Cho các số $x, y, z$ dương thỏa mãn $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{z}$. CMR: $\frac{1}{x+y-z} + \frac{1}{x-y+z} + \frac{1}{-x+y+z} = 0$

Bạn xem lại đề cho x=y=z=1/2 không thỏa

Mình nhầm, thanks bạn nha. Mình đã sửa lại đề rồi, bạn vào xem thử

Từ dữ kiện 1 ta khai triển dc 3 cái nữa:
$\sqrt{x}+\sqrt{y} =\sqrt{z} \rightarrow x+y-z=-2\sqrt{xy}$
$\sqrt{x}-\sqrt{z} =-\sqrt{y} \rightarrow x+z-y =2\sqrt{xz}$
$\sqrt{y} -\sqrt{z} =-\sqrt{x} \rightarrow y+z-x =2\sqrt{yz}$
Thay vào ta có Q.E.D

Bạn có thể nói rõ cái này hơn không?

Cho $x, y, z$ $\neq$ 0 ; $x - y + z = -1$ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = 0$. Tính $x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Cho hình thang $ABCD (AB //CD, AB < CD)$. Các đường phân giác đồng quy tại $I$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AB$ tại $P$; $CD$ tại $Q$. Trên $DC$ lấy điểm $M$ sao cho $CM = DQ$. CMR $DA, MP, CB$ đồng quy.

Các đường phân giác nào bạn ,có phải tam giác đâu mà bạn viết thế :|

Các phân giác trong bạn ak

Mình chém liền
Bài làm:
Lấy Trung điểm của BC và AD là O và O' ( Theo gợi ý Black Selena)
Dễ thấy $\angle OIB +\angle O'IA =\angle OBI +\angle O'AI$
$\rightarrow OIB +\angle O'IA +\angle AIB =\angle ABI +\angle BAI +\angle AIB =180^0$
$\rightarrow O,O',I :\text{thẳng hàng}$
$\rightarrow I :\text{là trung điểm PQ}$
Sau đó ta sẽ cm 3 đường thẳng đồng quy
Nếu giao điểm của MP và $AB =E \rightarrow \frac{EP}{EM}=\frac{AP}{DM}$
giao điểm của MP và CB là$ E' \rightarrow \frac{E'P}{E'M}=\frac{PB}{MC}$
Ta sẽ chứng minh 2 tý số này bằng nhau
Đại số hoá 1 tí
Gọi AP ,PB ,DQ.QM IQ lần lượt là x,y,a,b,c
$DPCM \leftrightarrow \frac{x}{a+b} =\frac{y}{a}$
Ta có :
Dễ dàng cm $\angle DIA =\angle CIB =90^o$
$\rightarrow \Delta AIP$ ~ $\Delta IDP$ và $\Delta PIB$ ~ $\Delta QCI$
$\rightarrow \frac{x}{c} =\frac{c}{a}$ Và$ \frac{c}{a+b} =\frac{y}{c}$
$\rightarrow c^2 =ax =y(a+b)$
$\rightarrow \frac{x}{a+b} =\frac{y}{a} :\text{( Điều phải cm)}$
$\rightarrow Q.E.D$

Cho mình hỏi tí, lâu nay trên diễn đàn mình thấy $=> Q.E.D$. Nghĩa là sao vậy nhỉ?

Cho $\Delta ABC$, $AB=AC=a$, $BC = b$, $\widehat{A} = 36^{o}$. Tính $\frac{a}{b}$

Viết phân số $\frac{77}{23}$ thành số thập phân, tìm chữ số thứ $2013$ sau dấu phẩy của nó.

Cho dãy số: $6; 42; 285; 1044; 3150; 7806; 16842; 32808; 59094; 100050; 161106; 248892;.....$ Tìm số hạng thứ $23$ của dãy.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y, z)$ sao cho $\frac{1}{2013} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x + y + z}$ đạt giá trị bé nhất dương.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x, y ,z)$ sao cho: $\frac{1}{2013} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x + y + z}$ đạt giá trị bé nhất dương.

Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thoả $abc=1$.Chứng minh rằng:
$$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$$

Đặt $1 + a = x$ ; $1 + b = y$ ; $1 + c = z$
Do $a, b, c$ là các số thực dương nên $x, y, z$ dương
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$x + y + z - 3 \geq \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$
$<=> x + y + z \geq \frac{x^{2}z + y^{2}x + z^{2}y + 3xyz}{xyz}$
$<=> xyz(x + y + z) \geq x^{2}z + y^{2}x + z^{2}y + 3xyz$
$<=> xyz(x + y + z) - x^{2}z - y^{2}x - z^{2}y \geq 3xyz$ (1)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1), bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng:
$xyz(x + y + z) - x^{2}z - y^{2}x - z^{2}y$
$<=> x^{2}z(y - 1) + y^{2}x(z - 1) + z^{2}y(x - 1)$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$x^{2}z(y - 1) + y^{2}x(z - 1) + z^{2}y(x - 1) \geq 3xyz\sqrt[3]{(x-1)(y-1)(z-1)} = 3xyz\sqrt[3]{abc} = 3xyz$
$=> Đ.P.C.M$

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, gọi $M$, $N$ lần lượt là hai điểm trên $AB$, $AC$ sao cho $AM = CN$. Xác định vị trí của $M$, $N$ để S_AMN lớn nhất.

Cho tam giác $ABC$, biết $AB = AC = 10$, $BC = 13$. Tính $tanB$?

Nếu $\sqrt{16-2\sqrt{55}}= \sqrt{a} -\sqrt{b}$ và $a,b \in Z$ thì a-b=????

Bài này mình có làm hơi tỉ mỉ một chút nha
Ta có:
$\sqrt{16-2\sqrt{55}} = \sqrt{11-2\sqrt{11}\sqrt{5}+5} = \sqrt{(\sqrt{11}-\sqrt{5})^{2}} = \left | \sqrt{11}-\sqrt{5} \right | = \sqrt{11}-\sqrt{5}$ (Vì 11>5 nên $\sqrt{11} > \sqrt{5} => \sqrt{11} - \sqrt{5} > 0$)
$=> a = 11, b = 5$ nên $a - b = 6$

Trời sao lại dễ thế?
Dễ thấy tam giác ABC cân tại A.Kẻ đường cao AH có $BH=\frac{13}{2}\Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{\frac{31}{4}}=\frac{\sqrt{31}}{2}$
$\Rightarrow tan B=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{31}}{20}$

Bạn ơi, có bài toán này giúp mình tí:
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, Lấy $M,N$ lần lượt trên $AB,AC$ sao cho $AM = CN$. Xác định vị trí của $M, N$ để diện tích $AMN$ lớn nhất.
Bài này trong quyển sách của Vũ Hữu Bình thì thấy giải như sau:
Gọi $I$ là trung điểm của $MN$. Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB, AC$ ở $P, Q$ thì $P, Q$ là trung điểm của $AB, AC$. Ta luôn có S_AMN $\leq$ S_APQ.
Bạn chứng minh cho mình S_AMN $\leq$ S_APQ được không?

Chứng minh rằng với mọi $n$ $\in$ $N$, $m$ $\in$ $N$ ($m, n$ $\neq$ $0$) thì: $(\sqrt{2} - 1)^{n} = \sqrt{m} - \sqrt{m - 1}$

Đơn giản biểu thức: $\frac{2}{\sqrt{4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt{5}-\sqrt[4]{125}}}$

Tìm x biết $x^4-8x^2=800x+9984$

$x^{4}-8x^{2}=800x+9984 <=> x^{4}-8x^{2}-800x-9984=0 <=> x^{4}+12x^{3}+136x^{2}+832x-12x^{3}-144x^{2}-1632x-9984=0$
$<=> x(x^{3}+12x^{2}+136x+832)-12(x^{3}+12x^{2}+136x+832)=0 <=> (x-12)(x^{3}+12x^{2}+136x+832)=0$
$<=>(x-12)(x^{3}+4x^{2}+104x+8x^{2}+32x+832)=0 <=> (x-12)\left [ x(x^{2}+4x+104)+8(x^{2}+4x+104) \right ]=0$
$<=>(x-12)(x+8)(x^{2}+4x+104)=0$
$<=> x-12=0$ hoặc $x+8=0$ (Vì $x^{2}+4x+104 = (x+2)^{2}+100 > 0$)
$<=>x=12$ hoặc $x=-8$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S={-8;12}$

Tìm tất cả các giá trị của $x, y, z$ thoả mãn đẳng thức: $\sqrt{x-y+z} = \sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Bài 1: Chứng minh rằng $a, b, c$ là các số nguyên lẻ thì phương trình $ax² + bx + c = 0$ không thể có nghiệm là số hữu tỉ.
(Thi vô địch Toán CHDC Đức và Rumani 1980)

Trong tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ là nghiệm của phương trình $4x + 5y = 7$ hãy tìm cặp số để cho biểu thức $5\left | x \right |-3\left | y \right |$ có giá trị nhỏ nhất
(Thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 Việt Nam, 1989)

Với mỗi giá trị $n \in N$, phương trình sau đây: $x^{2}-\left [ x^{2} \right ]=\left \{ x \right \}^{2}$ có bao nhiêu nghiệm trong đoạn $\left [ 1;n \right ]$
(Thi vô địch Toán Thuỵ Sĩ, 1982)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$\left [ \frac{x}{1!} \right ]+\left [ \frac{x}{2!} \right ]+...+\left [ \frac{x}{10!} \right ]=1001$
(Thi vô địch toán Liên Xô, 1990, lớp 10, ngày thứ hai)