$sin^{10}x+cos^{10}x=1$

$sin^{10}{x}+cos^{10}{x}=sin^{2}{x}+cos^{2}{x}$

$\Leftrightarrow sin^{2}{x}(1-sin^{8}{x})+cos^{2}{x}(1-cos^{8}{x})=0$

$\left\{\begin{matrix} sin^{2}{x}(1-sin^{8}{x})\geq 0\\ cos^{2}{x}(1-cos^{8}{x})\geq 0 \end{matrix}\right.$

từ đó dấu bằng xảy ra  đến đây dễ rồi

bạn ơi mình muốn có cách khác!

Chiều theo yệu cầu của bạn sau đây là cách 2

$\left\{\begin{matrix} 5\left ( x+\frac{1}{x} \right )=12\left ( y+\frac{1}{y} \right )=13\left ( z+\frac{1}{z} \right)\\xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

$PT(1 )\Leftrightarrow\frac{5(x^2+1)}{x}=\frac{12(y^2+1)}{y}=\frac{13(z^2+1)}{z}$

thay  PT(2) vào PT trên

$\Leftrightarrow\frac{5(x^2+xy+yz+xz)}{x}=\frac{12(y^2+xy+yz+xz)}{y}=\frac{13(z^2+xy+yz+xz)}{z}$

$\Leftrightarrow\frac{5(x+z)(x+y)}{x}=\frac{12(y+x)(y+z)}{y}=\frac{13(z+x)(z+y)}{z}$

đến đây ngon rồi

$5sinx-2=3(1-sinx)tan^{2}x$

$5sinx-2=3(1-sinx)\frac{sinx^2}{(1-sinx^2)}$

$5sin-2=3\frac{sinx^2}{(1+sinx)}$

ngon rồi

$\left\{\begin{matrix} 5\left ( x+\frac{1}{x} \right )=12\left ( y+\frac{1}{y} \right )=13\left ( z+\frac{1}{z} \right)\\xy+yz+xz=1 \end{matrix}\right.$

Lượng giác hoá

đặt $x=tg\alpha , y=tg\beta ,z=tg\gamma$(0<$\alpha ,\beta ,\gamma$<90)

Hệ$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5(tg\alpha +\frac{1}{tg\alpha })=12(tg\beta +\frac{1}{tg\beta })=13(tg\gamma +\frac{1}{tg\gamma }) \\ \\tg\alpha tg\beta+tg\beta tg\gamma +tg\gamma tg\alpha =1 \end{matrix}\right.$

$Pt(2)\Leftrightarrow tg\gamma (tg\alpha +tg\beta )=1-tg\alpha tg\beta$

$\Leftrightarrow cotg\gamma =\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha tg\beta}$

$\Leftrightarrow tg(\frac{\pi}{2}-\gamma )=tg(\alpha +\beta )$$\Leftrightarrow \alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi}{2}$(nên $2 \alpha, 2\beta +2\gamma$ là 3 góc trong 1 tam giác

$Pt(1)\Leftrightarrow \frac{5}{sin2\alpha }=\frac{12}{sin2\beta }=\frac{13}{sin2\gamma }$

5,12, 13 là bộ 3 số PYthagore nên tam giác chứa 3 góc $2\alpha ,2\beta, 2\gamma$ là tam giác vuông nên $2\gamma =90\Rightarrow \gamma =45\Rightarrow z=1$

rồi thay vào  tìm x,y

nếu x,y,z là nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm Từ đó kết luận

Giải các phương trình sau: 

1. $-x^{2}+3x+\sqrt[4]{2-x^{4}}-3=0$

2. $2x^{2}+\sqrt{1-x}+2x\sqrt{1-x^{2}}=1$

2.  Lượng giác hoá

đặt $x=sin(t)$ 

PT$\Leftrightarrow 2 sin^2(t)+\sqrt{1-sin(t)}+ 2sin(t)\begin{vmatrix} cos(t) \end{vmatrix}=1$

xét 2 TH của  $cos(t)$

$\oplus \begin{vmatrix} cos(t) \end{vmatrix}=cos(t)$ (khi $0\leq cos(t)\leq 1$)

$PT\Leftrightarrow \sqrt{1-sin(t)}=cos(2t)-sin(2t)$

Bình phương 2 vế $\Leftrightarrow 1-sin(t)=1-2sin(2t)cos(2t)$

$\Leftrightarrow sin(t)=4sin(t)cos(t)cos(2t)$

$sin(t)=0\Rightarrow x=0$

$1=4 cos(t)(2cos^2(t)-1)$$\Leftrightarrow 8cos^3(t)-4cos(t)-1=0$(pt này có nghiệm đẹp)

TH còn lại tương tự 

Giải phương trình

$4x+3+2\sqrt{1-x^{2}}-4\sqrt{1+x}=0$

PT$\Leftrightarrow (4(x+1)-4\sqrt{x+1}+1)-(1-x-2\sqrt{1-x^2}+x+1)=0$

$\Leftrightarrow (2\sqrt{x+1}-1)^2-(\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1})^2=0$

đến đây đơn giản rồi

Giải hệ

1.$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x-1}+\sqrt{3-y}=2&&\\\sqrt{y-1}+\sqrt{3-x}=2&&\end{matrix}\right.$

2.$\left\{\begin{matrix} (2\sqrt{2x^2-y^2}=y^2-2x^2+3 &&\\ x^3-2y^3=y-2x &&\end{matrix}\right.$

(Bài này m giải pt (1) ra được rồi nhưng không thế vào pt (2) được)

3.$\left\{\begin{matrix} ((\sqrt{x^2+y}+\sqrt{x^2+3})x=y-3 &&\\ \sqrt{x^2+y}+\sqrt{x}=x+3 &&\end{matrix}\right.$

 

 

MOD: Chú ý tiêu đề bài viết bạn nhé

1)theo bất đẳng thức bunhiacopski

$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-y}\leq \sqrt{2(2+x-y)}$$\Leftrightarrow y\leq x$

$\sqrt{y-1}+\sqrt{3-x}\leq \sqrt{2(2+y-x)}\Leftrightarrow x\leq y$

 dấu bằng xảy ra khi x=y thay vào hệ ban đầu 

2) PT(1)$\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2-y^2}-1)(\sqrt{2x^2-y^2}+3)=0$

$2x^2-y^2=1$ kết hợp với pt(2) ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} 2x^2-y^2=1\\ y-2x=x^3-2y^3 \end{matrix}\right.$

nhân vế theo vế  sễ ra pt đẳng cấp bậc 3 với x và y đã biết cách giải

3) nhân liên hợp cho pt(1)

PT(1)$\frac{(y-3)x}{\sqrt{x^2+y}-\sqrt{x^2+3}}=y-3$

y=3 thay vào pt (2) giải tiếp

$x=\sqrt{x^2+y}-\sqrt{x^2+3}$$\Rightarrow x+\sqrt{x^2+3}=\sqrt{x^2+y}$

thay $\sqrt{x^2+y}$ vào pt(2) giải tiếp

Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 5(x^{2}+y^{2})+6xy+3x+y=0\\ 7(x+y)^{3}+2x^{3}+6xy^{2}+2=0 \end{matrix}\right.$

lời giải bài này khá đẹp và đơn giản

ta có hệ tương đương

$\left\{\begin{matrix} 4(x+y)^2+(x-y)^2+2(x+y)+(x-y)=0\\ 8(x+y)^3+(x-y)^3=-2 \end{matrix}\right.$

đặt a=2(x+y), b=x-y

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2+a+b=0\\ a^3+b^3=-2 \end{matrix}\right.$

3PT(1)+PT(2)$\Leftrightarrow (a+1)^3+(b+1)^3=0$

$\Leftrightarrow a+b=-2$$\Leftrightarrow 3x+y=-2$

Giải phương trình:

 

$\sqrt[3]{3x-5}=8x^{3}-36x^{2}+53x-25$

PT$\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x-5}+3x-5=(2x-3)^3+(2x-3)$

xét hàm $f(t)=t^3+t$

$\Rightarrow \sqrt[3]{3x-5}=2x-3$( đến đây đơn giản)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương $a+b+c=3$

Tìm Max $(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(a^2-ac+c^2)$

2

b) $4\sqrt{1+x}-1=3x+2\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x^2}$

 

PT$\Leftrightarrow (\sqrt{1-x}-2\sqrt{1+x})(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2)=0$ đến đây đơn giản rồi

Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=2-\frac{x^{2}}{4}.$

1 hướng khác

$PT\Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}+2\sqrt{1-x}=4-\frac{x^2}{2}$

$\Leftrightarrow (x+1-2\sqrt{x+1}+1)+(1-x-2\sqrt{1-x}+1)=\frac{x^2}{2}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}-1)^2+(1-\sqrt{1-x})^2=\frac{x^2}{2}$

nhân liên hợp

$\Leftrightarrow \frac{x^2}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{x^2}{(1+\sqrt{1-x})^2}=\frac{x^2}{2}$

x=0 là 1 nghiệm

$ \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^2}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^2}\geq \frac{4}{(\sqrt{x+1}+1)^2+(1+\sqrt{1-x})^2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{1-x}+1)^2}\geq \frac{4}{4+2(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{1-x}+1)^2}\geq \frac{1}{2}$

dấu bằng xảy ra ta có x=0 là nghiệm duy nhất

Giải phương trình:$\sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4x^2-3x$

chia 2 vế PT cho x

$PT\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=4x-\frac{4}{x}-3$

$\Leftrightarrow 4t^3-t-3=0$

Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^{2}+1}-3x^{2}y+2)(\sqrt{4y^{2}+1}+1)= 8x^{2}y^{3}\\ x^{2}y-x+2=0 \end{matrix}\right.$

 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{xy+y-x}{xy-y^{2}+1}=x^{2}\\ x^{2}-y\sqrt{y+\frac{1}{x}}=6y-1 \end{matrix}\right.$

 

____________
MOD: Gõ hệ thì không được xuống dòng nha.

 

PT(1)$\Leftrightarrow xy+y-x=x^2(xy-y^2+1)$

$\Leftrightarrow xy+y-x=x^2y(x-y)+x^2$

$\Leftrightarrow x^2y(x-y)+x(x-y)+x-y=0$

$\Rightarrow x=y\vee x^2y+x+1=0$

TH1 $x=y$ thay vào PT2

$PT(2)\Leftrightarrow x^2-x\sqrt{x+\frac{1}{x}}=6x-1$\

chia 2 vế của PT cho  x 

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}-6=0$

TH2 $x^2y+x+1=0$ chia 2 vế cho $x^2$

$\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}< 0$ (trái với ĐK nên ta loại)

Giải hệ phương trình sau:

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{6x}{y}-2=\sqrt{3x-y}+3y\\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-y}}=6x+3y-4 \end{matrix}\right.$

đặt $t=\sqrt{3x-y}$

$PT(1)\Leftrightarrow 2t^2=yt+3y^2$

$\Leftrightarrow (t+y)(3y-2t)=0$

TH1: $t=-y$

$PT(2)\Leftrightarrow 2\sqrt{3x-y}=6x+3y-4$

$\Leftrightarrow -2y=6x+3y-4$$\Leftrightarrow 0=6x+5y-4$ thay vàoPT(1) giải tiếp

TH2 $t=\frac{3}{2}y$

$PT(2)\Leftrightarrow 2\sqrt{\frac{6x+3y}{2}}=6x+3y-4$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{6x+3y}{2}}=\frac{6x+3y}{2}-2$

Làm sao biết mà nhân vô vậy bạn?

phương pháp là hệ số bất định

ngay đây chứ đâu http://diendantoanho...trình/?p=411379   

Giải các phương trình sau 

1/$\left\{\begin{matrix} x^{2}+2y^{2}-3x+2xy=0\\xy(x+y)+(x-1)^{2}=3y(1-y) \\ \end{matrix}\right.$

 

 

2/$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{2}=-49\\x^{2}-8xy+y^{2}=8y-17x \\ \end{matrix}\right.$

 

 

3/$\left\{\begin{matrix} 6x^{2}y+2y^{3}+35=0\\5x^{2}+5y^{2}+2xy+5x+13y=0 \\ \end{matrix}\right.$

bài 1

 Pt(1).y-Pt(2)$\Leftrightarrow 2y^3+xy^2-3xy-x^2-3y^2+2x+3y-1=0$

$\Leftrightarrow (2y+x-1)(y^2-y-x+1)=0$

$\left\{\begin{matrix} 2y^2+x^2-3x+2xy=0(3) \\ y^2-y-x+1=0(4) \end{matrix}\right.$

pt(3)-2pt(4)$\Leftrightarrow x^2+2xy-x+2y-2=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(2y+x-2)=0$

bài 2

PT(1)+3PT(2)$\Leftrightarrow x^3+3xy^2+49+3x^2-24xy-24y+3y^2+51x=0$

$\Leftrightarrow(x^3+3x^3+3x+1)+48(x+1)-24y(x+1)+3y^2(x+1)=0$

$\Leftrightarrow(x+1)\left [(x+1)^2+48-24y+3y^2 \right ]=0$

$\Leftrightarrow(x+1)\left [(x+1)^2+3(y-4)^2 \right ]=0$

bài 3

PT(1)+3PT(2)$\Leftrightarrow 2y^3+6x^2y+35+15x^2+15y^2+6xy+15x+39y=0$

$\Leftrightarrow 2(y^3+3.\frac{5}{2}y^2+3.\frac{25}{4}y+\frac{125}{8})+(6x^2y+15x^2)+(6xy+15x)+\frac{3}{2}(y+\frac{5}{2})=0$

$\Leftrightarrow 2(y+\frac{5}{2})^3+6x^2(y+\frac{5}{2}+6x(y+\frac{5}{2})+\frac{3}{2}(y+\frac{5}{2})=0$

$\Leftrightarrow (y+\frac{5}{2})\left [2(y+\frac{5}{2})^2+6x^2+6x+\frac{3}{2} \right ]=0$

Giải phương trình: $sin3x+sinx=\sqrt{3}(cosx-1)$

 

MOD: Chú ý tiêu đề

$\frac{1}{2}sin3x+\frac{\sqrt{3}}{2}+sin(x-\frac{\pi}{3})=0$

đặt $t=x-\frac{\pi}{3}$

$\frac{1}{2}sin(3t+\pi)+\frac{\sqrt{3}}{2}+sin(t)=0$

$-\frac{1}{2}sin(3t)+\frac{\sqrt{3}}{2}+sin(t)=0$

$-\frac{1}{2}(3sin(t)-4sin^3t)+\frac{\sqrt{3}}{2}+sin(t)=0$

$2sin^3(t)-\frac{1}{2}sin(t)+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$

$(sin(t)+\frac{\sqrt{3}}{2})(2sin^2(t)-\sqrt{3}sin(t)+1)=0$

phương trình lượng giác cơ bản

Giải các phương trính sau:

1/ $\left\{\begin{matrix} (x-2)(2y-1)=x^{3}+20y-28\\2(\sqrt{x+2y}+y)=x^{2}+x \\ \end{matrix}\right.$

 

2/$\left\{\begin{matrix} x^{3}+2y^{2}=x^{2}y+2xy\\2\sqrt{x^{2}-2y-1}+\sqrt[3]{y^{3}-14}=x-2 \\ \end{matrix}\right.$

 

3/$\left\{\begin{matrix} x^{3}+7y=(x+y)^{2}+x^{2}y+7x+4\\3x^{2}+y^{2}+8y+4=8x \\ \end{matrix}\right.$

bài 1 

Từ pt(2)$\Leftrightarrow (\sqrt{x+2y}+1)^2=(x+1)^2$

bài 2

Từ pt(1)$\Leftrightarrow (x^2-2y)(x-y)=0$

TH1$x^2-2y=0$ loại vì khi thay vào pt(2) ta thấy ngay điều vô lí

TH2 x=y thay vào (2)

PT(2)$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}-(x-2)=0$

Nhân liên hợp

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-2x-1}+\frac{x^3-14-(x-2)^3}{\sqrt[3]{(x^3-14)^2}+(x-2)\sqrt[3]{x^3-14}+(x-2)^2}=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-2x-1}+\frac{x^3-14-(x^3-6x^2+12x-8)}{\sqrt[3]{(x^3-14)^2}+(x-2)\sqrt[3]{x^3-14}+(x-2)^2}=0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^2-2x-1}+\frac{6(x^2-2x-1)}{\sqrt[3]{(x^3-14)^2}+(x-2)\sqrt[3]{x^3-14}+(x-2)^2}=0$

$\Rightarrow x=1\pm \sqrt{2}$

bài 3

PT(1)+PT(2)$\Leftrightarrow x^3+2x^2+15y=2xy+15x+x^2y$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+2x-15)=0$

Bài 1: Cm các đồng nhất thức:

b) $\sqrt{x+\sqrt{y}}=\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2-y}}{2}}+\sqrt{\frac{x-\sqrt{x^2-y}}{2}}$  ($x\geqslant 0$;$x^2\geqslant y\geqslant 0$)
c) Giả sử $a,b,c$ là 3 số dương. Cmr:
$\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}+\sqrt{a+b+c-2\sqrt{ac+bc}}=2\sqrt{a+b}$ nếu $a+b\geqslant 0$

Bài 2: Với $a,b,c,d,x,y,z,t\epsilon N*$ và $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{d}{t}$. Cmr:
$\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz}+\sqrt{dt}=\sqrt{(a+b+c+d)(x+y+z+t)}$

Bài 3:
a) Giả sử $ax^3=by^3=cz^3$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. Cmr:

$\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$
 

bài 1

b) bình phương 2 vế

c)$\sqrt{(\sqrt{a+b}+c)^2}+\sqrt{(\sqrt{a+b}-c)^2}=\sqrt{a+b}+c +\left |\sqrt{a+b}-c \right |$

bài 2

theo bất đẳng thức bunhiacopski$\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz}+\sqrt{dt}\leq \sqrt{(a+b+c+d)(x+y+z+t)}$

dấu '=' xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{d}{t}$

bài 3

đặt ax³=by³=cz³=t

ta có $\frac{t}{x}+\frac{t}{y}+\frac{t}{z}=t$

$\Leftrightarrow \frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}=t$

$\Leftrightarrow ax^2+by^2+cz^2=t$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{t}$

mà $\sqrt[3]{a}=\frac{\sqrt[3]{t}}{x}$, $\sqrt[3]{b}=\frac{\sqrt[3]{t}}{y}$, $\sqrt[3]{c}=\frac{\sqrt[3]{t}}{z}$

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{t}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\sqrt[3]{t}$

Giải pt:

$$\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{2x^2+1}+\sqrt[3]{2x^2}$$

chuyển vế và nhân liên hợp 

$(\sqrt[3]{2x^2+1}-\sqrt[3]{x+2})+(\sqrt[3]{2x^2}-\sqrt[3]{x+1})=0$

$\Leftrightarrow (2x^2-x-1)(\frac{1}{\sqrt[3]{(2x^2+1)^2}+\sqrt[3]{(2x^2+1)(2+x)}+\sqrt[3]{(x+2)^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{(2x^2)^2}+\sqrt[3]{2x^2(x+1)}+\sqrt[3]{(x+1)^2}})=0$

$\Rightarrow 2x^2-x-1=0$$\Rightarrow x=1\vee x=-1/2$

Giải phương trình vô tỉ sau

1) $\sqrt{1+x^{2}+x^{4}} + x = \sqrt{x-x^{3}}$

2) $(3x-5)\sqrt{2x^{2}-3}= 4x^{2}-6x+1$

3) $\sqrt{x+1}+1 = 4x^{2} +\sqrt{3x}$

Giải 

1) chia vế của PT cho x

PT tương đương $\sqrt{\frac{1}{x^2}+x^2+1}=-1+\sqrt{\frac{1}{x}-x}$

đặt ẩn phụ   $t=\sqrt{\frac{1}{x}-x}$

bình phương 2 vế

$t^{4}+3=(t-1)^2\Leftrightarrow t^4-t^2+2-2t=0\Leftrightarrow (t-1)(t^2(t+1)-2)$

2) cách khác

PT$\Leftrightarrow (3x-5)(\sqrt{2x^2-3}-(x-1))=-(x-1)(3x-5)+4x^2-6x+1$

$\Leftrightarrow (3x-5)(\sqrt{2x^2-3}-(x-1))=x^2+2x-4$

nhân liên hợp

$\Leftrightarrow (3x-5)(x^2+2x-4)=(x^2+2x-4)(\sqrt{2x^2-3}+(x-1))$

3) chuyển căn 1 vế ,liên hợp là xong

Giải phương trình:

 

2)$\sqrt{x+\sqrt{x^{3}-x+1}} - \sqrt{x+1+\sqrt{x^{3}+x+1}} =1$

 

Giải

Nhân liên hợp cho PT

$\Leftrightarrow \sqrt{x^3-x+1}-\sqrt{x^3+x+1}-1=\sqrt{x+\sqrt{x^3-x+1}}+\sqrt{x+1+\sqrt{x^3+x+1}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^3-x+1}-\sqrt{x^3+x+1}=\sqrt{x+\sqrt{x^3-x+1}}+\sqrt{x+1+\sqrt{x^3+x+1}}+1$

Tiếp tục nhân liên hợp cho vế phải

$\Rightarrow -2x=(\sqrt{x+\sqrt{x^3-x+1}}+\sqrt{x+1+\sqrt{x^3+x+1}}+1)(\sqrt{x^3-x+1}+\sqrt{x^3+x+1})(*)$

Mặc khác bình phương 2 vế phương trình đầu ta có

$PT\Leftrightarrow 2x-2\sqrt{(x+\sqrt{x^3-x+1})(x+1+\sqrt{x^3+x+1})}+\sqrt{x^3-x+1}+\sqrt{x^3+x+1}=0$

thay (*) vào 

$\Leftrightarrow -(\sqrt{x+\sqrt{x^3-x+1}}+\sqrt{x+1+\sqrt{x^3+x+1}}+1)(\sqrt{x^3-x+1}+\sqrt{x^3+x+1})-2\sqrt{(x+\sqrt{x^3-x+1})(x+1+\sqrt{x^3+x+1})}+\sqrt{x^3-x+1}+\sqrt{x^3+x+1}=0$

$\Leftrightarrow -(\sqrt{x+\sqrt{x^3-x+1}}+\sqrt{x+1+\sqrt{x^3+x+1}})(\sqrt{x^3-x+1}+\sqrt{x^3+x+1})-2\sqrt{(x+\sqrt{x^3-x+1})(x+1+\sqrt{x^3+x+1})}=0$

dễ thấy VT$\leq 0$ nên dấu bằng xảy ra khi

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+\sqrt{x^3-x+1}}+\sqrt{x+1+\sqrt{x^3+x+1}})(\sqrt{x^3-x+1}+\sqrt{x^3+x+1})=0\\ \sqrt{(x+\sqrt{x^3-x+1})(x+1+\sqrt{x^3+x+1})}=0 \end{matrix}\right.$

ta không thể tìm được nghiệm thỏa hệ trên nên suy ra PT vô nghiệm

$x+y^{3}+\left ( y\sqrt{xy}+1 \right )\left ( \sqrt{x}+y\sqrt{y} \right )=28$

 Và  $\left ( \sqrt{x}+y\sqrt{y} \right )\left ( \sqrt{x} +y\sqrt{y}+y\sqrt{xy}+1\right )=2xy^{3}+y\sqrt{xy}$

đặt a=$\sqrt{x}$,b=$y\sqrt{y}$

hệ trở thành

$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^2+(ab+1)(a+b)=28\\ (a+b)(a+b+ab+1)=2a^2b^2+ab \end{matrix}\right.$

đặt tiếp S=a+b, P=ab ta đươc hệ sau

$\left\{\begin{matrix} S^2-2P+(P+1)S=28\\ S(S+P+1)=2P^2+P \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S(S+P+1)=28+2P\\ S(S+P+1)=2P^2+P \end{matrix}\right.$