Cho tứ diện $ABCD$ có $BD=2$, hai tam giác $ABD$, $BCD$ có diện tích lần lượt là $6$ và $10$. Biết thể tích của tứ diện $ABCD$ bằng $16$, tính số đo góc giữa hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(BCD)$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{1-x}+\sqrt{3x-1}$.

Tính tổng $S=\dfrac{-C^1_n}{2.3}+\dfrac{2C^2_n}{3.4}-\dfrac{3C^3_n}{4.5}+...+\dfrac{(-1)^n.nC^n_n}{(n+1)(n+2)}$

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3 và luôn chứa chữ số 0.

Cho $a,b$ thỏa $\sqrt{a+5}-\sqrt{b-2}=3$ và $\sqrt{a-7}-4\sqrt{b+1}=-6$. Tính $M=a-4b$

Cho $x,y$ là các số thực dương thoả $x<1<y<e$ và $x-x\ln x=y-y\ln y$. Chứng minh $x+y>2$.

Giải BPT $3-x+\sqrt{6-8x}\ge 10x^2+\sqrt{2x+1}$

Trong một giải đấu bóng bàn, số vận động viên nam nhiều gấp đôi số vận động viên nữ. Mỗi cặp vận động viên thi đấu với nhau đúng một lần và không có trận hòa, chỉ có thắng-thua. Tỉ số giữa số trận thắng của nữ và số trận thắng của nam là $\dfrac{7}{5}$. Tìm số vận động viên của giải đấu.

Cho biểu thức $P=\sqrt{\dfrac{x(x-2)}{x+1}}$. Giả sử $x$ là số thực thỏa mãn $\sqrt{x^2-x-2}+3\sqrt{x}\ge \sqrt{5x^2-4x-6}$ thì có bao nhiêu giá trị $P$ nguyên dương?

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của biểu thức

$P=\sqrt{1+a^{2017}}+\sqrt{1+b^{2017}}+\sqrt{1+c^{2017}}$.

Tìm $m$ để bất phương trình $\log 5+\log x^2+1 \ge \log mx^2+4x+m$ có nghiệm đúng với mọi $x\ne 0$.

Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Gọi $O,I$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC$.

Chứng minh $AM\perp OI$ khi và chỉ khi $\dfrac{2}{BC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Biết rằng tồn tại số $n$ nguyên dương để phương trình $3^x-3^{-x}=2\cos nx$ có đúng 2017 nghiệm. Tìm số nghiệm của phương trình $9^x+9^{-x}=4+2\cos 2nx$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $y=(m-4)$ cắt đồ thị hàm số $y=(x^2-1)(x^2-9)$ tại 4 điểm phân biệt?

Đường cong $y=(x^2+ax+6)(x^2+bx+12)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đồng thời biểu thức $Q=|a|+|b|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $M=Q+ab$