Xét tính đơn điệu của hàm số sau:

$y=\left ( \int_{0}^{2x-3} \frac{1}{\sqrt{1+t^{4}}}dt\right )^{2}$

Mọi người cho mình cách giải cụ thể tích phân tổng quát này với.

$\int \frac{Bx^{2}+C}{x^{4}-x^{2}+1}dx$

$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x\sin\frac{1}{x},\: x\neq 0 & \\ 
0,\: x=0 & 
\end{matrix}\right.$

a) x^{4}-3x+1=0

b) x^{6}-x=1

c) 2^{x}=4x

Tìm k để hàm số liên tục trên khoảng (-1;1)

f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{ln(1+x)-ln(1-x)}{x} (0<\left | x \right |<1)& \\
 k(x=0)&
\end{matrix}\right.

1） $\lim_{x\rightarrow 2}\left ( x-2 \right )cos\frac{x}{x^{2}-5x+6}$

2) $\lim_{x\rightarrow +\infty }x\left [ ln(x+1)-lnx \right ]$

3) $\lim_{x\rightarrow +\infty \left ( sin\sqrt{x+1}-sin\sqrt{x} \right )}$

4) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(cos3x)}{ln(cos5x)}$

5) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+4x^2-5x^3)}{ln(1+2x^2+3x^3}$

6) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx.cos2x.cos3x}{1-cosx}$

7) $\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ sinln(x+1)-sinlnx \right ]$

Giải giúp em nhé

$\int_{0}^{ \frac{\Pi}{2}}\frac{sinx.dx}{(sin + \sqrt{3}cos x)^{3}}$

Chị chỉ hướng dẫn cách làm thôi nhé.

Biểu thức đã cho viết lại được thành:

 $\frac{1}{8}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinx}{sin^3\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )}$

Đến đây em đặt: $x+\frac{\pi }{3}=t\Rightarrow dx=dt$. Em tự đổi cận, còn chị sẽ thu gọn giúp em phần nguyên hàm.

$\frac{1}{16}\int \frac{1}{sin^2t}dt-\frac{\sqrt{3}}{16}\int \frac{1}{sin^3t}d(sint)$

Đến đây là phần việc của em. Tự thay cận vào để tính.

Tinh tich phan $\int_{0}^{\pi /4}xtan^2xdx$

Sử dụng tích phân từng phần:

$u=x\Rightarrow u'=1$

$v'=tan^2x\Rightarrow v=tanx-x$

$\Rightarrow I=x(tanx-x)-\int \frac{1}{cosx}d(cosx)+\int xdx$. Đến đây tự thế cận tính tiếp.

$\int \frac{x^{2}}{(x^{2}-9)(x^{2}-4)}dx

$I=\int \frac{x^2-4+4}{(x^2-9)(x^2-4)}dx=\int \frac{1}{x^2-9}dx+4\int \frac{1}{(x^2-9)(x^2-4)}dx$

Xét $I_1=\int \frac{1}{x^2-9}dx=\frac{1}{6}\int \frac{1}{x-3}dx-\frac{1}{6}\int \frac{1}{x+3}dx=\frac{1}{6}ln\left | \frac{x-3}{x+3} \right |+c$

Xét $I_2=\frac{4}{5}\int \frac{1}{x^2-9}dx-\frac{4}{5}\int \frac{1}{x^2-4}dx=\frac{2}{15}\int \frac{1}{x-3}dx-\frac{2}{15}\int \frac{1}{x+3}dx-\frac{1}{5}\int \frac{1}{x-2}dx+\frac{1}{5}\int \frac{1}{x+2}dx$

Đến đây tính tiếp

Tính nguyên hàm: $$\int \left(\cos3x\cos4x+\sin^32x\right)dx$$

Nguyên hàm đã cho viết lại được thành:

$\frac{1}{2}\int cos7xdx+\frac{1}{2}\int cosxdx+\frac{3}{4}\int sin2xdx-\frac{1}{4}\int sin6xdx$

đến đây áp dụng công thức:

$(sinu(x))'=u'(x)cosu(x)$

$(cosu(x))'=-u'(x)sinu(x)$

để tính tiếp nguyên hàm còn lại.

Tính nguyên hàm: $$\int \left(e^x+2e^{-x}\right)^2dx$$

Xa thời cấp 3, ko động đến tích phân, ko biết có nhớ chính xác nguyên hàm ko nữa, sai mọi người chỉ hộ nhé.

nguyên hàm đã cho có thể viết được thành:

$=\int e^{2x}dx+4\int e^{-2x}dx+4\int dx$

Đặt: $t=e^{2x}\Rightarrow e^{2x}dx=\frac{1}{2}dt$$\Rightarrow \int e^{2x}dx=\frac{1}{2}t+c$

Đặt: $u=e^{-2x}\Rightarrow e^{-2x}dx=\frac{-1}{2}du\Rightarrow 4\int e^{-2x}dx=-2e^{-2x}$

Tính tích phân sau:

$\int_{0}^{pi}\frac{x.sinx}{1+sin^{2}x}dx$

Mọi người cho em hỏi bài này làm sao ạ. 

Không ngồi ở cấp 3 nữa, nhớ mang máng cách đặt, làm thử. Sai đâu thì mọi người chỉ giúp nhé.

Đặt: $x=\pi -t\Rightarrow dx=-dt$. Ta thu được tích phân mới:

$I=\int_{0}^{\pi }\frac{(\pi -t)sint}{1+sin^2t}dt=\int_{0}^{\pi }\frac{\pi sint}{1+sin^2t}dt-\int_{0}^{\pi }\frac{tsint}{1+sin^2t}dt$

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi }\frac{\pi sint}{1+sin^2t}dt$

$=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi }\frac{sint}{2-cos^2t}dt=\frac{\pi }{2}\int_{-1}^{1}\frac{1}{2-u^2}du$

Tích phân cuối cùng đặt: $u=\sqrt{2}sinv\Rightarrow du=\sqrt{2}cosvdv$. Tích phân còn lại là tích phân cơ bản.

Giải phương trình lượng giác :$2((sinx)^4+(cosx)^4)+\sqrt{3}(sin4x)=2$

Biểu thức $sin^4x+cos^4x=1-\frac{1}{2}sin^22x$

Phương trình đã cho viết gọn lại thành

 $sin^22x-2\sqrt{3}sin2x.cos2x=0$

$\Leftrightarrow sin2x.(sin2x-2\sqrt{3}cos2x)=0$

Phương trình trong ngoặc là phương trình cơ bản.

$sin2x-2\sqrt{3}cos2x=0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{13}}sin2x-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}cos2x=0$

Đặt $\frac{1}{\sqrt{13}}=cos\varphi$; $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=sin\varphi$

Từ đó phương trình trở thành:

$sin2x.cos\varphi -sin\varphi cos2x=0\Leftrightarrow sin(2x-\varphi )=0$

Cho cơ sở của không gian $R^{3}$

$P_1=(1,2,0)$; $P_2=(1;-1;2)$; $P_3=(0;1;1)$

Bài này đọc trong giáo trình toán cao cấp phần đstt của ĐH KTQD (trang 257) mình không hiểu cách xác định X vì người viết sách chỉ đưa ra luôn kết quả.

 Tại sao có thể xác định được X là vecto 3 chiều có toạ độ trong cơ sở trên là $(3;4;-5)$

Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật A và ma trận cầu cuối B. Hãy xác định tổng chi phí trực tiếp (chi phí mua các sản phẩm đầu vào) của mỗi ngành, khi tổng sản phẩm của mỗi ngành đúng bằng tổng cầu:

$A=\begin{pmatrix} 0,2 &0,3 &0,2 \\ 0,4 &0,1 &0,3 \\ 0,3 &0,5 &0,2 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 150\\ 200\\ 210\end{pmatrix}$

Bài này mình không cần mọi người phải giải cụ thể, chỉ cần viết cho mình viết công thức tính chi phí mua các sản phẩm đầu vào cho mình là được rồi. Mình đọc giáo trình đstt không thấy ghi cách tính.

$sin(2x+\frac{17\pi }{2})+16=2\sqrt{3}sinxcosx +20sin^{2}(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{12})$

Biến đổi lần lượt như sau:

$sin\left ( 2x+\frac{17\pi }{2} \right )=sin\left ( 8\pi +\frac{\pi }{2} +2x\right )=cos2x$

$2\sqrt{3}sinx.cosx=\sqrt{3}sin2x$

$20sin^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{12} \right )=10-10cos\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )$

Phương trình đã cho viết gọn lại thành:

   $cos2x-\sqrt{3}sin2x+10cos\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )+6=0$

$\Leftrightarrow 2\left ( \frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x \right )+10cos\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )+6=0$

$\Leftrightarrow cos\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )+5cos\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )+3=0$

$\Leftrightarrow 2cos^2\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )+5cos\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )+2=0$

$\Leftrightarrow \left [ cos\left ( x+\frac{\pi }{6}\right )+2 \right ]\left [ 2cos\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )+1 \right ]=0$

Không tính định thức, chứng minh rằng:

a)$\begin{vmatrix} y+z & z+x &x+y \\ y_{1}+z_{1} & z_{1}+x_{1} & x_{1}+y_{1}\\ y_{2}+z_{2} & z_{2}+x_{2} & x_{2}+y_{2} \end{vmatrix}$=2$\begin{vmatrix} x & y &z \\ x_{1} & y_{1} &z_{1} \\ x_{2} &y_{2} &z_{2} \end{vmatrix}$

 

Bài này sử dụng tính chất của định thức cũng làm tương tự.

b) $\begin{vmatrix} a_1+b_1x &a_1x+b_1 &c_1 \\ a_2+b_2x &a_2x+b_2 &c_2 \\ a_3+b_3x &a_3x+b_3 &c_3 \end{vmatrix}=(1-x^2)\begin{vmatrix} a_1 &b_1 &c_1 \\ a_2 &b_2 &c_2 \\ a_3 &b_3 &c_3 \end{vmatrix}$

 

Cái này thì phải biến đổi vế trái của định thức:

$VT=\begin{vmatrix} a_1 &b_1 &c_1 \\ a_2 &b_2 &c_2 \\ a_3 &b_3 &c_3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b_1x &a_1x &c_1 \\ b_2x &a_2x &c_2 \\ b_3x &a_3x &c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 &b_1 &c_1 \\ a_2 &b_2 &c_2 \\ a_3 &b_3 &c_3 \end{vmatrix}-x^2\begin{vmatrix} a_1 &b_1 &c_1 \\ a_2 &b_2 &c_2 \\ a_3 &b_3 &c_3 \end{vmatrix}$

$=\left ( 1-x^2 \right )\begin{vmatrix} a_1 &b_1 &c_1 \\ a_2 &b_2 &c_2 \\ a_3 &b_3 &c_3 \end{vmatrix}$ bằng vế phải $\Rightarrow$ Điều phải cm.

Mấy bài phương trình ma trận của bạn lấy ở đâu thế? Mình chưa gặp bao giờ.

Mình tìm kiếm ở trên mạng thôi bạn ạ. Thế bạn đã giải được tất cả các phương trình mình đăng chưa??

Giờ mình cũng đang tìm hiểu về mấy cái này. Mấy cái phương trình ma trận đa thức đọc một tí đã thấy loạn lên @.@ Mà bạn giải ma trận trên truờng số thực hay trường số phức vậy?

 

Vừa xem cái này. Bạn có thời gian thì đọc nhé. Mình đọc lướt một tí thấy có vẻ đúng với phần này. Hi vọng có thể giúp bạn được.

 

1207.6027.pdf

Cái này mình phải in ra để nghiên cứu thôi. Đọc lướt thì mình thật sự không thẻ hiểu nổi, mà lại bằng tiếng anh nữa. Mà chỉ thấy cách giải ma trận bậc 2 thôi bạn ạ.

Ai có phương pháp làm cụ thể của mấy bài này không chỉ giúp mình với? Mình cảm ơn nhiều.

Riêng với bài 3 mình thử giải theo cách này, không biết có đúng không. Các bài kia hiện chưa nghĩ ra

Phương trình đặc trưng: 

$\begin{vmatrix} 3-\lambda & 4 &0 \\ 0& 3-\lambda & 0\\ 0 &0 &-3-\lambda \end{vmatrix}=(-3-\lambda)(3-\lambda)^2=0$

 

$\rightarrow \lambda=\pm 3$

Gọi $G_1, G_2$ là phổ chiếu (dịch từ từ spectral projector, mình chưa gặp từ này trong tiếng Việt nên không biết nó gọi là gì ) của ma trận A đã cho ($A: X^4=A$).

Có:

$\left\{\begin{matrix} \lambda_1G_1+\lambda_2G_2=A\\ G_1+G_2=I_3 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} -3G_1+3G_2=A\\ G_1+G_2=I_3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} G_1=\frac{-A+3I_3}{6}\\ G_2=\frac{A+3I_3}{6}\end{matrix}\right.$

 

$G_1=\begin{bmatrix} 0 &-\frac{2}{3} &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$,     $G_2=\begin{bmatrix} 1 &\frac{2}{3} &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix}$

 

$X^4=A\Rightarrow X=\pm A^{\frac{1}{4}}=\pm (\lambda_1^{\frac{1}{4}}G_1+\lambda_2^{\frac{1}{4}}G_2)=\pm ((-3)^{\frac{1}{4}}G_1+3^{\frac{1}{4}}G_2)$

 

$\sqrt[4]{-3}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2})$

 

Do đó:

 

$X=\pm\left ( \frac{\sqrt[4]{3}}{2}(\sqrt{2} + i\sqrt{2})\begin{bmatrix} 0 &-\frac{2}{3} &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}+\sqrt[4]{3}\begin{bmatrix} 1 &\frac{2}{3} &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 0 \end{bmatrix} \right )$

 

Không biết có thiếu nghiệm hay không.

----------

Cái băn khoăn nhất là $\sqrt[4]{3}$ và $\sqrt[4]{-3}$. Đúng ra mỗi cái nó có 4 căn. Không chắc lắm nên lấy căn cơ bản thôi. Bạn nào nắm chắc hơn giải thích mình rõ chút.

Bạn cho mình hỏi một chút, tại sao từ phương trình ban đầu lại có được phương trình đặc trưng như trên vậy. Bạn nói rõ cho mình cách tìm phương trình đặc trưng được không?

Mình thấy như thế này

 

Hạng của ma trận ứng với số dòng khác $0$ của ma trận đó, dễ thấy hai dòng đầu khác 0, vậy ta xét dòng cuối, dễ chứng minh không có giá trị $k$ nào làm toàn bộ dòng cuối bằng $0$, vậy ta kết luận $rank(A)=3$

Giờ thì mình đã hiểu. Mình cảm ơn bạn nhiều nhé.

Dạ, em ghi thế thôi, chứ em có biết chi mu?

 

Mà chị nên đưa bài ra ngoài hỏi!

 

 

Quên, em gõ nhầm mất!!

 

Em biện luận như sau:

 

$\begin{vmatrix} k+2& 3-k\\ -2k-9& 4k-9\end{vmatrix}=2k^2-4k+9>0$

 

$\begin{vmatrix} 3& -2& k\\ -4& k+2& 3-k\\ 0& -2k-9& 4k-9\end{vmatrix}=14k^2-8k+99>0$

 

Không cần vòng nữa!

 

Nên với mọi $k$ thì $rank(A)=3$

 

P/s: Đúng là thân lừa ưa nặng, tự vác việc vào thân!! Từ nay xin chừa

Thì đây là phương pháp định thức bao quanh mà em, định thức cấp 3 $\begin{vmatrix} 3 &-2 &k \\ -4 &k+2 &3-k \\ 0&-2k-9 &4k-9 \end{vmatrix}$ bao quanh định thức cấp 2 $\begin{vmatrix} k+2 &3-k \\ -2k-9 &4k-9 \end{vmatrix}$ là gì hả em???????????

Bài 3: CMR: Nếu x, y, z là các số nguyên thì: $\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ x &y &z \\ x^2 &y^2 &z^2 \end{vmatrix}$ chia hết cho: $x-y$; $y-z$; $z-x$