Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm min :
$A=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$

Cũng còn cách nữa, đặt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=x;...$

Mình không biết Holder

Cmr : $\frac{a_1^k+a_2^k+...+a_n^k}{n}\geq (\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n})^k$ với mọi $k,n\in N*;a_i\in R$

THCS của em đây
chứng minh bằng quy nạp
trường hợp $n=2$ chứng minh dễ
giả sử bất bẳng thức đúng với n
ta có
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}\geq n(\frac{a_{1}+...+a_{n}}{n})^{k}$
ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n-1
chọn $a_{n}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}$
ta có
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n-1}^{k}+a_{n}^{k}\geq na_{n}^{k}$
nên
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n-1}^{k}\geq (n-1)a_{n}^{k}=(n-1)(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}}{n-1})^{k}$
ta có đpcm

Cám ơn anh

với $k=1$ ta có bất đẳng thức đúng
với $k\geq 2$
đặt $f(x)=x^{k}$
là hàm lồi nên áp dụng ngay Jensen ta có đpcm
$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n})\geq nf(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n})$

Phạm vi THCS thôi anh

Cmr : $\frac{3a^2}{5a^2+(b+c)^2}+\frac{3b^2}{5b^2+(c+a)^2}+\frac{3c^2}{5c^2+(a+b)^2}\leq 1$ với $a,b,c>0$

Giải pt nghiệm nguyên :
$\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}=3$

Nếu bạn học về giới hạn thì sẽ hiểu rõ hơn về bài này.

Mới lớp 9 thôi mà ==

Sao lại được $x+2a=x^{2}$ vì số dấu căn là hữu hạn ma

Thấy bạn ghi "..." tưởng vô hạn
Hữu hạn ở đây có cụ thể không vậy?

Đặt vế trái là $a\Rightarrow a=x$
Bình phương 2 vế không âm, ta thu được
$x+2a=x^2$
Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a=x&&\\x+2a=x^2&&\end{matrix}\right.$
Giải hệ, thu được $x=0;3$

$\left\{\begin{matrix} x^4+y^2=\frac{698}{81}&&\\x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0&&\end{matrix}\right.$

uh, cảm ơn, mình hiêủ rồi

Hàng về đây bác. Xét đa thức $g(x)=f(x)-1975$ (có hệ số cao nhất là $a$). Do phương trình $f(x)=1975$ có 4 nghiệm nguyên phân biệt nên theo định lý Bezout, $g(x)=(ax+b)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ trong đó $x_1,x_2,x_3,x_4$ là 4 số nguyên phân biệt
Xét phương trình $f(x)=1992 \iff g(x)=17 \iff (ax+b)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=17$
Giả sử phương trình này có nghiệm nguyên. Do $17=17.1=(-17)(-1)$ nên $(ax+b),(x-x_1),(x-x_2),(x-x_3),(x-x_4)$ cùng lúc chỉ nhận 2 giá trị là $1$ và $17$ (hoặc $-1$ và $-17$)
Có 2 giá trị mà có 5 nhân tử nên sẽ có ít nhất 2 nhân tử dạng $x-x_m$ với $m=\overline{1,4}$ bằng nhau
Không mất tổng quát, giả sử đó là $x-x_i=x-x_j$ ($i,j=\overline{1,4}$ và $i \neq j$) $\iff x_i=x_j$ (vô lý)
=> Điều giả sử sai => ĐPCM

Em chưa rõ chỗ này lắm, bác giúp em với

Bác giải thích rõ. $f(x)$ có hệ số nguyên thì cứ $x$ nguyên là $f(x)$ nguyên còn gì

Sr bác, em nhầm ^^ Em chữa rồi đấy ạ, bác check "hàng" giùm em

Thì x và hệ số đều nguyên mà, nó là ước của 17 đó , bài này có trong nâng cao phát triển toán 9 2 mà

Nhưng mà nó có thể nhận cả 4 giá trị chứ nhỉ?

Bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất (nếu có) của $A=\dfrac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}$.

*Có : $A\geq \frac{1}{3}$
Thật vậy : $A\geq \frac{1}{3}$
$\leftrightarrow \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}\geq \frac{1}{3}$
$\leftrightarrow 3(x^2-x+1)\geq (x^2+x+1)$
$\leftrightarrow 2x^2-4x+2\geq 0$
$\leftrightarrow 2(x-1)^2\geq 0$ (lđ)
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{3}$
Dấu "=" ...
*Có : $A\leq 3$
Thật vậy : ... $2(x+1)^2\geq 0$ (lđ)
Dấu "=" ...

Cho đa thức bậc 5 có hệ số nguyên. Biết rằng $f(x)$ nhận giá trị 1975 với 4 giá trị nguyên khác nhau của $x$. Cmr : với mọi $x\in Z$ thì $f(x)$ không thể có giá trị bằng 1992.

Cmr : với $x\geq 1;y\geq 1$ ta có :
$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}$

Hoặc dùng trực tiếp BĐT sau :
$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+...+\frac{1}{1+a_{n}}\geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}} (a_{j}>0;j=\overline{1,n})$
----------

Bất này chứng minh kiểu gì cậu?

Đặt $a=3^x;b=3^y;c=3^z$
$a,b,c>0$
Ta có $a,b,c>0$
$\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}$
Từ giả thiết suy ra $abc=ab+bc+ca$
Suy ra $\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{(a+c)(a+b)}$
Ta có $\frac{a^3}{(a+c)(a+b)}+\frac{a+c}{8}+\frac{a+b}{8}\geq \frac{3a}{4}$
Tương tự rồi cộng các bdt ta có dpcm

ồ đâu, nếu làm chi tiết thì cách tui ngắn hơn cách bạn

nói lại đi bạn à
ai ngắn hơn ai chưa biết đâu

Sao hai bạn không trình bày bài giải đầy đủ ra rồi mọi người cùng so sánh?

$f(x,y,z)=(xy+\frac{x}{y})+(yz+\frac{y}{z})+(zx+\frac{z}{x})-x-y-z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 6$

Sửa lại xem sao, như thế này ạ?

Gọi phân số đó là $\frac{a}{b}$ thì phân số nghịch đảo của nó là $\frac{b}{a}$.
Ta có : $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2$ (Cô-si)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

Ta có: $4(a_{1}+1)(a_{1}-\frac{1}{2})^2\geq 0\Rightarrow 4a_{1}^3-3a_{1}+1\geq 0$. Làm tương tự với $a_{2}, ..., a_{n}$; ta suy ra $4\sum a_{1}^3-3\sum a_{1}+n\geq 0\Rightarrow 3\sum a_{1}\leq n\Rightarrow \sum a_{1}\leq \frac{n}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi nào vậy ?