{-2a}\geq \frac{1}{2}$
hay $a^{2} \geq 3$
mà ta có $\sum x_{1}^{2}\geq \sum x_{1}x_{2} \Rightarrow (\sum x_{1})^{2}\geq 3\sum x_{1}x_{2}= 1$
như vậy ta có $\sum \frac{x_{1}^{3}}{x_{2}+x_{3}}\geq \frac{1}{2}$
mà dấu "=" không thể xảy ra nên ta có đ.p.c.m

Bài này chọn đội tuyển của tỉnh mình, post lên mới thấy có anh kia post đề rồi lời giải của bài này ở đây.

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^{7}+y^{7}+z^{7}=4$

Bạn qua đây thảo luận nhé

cho $x^{2}+y^{2}=2$,chứng minh $-2\leq x+y\leq 2$ và $-1\leq xy\leq 1$

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\left ( x+y \right )^{2}\leq \left ( 1^{2}+1^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )=4$$

 

Giải phương trình : $x^3+\frac{1}{x^3}=6(x+\frac{1}{x})$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\neq 0$.

$$x^{3}+\dfrac{1}{x^{3}}=6\left ( x+\dfrac{1}{x} \right )$$

Giải hệ:

$ \left\{\begin{matrix} (4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0\\ 4x^2+y^2+2\sqrt{3-4x}=7  \end{matrix}\right. $

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\leq \frac{3}{4}$, $y\leq \frac{5}{2}$.

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

$$\left ( 4x^{2}+1 \right )x=\left ( 3-y \right )\sqrt{5-2y}$$

Cho a, b, c thỏa mãn: $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{a+b+c}$

Chứng minh rằng với mọi k lẻ thì $a^{k}+b^{k}+c^{k}=(a+b+c)^{k}$

Lời giải.

Ta có:

$$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{a+b+c}$$

$a)\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=1\\ 125y^{5}-125y^{3}+6\sqrt{15}=0 \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Dễ thấy $y=0$ không phải nghiệm của hệ do đó xét $y\neq 0$ ta có:

$$125y^{5}-125y^{3}+6\sqrt{15}=0$$

Giải phương trình: $\frac{(x+1)^5}{x^5+1}=\frac{81}{11}$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\neq -1$.

Phương trình tương đương:

$$\dfrac{\left ( x+1 \right )^{5}}{x^{5}+1}=\dfrac{81}{11}$$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{y}-2=\sqrt{3x-2y}+6 \\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-2y}}=6(x+y)-4 \end{matrix}\right.$

Nhìn đề bài cứ "thế nào" ấy bạn kiểm tra lại lần nữa giúp mình với nhé.

Giải PT $x+1=(2x+1)\sqrt{\sqrt{x+1}+2}$

Lời giải.

Điều kiện xác định $x\geq -\frac{1}{2}$.

Bình phương hai vế phương trình ta được:

$\left ( x+1 \right )^{2}=\left ( 2x+1 \right )^{2}\left ( \sqrt{x+1}+2 \right )$

Bài toán: Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng: $\sum \dfrac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}\leq \dfrac{3}{2}$.

Giải phương trình: $3\sqrt{x^3-1}=x^2+3x-1$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq 1$.

Phương trình tương đương:

$$3\sqrt{x^{3}-1}=x^{2}+3x-1$$

Bài toán: Giải phương trình $3x^{2}-2x-2=\dfrac{6}{\sqrt{30}}\sqrt{x^{3}+3x^{2}+4x+2}$.

Bài toán. Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $M$ là điểm di động trên cạnh $AC$. Hạ $MH$, $MK$ lần lượt vuông góc với $AD$, $CD$ ($H$, $K$ lần lượt thuộc $AD$, $CD$). Gọi $E$ là giao điểm của $AK$ và $CH$. Chứng minh rằng $E$, $M$, $B$ thẳng hàng và $E$ là trực tâm của tam giác $BHK$.

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. Gọi $D$ là một điểm trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $AC$. $F$, $K$ lần lượt là giao điểm của $EH$ với $AC$, $AD$ với $HC$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ biết $AC:x+y-1=0$, $FK:6x-8y-13=0$, $E\in d:x-6y=0$ ($x_{E}>0$) và $y_{A}>0$.

K là điểm xác định như thế nào vậy bạn?

Xin lỗi, mình gõ sai điểm, đã chỉnh lại đề rồi bạn nha.