Spam xí: Đề này đúng mà @@ nguyên văn từng dấu câu luôn @@

Tớ nhớ không lầm là $P(x)$ bậc sáu mà ! (Để mất $G(x)$ đi)
Hôm đấy tớ cho thằng ngồi trên tớ chép bài này mà. Tớ chép lại nó câu hình, bị thầy giáo bắt được ! Mệt !

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
a) $\sum \frac{b+c}{a}\geq 4\sum ab\sum \frac{1}{a^2}$

a) Mình nghi đề của cậu sai lắm !
Chắc có BĐT này thôi:
$\sum \frac{b+c}{a}\geq \frac{2}{3} \sum ab\sum \frac{1}{a^2}$
Hay đầy đủ hơn là:
${\frac {a+b}{c}}+{\frac {b+c}{a}}+{\frac {c+a}{b}} \geq \frac{2}{3}\, \left( ab+bc+ac \right) \left( {a}^{-2}+{b}^{-2}+{c}^{-2}
\right) $

Bài toán: Cho đa thức $P\left ( x \right )$ với hệ số nguyên. Biết rằng $P\left ( x \right )$ nhận giá trị bằng $1$ với $6$ giá trị nguyên phân biệt của $x$. Tìm các giá trị của $x$ để $P\left ( x \right )=2002$.

Từ giả thiết ta có:
$P(x)=((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)-1)G(x)$
Vậy $P(x)=2002$ khi và chỉ khi:
$((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)-1)G(x)=2002$
Suy ra $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)-1 \in \{\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 11,\pm 13,\pm 14,\pm 22,\pm 26,\pm 77,\pm 91,\pm 143,\pm 154,\pm 182,\pm 286,\pm 1001,\pm 2002 \}$
Hay $a_1a_2a_3a_4a_5a_6-1 \in
\{\pm 1,\pm 2,\pm 7,\pm 11,\pm 13,\pm 14,\pm 22,\pm 26,\pm 77,\pm 91,\pm 143,\pm 154,\pm 182,\pm 286,\pm 1001,\pm 2002 \}$
với $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ nguyên và phân biệt
Do đây là phương trình nghiệm nguyên !
Giả sử có số $k$ trong tập hợp trên, khi đó $a_1a_2a_3a_4a_5a_6=k+1$
Mà $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ nguyên và phân biệt
Suy ra $k+1$ khi phân tích thành thừa số thì phải có ít nhất 4 nhân tử khác 1 và -1 !
Chỉ có duy nhất một số trong tập hợp trên thỏa mãn là $k=-1001$ thôi (thử là biết)
Suy ra $P(x)=-1001G(x)$
Suy ra $G(x)=-2$ với mọi $x$
Nhưng do tồn tại $x=x_1$ để $P(x)=1$ hay $G(x)=-\frac{1}{1001}$
Từ đó suy ra vô lý
__________________________________________
P/s: Tôi nhớ đề là khác cơ, bởi vì chính bài này đã hạ nhục tôi !

Bài toán. Cho $x=1,y=2$. Thực hiện trò chơi như sau. Từ hai số $x$ và $y$ được phép viết $x+y+xy$. Hỏi có thể viết được số $2011$ không?

Em đoán là không được ! Thử làm như này xem đúng không ?
Ta có:
$2011$ phải viết dưới dạng $m+n+mn$
Suy ra $\{m = 0, n = 2011\}, \{m = 1, n = 1005\}, \{m = 3, n = 502\}, \{m = 502, n = 3\}, \{m = 1005, n = 1\}, \{m = 2011, n = 0\}$
Vậy ta phải tìm được số $1005$
Tương tự với số $1005$, ta phải tìm được số $502$
Xét phương trình nghiệm nguyên $502=a +b+ab$
Ta tìm được $\{a = 0, b = 502\}, \{a = 502, b = 0\}$
Suy ra vô lý
Vậy không thể tìm được !

1. Cho a,b,c >0 và a+b+c$\leq 1$ , tìm gtnn của :
$A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
$B= \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

a) $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
$=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2ca}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2ca}$
$\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2abc}$
$\geq 30$
$A_{min}=30$ khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
b) $B= \frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^{2}+ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
$\geq \frac{16}{(a+b+c)^2}=16$
___________
P/s: Post chậm !

Hình như đề cũ đúng đó bạn... có 2 nghiệm rất đẹp: $1$ và $-\sqrt{2}$
(có điều mình đang giải, đáp số đã đc thử.. ^^ ,)

Sai rồi cậu à !
1 không phải là nghiệm mà 0,9992396116 mới là nghiệm !
$-\sqrt{2}$ không phải là nghiệm mà -1,411788153 mới là nghiệm !

Bài 1 Cho a,b,c là các số thực dương và $a+b+c=3$ chứng minh bất đẳng thức sau
$$\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a} \le 1$$

Chém bài 1 nhanh:
Áp dụng UTC ta có:
$\frac{a^2b}{2a+b} \leq \frac{a^2+2ab}{9} \Leftrightarrow \frac{-2a(a-b)^2}{9(2a+b)} \geq 0$ luôn đúng
Suy ra $\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}\leq \frac{(a+b+c)^2}{9}=1$

Đình chiến đi !
__________________________________________
Ý kiến của mình là:
1. Tin UFO là có thật (tuy tớ hỏi Phạm Tuân về cái này, ông ấy bảo là không có thật)
2. Nhưng mình thấy trong video ấy và cả trong part 2 của video ấy nữa thì một số cái là do lỗi kĩ thuật hoặc UFO thực chất chỉ là một hiệu ứng gây ra bởi các hạt từ tính vũ trụ lên bộ cảm biến hoặc thiết bị tích điện kép của máy ảnh.
3. Một số cái đúng là đáng ngờ thật đó !

Cho $$a,b$$ dương và $$x,y,z$$ dương với $$x+y+z=1$$. Chứng minh rằng:

$$\left(a+\dfrac{b}{x}\right)^4+\left(a+\dfrac{b}{y}\right)^4+\left(a+\dfrac{b}{z}\right)^4\geq 3\left(a+3b\right)^4$$

Áp dụng BĐT:
$$m^4+n^4+p^4 \geq \dfrac{\left(m+n+p\right)^4}{27}$$
Ta được:
$$\left(a+\dfrac{b}{x}\right)^4+\left(a+\dfrac{b}{y}\right)^4+\left(a+\dfrac{b}{z}\right)^4$$
$$\geq \dfrac{\left(3a+\dfrac{b}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{b}{z}\right)^4}{27}$$
$$\geq \dfrac{\left(3a+\dfrac{9b}{x+y+z}\right)^4}{27}$$
$$=\dfrac{\left(3a+9b\right)^4}{27}$$
$$=3\left(a+3b\right)^4$$