Nếu trùng xóa hộ :
Bài 269: Cho $|x|\leq 1;n\in N*$, CMR:
$(1+x)^n+(1-x)^n \leq 2^n$

Bài 295: Cho x,y,z thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1-\frac {9}{16} xy$
Tìm GTLN của biểu thức $P=xy+xz+yz$
Bạn nào post mấy cái đề lên cho mọi người cùng làm

Oạch bài này dùng "Cân bằng hệ số à", sao đáp án của em lẻ quá
$x^2+y^2+z^2=1-\frac {9}{16} xy\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+\frac {9}{16} xy=1(1)$
Dễ thấy vai trò của $x,y$ như nhau nên xác định được điểm rơi ở $x=y=tz$ (t là tham số dương). Vậy cần xác định tham số $a,t$ sao cho (1) tương đương với phương trình sau:
$a(x-y)^2+(x-tz)^2+(y-tz)^2\geq 0(2)$
BIến đổi:
$(2)\Leftrightarrow ax^2+ay^2-2axy+x^2+t^2z^2-2txz+y^2+t^2z^2-2tyz\geq 0$
$\Leftrightarrow (a+1)x^2+(a+1)y^2+2t^2z^2\geq 2axy+2tyz+2txz$
$\Leftrightarrow (a+1)x^2+(a+1)y^2+2t^2z^2+\frac{9}{16}(a+1)xy\geq (\frac{41}{16}a+\frac{9}{16})xy+2tyz+2txz$
Từ đó ta có cách chọn tham số $a,t$ như sau:
$\left\{\begin{matrix}a+1=2t^2\\ \frac{41}{16}a+\frac{9}{16}=2t\end{matrix}\right.$
Tìm được tham số rồi thay ngược lên là ra
Nhưng số xấu quá
P/s: Ai có cách nào khác không

Bài này giải kiểu gì vậy mọi người

Hệ hoán vị vòng quanh này còn hiền chán :
$\left\{\begin{matrix}(x+y+z)^3=12t\\ (y+z+t)^3=12x\\ (z+t+x)^3=12y\\ (t+x+y)^3=12z\end{matrix}\right.$
-Giả sử $t>x\Rightarrow 12t>12x\Rightarrow (x+y+z)^3>(y+z+t)^3\Rightarrow x+y+z>y+z+t\Rightarrow x>t$. Mẫu thuẫn với giả sử !
-Giả sử $t<x\Rightarrow 12t<12x\Rightarrow (x+y+z)^3<(y+z+t)^3\Rightarrow x+y+z<y+z+t\Rightarrow x<t$. Mẫu thuẫn với giả sử !
Vậy $t=x$
*C/m hoàn toàn tương tự ta có: $x=y=z=t$, thay vào phương trình ta có:
$(3x)^3=12x\Leftrightarrow 27x^3-12x=0\Leftrightarrow ...$

Mặt khác, ta có $x^2\vdots x$ $\Rightarrow 1\vdots x\Rightarrow x=\pm 1$.

Không thể có khẳng định như trên vì gt không cho $x\in Z$ mà
Bài giải đúng thì phải theo phương pháp quy nạp toán học

Bài toán 8: Cm Nesbit 4 biến khi vừa cm được Nesbit 3 biến (Nesbit được coi là lớp 9 không nhỉ ?)
Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$, CMR:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$

Lời giải sai lầm

-Áp dụng BĐT Nesbit 3 biến, ta có:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq \frac{3}{2}$
$\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
$\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$
$\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}\geq \frac{3}{2}$
Cộng vế với vế ta có:
$3(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b})\geq 6$
$\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2<Q.E.D>$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d$

Lời giải khá đẹp . Nhưng ta để ý thấy với $a=c;b=d$ thì đẳng thức vẫn xảy ra! Lỗi sai ở đâu

Đây là 4 biến mà

Ôi trời, vậy để bàn muộn muộn một chút đi anh, làm bọn em tưởng ... ="='
Suýt nữa bỏ văn đi mò đề toán thật
--------
Vậy dự kiến mùa giải sau tất cả các mem sẽ send đề cho BGK, BGK chọn đề chứ ko theo turn như năm nay nữa ạ?

Em nghĩ thời gian hơi gấp rút vì tính đến khi bọn em thi xong thì cũng 25-26 rồi (khéo hơn). Mà thời gian chọn đề chắc cũng tầm 1 ngày (Ai chả thích chơi đề hiểm ). Các anh cũng sẽ vất vả nếu nhiều mem gửi (ít mem khéo còn không chọn nổi ="='). Không biết có kịp không
P/s: Thế nếu vậy thì người được chọn tính sao ạ?

Hết rồi à

-------------

Đáp án là Tư Mã Ý
Ai ra tiếp nào

Go on! Mong chờ topic này từ 3 tháng trước

----------

Topic này hay thiệt, giờ mới biết
Đáp án chắc là "nhà đá"

Chuẩn men :

-------------------------------

Cũng dễ thôi, mình chưa nghĩ ra cái nào khó hơn

Cho $a,b,c>0$ .CMR
$\sum \frac{a^{3}b}{1+ab^{2}}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$
và
$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. CMR
$\sum \frac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Góp vui vài bài:
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$

Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
2/cho a,b,c $\geq 0$ .CMR:
a)$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
b)$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a+b+c+1)^2$
c)$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$
d)$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$
e)$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

Tất cả những bài trên đều nằm trong quyền Cauchy-Schwarz của anh VQBC và Trần Quốc Anh.
Mong các bạn đóng góp bài từ nhiều nguồn khác nhau, hoặc tự chế bài càng tốt!

Hì hóa ra lớp 11 mới chính thức học cái quy nạp toán học, giờ em mới biết thế
Bài 3: Tính tổng sau theo $n$ (Dự đoán vs c/m):
$S=1^4+2^4+3^4+...+n^4$
Bài 4: Chứng minh rằng nếu n là một hợp số lớn hơn 4 thì ta có tích P = 1.2.3...(n - 1) chia hết cho n.
Bài 5:Chứ ng minh rằng với mọi số nguyên đồng (tiền Việt Nam) lớn hơn 6 có thể đổi ra tiền lẻ không dư bằng những đồng tiền gồm những tờ 2 đồng và 5 đồng

Chắc chất lượng bài không đảm bảo

8 đồng = 2 đồng + 2 đồng + 2 đồng +2 đồng. Đề có bắt là phải đủ 2 loại tờ đâu ạ
Bài 3 ai giúp em được không, e đang cần cái công thức này ạ
Thanks mn:D

Bài toán: Giải hệ phương trình sau trên tập các số nguyên tố:
$$\left\{\begin{matrix}x=2t^2-1\\ y=3t^2-2\\ z=4t^2-3\end{matrix}\right.$$

Cho một bài giải phương trình bậc cao
Bài toán: Giải phương trình $$x(2008-x^{2007})=2007$$

Từ giả thiết thấy $x\neq 0$
$x(2008-x^{2007})=2007\Leftrightarrow 2008-x^{2007}=\frac{2007}{x}\Leftrightarrow x^{2007}+\frac{2007}{x}=2008$
Dễ thấy $x>0$, áp dụng BĐT AM-GM cho 2008 số, ta có:
$VT=x^{2007}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+...+\frac{1}{x}(2007 số \frac{1}{x})\geq 2008\sqrt[2008]{x^{2007}.\frac{1}{x}.\frac{1}{x}...\frac{1}{x}}=2008=VP$
Giả thiết cho ở dấu bằng nên: $x^{2007}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1$(Loại $x=-1$ vì $x>0$)
Vậy phương trình có nghiệm $x=1$

Đưa lên bài này cho mọi người tham khảo!
Bài 4: Cho $a,b,c>0;a+b+c=3$. CMR:
$\frac{a}{3a^2+5}+\frac{b}{3b^2+5}+\frac{c}{3c^2+5}\leq \frac{3}{8}$

@Tú: ảnh bạn Thảo Bi, lớp trưởng hóa 3 khối mình nhé:

Hi cậu xinh hơn mà, post ảnh của mình lên đi

Ko tin

Con chó nói phét
P/s: focus 1 tấm cho tin

Bạn thân cấp 2, không phải ny hay gf:

NO PTS, em nó chỉ để khung thôi.
Gạch đá đê...

Bài 92: Giải phương trình $$\sqrt {5{x^2} + 14x + 9} - \sqrt {{x^2} - x - 20} = 5\sqrt {x + 1} $$
ĐỀ THI THỬ KHỐI A+B LẦN V CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC

Không biết tác giả bài này có ý đồ gì
$ĐKXĐ:x\ge 5(*)$
$$pt\Leftrightarrow \sqrt{5x^2+14x+9}=\sqrt{x^2-x-20}+5\sqrt{x+1}\\ \Leftrightarrow 5x^2+14x+9=x^2+24x+5+10\sqrt{(x+1)(x^2-x-20)}\\ \Leftrightarrow 2x^2-5x+2=5\sqrt{x^3-21x-20}\\ \Leftrightarrow 4x^4-20x^3+33x^2-20x+4=25(x^3-21x-20)\\ \Leftrightarrow 4x^4-45x^3+33x^2+505x+504=0\\ \Leftrightarrow (x-8)(4x+7)(x^2-5x-9)=0$$
-Giải pt trên, đối chiếu với $(*)$ ta thu được $x=8;x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}$
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm $x=8;x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}$
P/s: Nghiệm lẻ ="='

Rất khâm phục ông và cái chuyên đề của ông . Từ nay tui sẽ cố phân tích ĐTTNT các đa thức bậc cao mà không xài wolfram
Làm bập bẹ một câu đã :
$x^4+12x^3+21x^2-24x+5\\ =x^4+9x^3-5x^2+3x^3+27x^2-15x-x^2-9x+5\\=x^2(x^2+9x-5)+3x(x^2+9x-5)-(x^2+9x-5)\\=(x^2+3x-1)(x^2+9x-5)$
P/s: Để được lời giải có mấy dòng này không dễ dàng gì

Đang hứng, chém thêm con :
$x^4-6x^3-132x^2+885x+500\\=x^4+3x^3-100x^2-9x^3-27x^2+900x-5x^2-15x+500\\=x^2(x^2+3x-100)-9x(x^2+3x-100)-5(x^2+3x-100)=(x^2-9x-5)(x^2+3x-100)$

$A=x^8+14x^4+1=(x^8+4x^6+6x^4+4x^2+1)-(4x^6-8x^4+4x^2)$
-Áp dụng hằng đẳng thức: $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$, ta có:
$A=(x^2+1)^4-[(2x^3)^2-2.2x^3.2x+(2x)^2]$
$=(x^4+2x^2+1)^2-(2x^3-2x)^2$
$=(x^4+2x^2+1-2x^3+2x)(x^4+2x^2+1+2x^3-2x)$


$x^8+98x^4+1$
$=(x^8+64x^4+1+2.8x^6+2.8x^2+2.x^4)-(16x^6-32x^2+16x^2)$
$= (x^4+8x^2+1)^2-(4x^3-4x)^2$
$=(x^4+8x^2+1-4x^3+4x)(x^4+8x^2+1+4x^3-4x)$
Có thể phân tích tiếp, nhưng lại ra căn nên thôi
P/S: Có phải bé nào bên hm ko )

Bài 41 (IMO Shortlist 2012): Cho $x,y$ là các số nguyên dương dương thỏa mãn $x^{2^n}-1$ chia hết cho $2^ny+1$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $x=1$.

Bài 40
Cho $k$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa $3^{k}\mid 2^{n}-1$

Giả sử $n$ là một số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán. Dễ thấy $n$ chẵn. Đặt $n=2n'$, ta phải tìm các số nguyên dương $n'$ sao cho $3^{k}\mid 4^{n'}-1$. Tất cả các số nguyên $n'$ cần tìm là bội của $ord_{3^k}(4)$.

 --------------------------------------

- Ta có $ord_{3}(4)=1$. Đặt $ord_{3^k}(4)=h$ thì theo định nghĩa ta có: $4^h-1\vdots 3^k\rightarrow v_3(4^h-1)\ge k$. Theo bổ đề LTE suy ra:

$$v_3(4-1)+v_3(h)\ge k\Leftrightarrow v_3(h)\ge k-1\Leftrightarrow 3^{k-1}| h\ (1)$$

Mặt khác: $4^{3^{k-1}}-1\vdots 3^k\Rightarrow h| 3^{k-1}\ (2)$ (cũng sử dụng bổ đề LTE)

 

-Từ (1) và (2) suy ra $h=3^{k-1}$ hay $ord_{3^k}(4)=3^{k-1}$ suy ra tất cả các số nguyên $n'$ cần tìm là bội của $3^{k-1}$ hay tất cả các số nguyên $n$ cần tìm là bội của $2.3^{k-1}$