KIỂM TRA LẦN I, NĂM HỌC $2014- 2015$

Môn: Toán, Lớp : $10$ Chuyên

( Thời gian $60$ phút, không kể thời gian phát đề).

___________________________________

ĐỀ:

Câu 1: (3 điểm).

Cho hai tập hợp : \begin{Bmatrix} A=k \in Z | k^2-10k+21<0 \end{Bmatrix}$ $\begin{Bmatrix}B= n \in Z | \dfrac{2n+3}{3n+8} \in Z \end{Bmatrix},

trong đó Z là tập các số nguyên. Hãy biểu diễn hai tập hợp $A,B$ sang dạng liệt kê các phần tử của nó (Có giải thích chứng minh).

Từ đó biểu diễn liệt kê các phần tử của tập hợp $$(A\cup B) \setminus (A\cap B)$$.

Câu 2:(2 điểm).

Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá $2014$ mà chia hết cho $2$ hoặc chia hết cho $3$.

Câu 3:(2 điểm).

Cho hai tập con số thực :$E=(-\infty ;m);F=(5-4m;+\infty)$ Với $m \in R$

Xác định $m$ để $(E \cap F) \subset (-3;2014)$.

Câu 4:(3 điểm).

Xét mệnh đề :

" $(n^3+2n+2014)$ không chia hết cho $3$ với mọi $n \in N^*$"

Chứng minh mệnh đề trên có chân trị đúng bằng hai phương pháp :

Qui nạp và Phản chứng.

------------HẾT-----------

____________________________________________

$\LaTeX$ loạn xạ

$1)$Chứng minh rằng:

$$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2} \geq \sqrt{y^2+yz+z^2}  \forall x \in \mathbb{R}$$

$2)$ Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

Rất hoan nghênh dùng đồ thị   

4. Dạng 4: Quỹ tích điểm

38) Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn:

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$

b) $\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

$38)$

$a.$

$$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\Leftrightarrow \left|3\overrightarrow{MG}\right|=3\left|\overrightarrow{MI}\right|\Leftrightarrow MG=MI$$

Vậy $M$ thuộc đường trung trực của $GI$

$b.$

Gọi $I$ là tâm tỉ cự của họ điểm $\begin{Bmatrix} MA;MB;MC \end{Bmatrix}$ với họ điểm $\begin{Bmatrix} 1;3;-2 \end{Bmatrix}$

Ta có $2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}$

Vậy: $$\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\Leftrightarrow 2MI=\begin{vmatrix} \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA} \end{vmatrix}=2KA\Leftrightarrow MI=KA$$

Kết luận: $M$ thuộc $(I;KA)$

$\square$

Viết chương trình nhập vào $2$ số $a,b$ rồi in ra giá trị $a,b$. Sau đó hoán đổi giá trị của $a,b$ rồi lại in giá trị $a,b$ ra màn hình

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

$33)$ Cho tam giác $ABC$. Xác định các điểm $M;N$ sao cho:

a) \[\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\]

b) \[\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CB}\]

 

$34)$ Cho hình bình hành $ABCD$. Xác định điểm $M$ thoả mãn: \[3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\]

 

$33)$

$a.$

$$\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}$$

$b.)$

$$\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CB}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}$$

Bài này giống hệt bài $30)$ 

$34)$

$$3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow M\equiv C$$

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

$30)$ Cho tam giác $ABC$.

a) Xác định điểm $I$ sao cho: \[\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\]

b) Xác định điểm $K$ sao cho: \[\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}\]

c) Xác định điểm $M$ sao cho: \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\]

 

$30)$. 

$a.)$

$$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{2IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}$$

$b.)$

$$\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}$$

$c.)$

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{GC}$$

Công việc định điểm là chuyện mẫu giáo   

$\square$

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto:

 

$28)$ Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NC=2NA$.

a) Xác định điểm $K$ sao cho: \[3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-12\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{0}\]

b) Xác định điểm $D$ sao cho: \[3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}-12\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{0}\]

$28)$

$a.$

Dựng $I$ là trung điểm $MN$.

$$3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-12\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 6\overrightarrow{AM}+6\overrightarrow{AN}=12\overrightarrow{AK}\Leftrightarrow 12\overrightarrow{AI}=12\overrightarrow{AK}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AK}\Leftrightarrow K\equiv I$$

$b.$

$$3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}-12\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 6\overrightarrow{AM}+6\overrightarrow{AN}+6\overrightarrow{AN}-12\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 12\overrightarrow{AK}-12\overrightarrow{KD}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KD}$$

Và ta đã dựng được điểm $D$

$\square$

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

$31)$ Cho các điểm $A;B;C;D;E$. Xác định các điểm $O;I;K$ sao cho:

a) $$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$

b) $$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$$

c) $$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+3(\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE})=\overrightarrow{0}$$

Tư tưởng câu $c)$ được áp dụng cho $a$ và $b$.

$c)$ Một cách không tường minh, ta tìm được duy nhất một điểm $I$ là tâm tỉ cự của họ điểm $\begin{Bmatrix} A;B;C;D;E \end{Bmatrix}$ với họ $\begin{Bmatrix} 1;1;1;3;3 \end{Bmatrix}$

Từ đó: $$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+3\overrightarrow{KD}+3\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 9\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{0}$$

Và vì thế ta đã xác định được điểm $K$.

__________________________________

Một cách tường minh, ta vẫn luôn luôn xác định được tâm tỉ cự $I$, mời bạn đọc xem xét cách giải tường minh này.

@ Viet Hoang 99: Cách tường minh giống với bài của CHU HOANG TRUNG ở trang 2 TOPIC

Tuy nhiên chỉ dùng cách này khi không còn cách nào khác.

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

 

$36)$ Cho tam giác $ABC$ cố định. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{a}=\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}\] không phụ thuộc vị trí của điểm $M$

$36)$ $$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB}$$

Bằng phép dựng vector, ta thấy $\overrightarrow{a}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$.

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

$37)$ Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh chỉ có một điểm $M$ thoả mãn hệ thức: \[2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\]

$37)$ $$2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DM}$$

Ta dựng $\overrightarrow{CJ}=3\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CI}=2\overrightarrow{CA}$.

Từ đó: $2\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{DM}$

Và hiển nhiên $M$ tồn tại duy nhất $\square$

@ Viet Hoang 99: Với $H$ là trung điểm $IJ$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $G$ trọng tâm. Với độ dài $3$ cạnh là $a,b,c$ . $AG,BG,CG$ giao $(O)$ lần lượt tại $M,N,P$.

Hãy chứng minh bđt sau: $$\frac{1}{GM^2}+\frac{1}{GN^2}+\frac{1}{GP^2} \geq \frac{27}{a^2+b^2+c^2}$$

Cho tam giác $ABC$, trên $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $\overrightarrow{BD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$ . Gọi $E$ là điểm thỏa mãn hệ thức $4\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{EB}+3\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}$ . Trên $AC$ lấy điểm $F$ sao cho $\overrightarrow{AF}=k\overrightarrow{AC}$.

$1.$ Hãy xác định $k$ sao cho $B;E;F$ thẳng hàng

$2.$ Hãy xác định $I$ và số thực $k$ sao cho $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{MI}$ với mọi điểm $M$

Hãy chứng minh rằng:

$$sin(\alpha -\beta)=sin\alpha.sin\beta+cos\alpha.cos\beta$$

Chứng bằng quy nạp rằng:

Với $\forall n \in \mathbb{N}^*, n\geq 3$ , ta có $$n^{n+1}> (n+1)^n$$

 

1.2 Bài tập

 

1) Cho tam giác $ABC$. $D;E\in AB;AC$ sao cho $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}; \overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{EA}$. $M$ là trung điểm $DE$. $I$ là trung điểm $BC$. $N\in CD$ sao cho $\overrightarrow{ND}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{y}$. Cmr:

a) $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{x}+\dfrac{1}{8}\overrightarrow{y}$

b) $\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{x}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{y}$

 

$a)$ $$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{x}+\frac{1}{4}\overrightarrow{y}$$

$b)$ $$\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{CI}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{DI}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{EI}$$ $$\Leftrightarrow \overrightarrow{DI}+\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{DB}$$ $$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\frac{3}{4}\overrightarrow{y}$$

Cho $a;b;c>0$. Chứng minh rằng:

$$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{a}{2a+b}$$

Cho: $$\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m}=0$$

Chứng minh phương trình: $$ax^2+bx+c=0$$ có nghiệm nằm trong khoảng $(0;1)$

 

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015

 

 

Câu IV: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\frac{a\left ( a^3+b^3 \right )}{a^2+ab+b^2+}+\frac{b\left (b^3+c^3 \right )}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c\left (c^3+a^3 \right )}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^2$$

 

Ta có nhận xét:$$\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a}{3}$$

Từ đó:$$\sum \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{2a^2}{3}\geq \frac{2}{9}(\sum a)^2$$

Chứng minh rằng:

$\boxed{1}$Các trung điểm hai đường chéo trong tứ giác ngoại tiếp đường tròn luôn thẳng hàng với tâm của đường tròn nội tiếp.

$\boxed{2}$Khi chia ba góc của một tam giác thì giao điểm của các đường chia là ba đỉnh của một hình tam giác đều.

ta có 

$VT=\sum \frac{\sqrt{2}xy}{\sqrt{2y(1-y)}}\leq$ $\sum \frac{2\sqrt{2}xy}{y+1}= \sum 2\sqrt{2}x[1+\frac{9}{16}(y+1)-\frac{9}{16}(y+1)-\frac{1}{y+1}]\leq \sum 2\sqrt{2}x(\frac{1}{16}+\frac{9y}{16})$ $= \frac{\sqrt{2}}{8}\sum (x+9xy)=\frac{\sqrt{2}}{8}(\sum x+3.3\sum xy)\leq \frac{\sqrt{2}}{8}[\sum x+3(\sum x)^{2}]=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (dpcm)

dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ 

Cho em hỏi ý tưởng chỗ màu đỏ ?

$x,y,z>0$ và $x+y+z=1$ . Tìm max 

$P=\frac{x}{x+zy}+\frac{y}{y+xz}+\frac{\sqrt{xyz}}{z+xy}$

Bạn tham khảo tại đây

Bài toán:

$\boxed{1}$Chứng minh rằng : Với mọi số thực dương $a;b;c$ ta có bất đẳng thức sau:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}\leq \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$$

$\boxed{2}$Chứng minh rằng : Nếu $a;b;c >0$ thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

$$\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}$$

Ý tưởng sử dụng kĩ thuật nhỏ mà ko nhỏ đúng rùi cơ mà đánh giá còn thô quá. Còn điểm đẳng thức $a=b=c=d=\frac{5}{6},e=\frac{5}{3}$ đâu????????

À để xem lại đã !! 

Bài toán:

Cho các số dương $x,y,z$ thoả $x+y+z=1$.

Chứng minh rằng:$$\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\frac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\frac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\le\frac{\sqrt 2}{2}$$

 

Bài toán:

Cho $a,b,c,d,e$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c+d+e=5$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{20}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}}\geq 9$$
 

 

Lời giải:

Ta đặt: $$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = 5 +20t^2$$

Trong đó $t \in [0;1)$

Từ đó bất đẳng thức viết lại:$$\sum \frac{1}{a}+\frac{4}{1+4t^2}\geq 9$$

Xét $t=0$ . Áp dụng $BCS Engle$ ta có bđt đúng.

Xét $0<t<1$ ta được :$$\sum \frac{1}{a}=\frac{5}{1+4t}+\sum \frac{1+4t-a}{a(1+4t)}$$

$$\Longrightarrow \sum \frac{1}{a}+\frac{4}{1+4t^2}=\frac{5}{1+4t}+\sum \frac{1+4t-a}{a(1+4t)}+\frac{4}{1+4t^2}> 9$$

Tóm lại, bất đẳng thức đã được chứng minh xong .

Dấu $=$ khi và chỉ khi $t=0$ tức $\sum a^2 =5$ lại có $\sum a =5$ nên $a=b=c=d=e=1$       $\square$