t chưa biết rõ cách chọn điểm rơi của bđt này,bn nói rõ hộ t với

Chọn điểm rơi ở đây tức là chọn giá trị của biến để biểu thức đạt Max - Min cần tìm hay thỏa mãn BĐT đã cho.

Đối với những bài có biểu thức đối xứng giữa các biến (như bài của bạn chẳng hạn) thì điểm rơi thường là các biến bằng nhau.

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1} (1)$

Đề thi của l4lzTeoz

MSS54:

ĐKXĐ: $\forall x \in \mathbb{R}; x \geq 1$

Ta có pt: $(1) \Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^2+x+1)=7\sqrt{(x - 1)(x^2+ x + 1)}$

- Xét x = 1 thì (1) trở thành: $2.1^2+5.1-1=7\sqrt{1^3-1} \\ \Leftrightarrow 6=0$

Điều này vô lí $\Rightarrow$ x = 1 không là nghiệm của (1).

- Xét $x \neq 1$ thì (1) $\Leftrightarrow 3+\dfrac{2(x^2+x+1)}{x-1}= 7\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}} (2)$

Đặt $\sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}=t (t \geq 0)$ thì (2) trở thành: $3+2t^2=7t \\ \Leftrightarrow 2t^2-6t-t+3=0 \\ \Leftrightarrow (t-3)(2t-1)=0 \\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=3 & \\ t=\dfrac{1}{2} & \end{bmatrix}$

(thỏa mãn đk: $t \geq 0$)

$\bigstar t=3$ $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}=3 \Leftrightarrow \dfrac{x^2+x+1}{x-1}=9 \\ \Leftrightarrow x^2-8x+10=0(3)$

(3) là pt bậc hai ẩn x có $\Delta '=(-4)^2-1.10=6>0$ nên (3) có 2 nghiệm phân biệt: 

$\begin{bmatrix} x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt{6}}{1}=4-\sqrt{6} & \\ x_2=\dfrac{-(-4)+\sqrt{6}}{1}=4+\sqrt{6} & \end{bmatrix}$

(thỏa mãn ĐKXĐ và $x \neq 1$)

$\bigstar t=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x^2+x+1}{x-1}}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{x^2+x+1}{x-1}=\dfrac{1}{4} \\ \Leftrightarrow x^2+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}=0(4)$

(4) là pt bậc hai ẩn x có $\Delta=(\dfrac{3}{4})^2-4.1.\dfrac{5}{4}=\dfrac{-71}{16}<0$ nên (4) vô nghiệm.

Như vậy pt (1) có tập nghiệm $S=\left \{4 \pm \sqrt{6} \right \}$

   d =10

   S =47

Dấu $=$ của bạn sai rồi, $x+y+z=3$ cơ mà

Nhầm, đã fix

có cách thcs hk 

Bạn đọc không hiểu à? Đây chỉ là kiến thức biến đổi nhẹ thôi, chưa đụng cao đâu, lớp 8 làm bình thường mà,

z nhờ anh giải giúp bài này ";

cho 3 số x, y,z thỏa mãn : $-1\leq x,y,z\geq 3$ và x+y+z=3$

chứng minh rằng : $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 11$

cảm ơn anh nhiều

Phải là $-1\leq x,y,z\leq 3$ 

Đặt x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.

Có $-1\leq x,y,z\leq 3$ và $x+y+z=3$ nên $-2 \leq a;b;c \leq 2$ và $a+b+c=0$

Trong ba số a; b; c có hai số cùng dấu. G/s hai số đó là a và b thì $ab \geq 0$ nên $c^2 \leq 2^2=4$

Khi đó $\sum x^2=\sum (a+1)^2=\sum a^2+2.\sum a+3 \\ \leq (a+b)^2+c^2+3=(-c)^2+c^2+3=2c^2+3 \\ \leq 2.4+3=11$

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. & & \\ a+b+c=0 & & \\ ab = 0 & & \\ c^2=4 & & \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ c=-2 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=-1 & & \\ z=3 & & \end{matrix}\right.$ (và các hoán vị của chúng)

Đã có chủ đề tại đây

cho em hỏi 1 bài 

Căn bậc 2 của 24 - căn bậc 2 của 23 + căn bậc 2 của 22 -......- căn bậc 2 của 3 +  căn bậc 2 của 2 -  căn bậc 2 của 1 

chứng minh nó <5/2

Ta có $\sqrt{24}-\sqrt{23}+\sqrt{22}-\sqrt{21}+...+\sqrt{2}-\sqrt{1} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{23}}+\dfrac{1}{\sqrt{22}+\sqrt{21}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}} \\ \leq \dfrac{1}{4}. \Big( \dfrac{1}{\sqrt{24}}+\dfrac{1}{\sqrt{23}}+\dfrac{1}{\sqrt{22}}+\dfrac{1}{\sqrt{21}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1}} \Big) \\ < \dfrac{1}{4}.(2.\sqrt{24}) \\ < \dfrac{1}{4}.(2.\sqrt{25})=\dfrac{5}{2}$

 

vậy thì nhờ mấy anh giúp dùm bài này :

cho a , b là hai số thỏa mãn đẳng thức : $a^{2} + b^{2} +3ab -8a -8b -2\sqrt{3ab} + 19 =0$

 

Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm a và b 

 

Ta có $a^{2} + b^{2} +3ab -8a -8b -2\sqrt{3ab} + 19 =0 \\ \Leftrightarrow (a+b)^{2} -2ab+3ab -8(a+b) -2\sqrt{3}.\sqrt{ab} + 19 =0 \\ \Leftrightarrow [(a+b)^{2}-8(a+b)+16]+[ab-2.\sqrt{ab}.\sqrt{3}+3] =0 \\ \Leftrightarrow (a+b-4)^2+(\sqrt{ab}-\sqrt{3})^2 =0 \\ \Leftrightarrow a+b-4=sqrt{ab}-\sqrt{3}=0 \\ \Leftrightarrow a+b=4;ab=3$

Áp dụng đ/l Viet đảo thì a; b là nghiệm của  pt: $X^2-4X+3=0$

cặp mod 001,004 là cặp trai tài gái sắc của trường mình đấy

Thế hóa ra chọn cặp mod tài năng nhất à :3

Cho $A$ là điểm chính giữa của nửa (O;R=2). Dây $BC$ vuông góc với $OA$ tại trung điểm của $OA$. $M$ là điểm chính giữa cung $AC$. Tính $MB+MC$

Vận dụng các t/c về cung trong đường tròn:

$BC=2.IB=2.\sqrt{OC^2-OI^2}=2.\sqrt{R^2-\dfrac{R^2}{4}}=\sqrt{3}.R$

Tam giác AOC có AO = OC và CI vừa là trung tuyến vừa là đ,cao nên AOC đều.

Như vậy tính được $\angle MBC=\dfrac{1}{2}\angle ABC$ (do M nằm chính giữa cung AC) $=\dfrac{1}{4}\angle AOC=\dfrac{1}{4}.60^o=15^o$

Và $\angle BMC=\angle BAC=2\angle OAC=120^o \\ \angle BMC=180^o-\angle BMC-\angle MBC=45^o$

Áp dụng đ/l hàm số sin vào tam giác MBC:

$\dfrac{MB}{\sin 15^o}=\dfrac{MC}{\sin 45^o}=\dfrac{MB+MC}{\sin 15^o+ \sin 45^o}=\dfrac{BC}{\sin 120^o}=\dfrac{\sqrt{3}.R}{\sin 120^o}=2R$

Suy ra $MB+MC=2R.(\sin 15^o+ \sin 45^o)=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

Mình lại không nghĩ vậy, các bài làm mà kết luận luôn tập nghiệm vậy thì dễ quá rồi, vì có rất nhiều công cụ hỗ trợ để tìm nghiệm (Trong chữ ký của mình đó).

 

Theo mình bài làm phải giải rõ chứ không viết mỗi nghiệm ra.

Tuy nhiên,có thể kết luận của mình sai 

 

 

 

Mình cũng nghĩ là đối với mấy bài dạng : "Tồn tại hay không ... " (không riêng ở dạng pt nghiệm nguyên hay chứng minh chia hết của số học, v...v...) thì thường là không tồn tại (nhưng bài này lại đặc biệt có ) Mình cũng nghĩ là nên giải rõ ra sau đó kết luận cụ thể là tồn tại và số thỏa mãn là gì. 

Vậy chắc đa số các bài tìm cụ thể ra (x; y) đều kế luận sai.

1/

3/

4/

Đã giải ở đây 

MSS54: (làm tiếp)

Bảng giá trị thứ hai: 

Kết hợp cả 2 bảng giá trị ta thấy cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đề là (1; 2)

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094(*)$$ 

Đề của 

lenin1999

MSS54:

Giả sử tồn tại cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn (*)

Do x;y nguyên nên $2025x^2+2012x+3188$ và $2013x-2011y+2094$ cũng nguyên.

Kết hợp (*) $\Rightarrow 2025x^2+2012x+3188=m^2 (m \in Z)$

$\Rightarrow \sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094=|m|$

Hay $2013x-2011y=|m|-2094$(**)

Ta có $m^2-[(45x)^2+2012x+3188]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2-[(45^2x)^2+45^2x.2012+3188.45^2]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2- \Big[ [(45^2x)^2+2.45^2x.1006+1006^2]+5443664 \Big]=0 \\ \Leftrightarrow (45m)^2-(45^2x+1006)^2=5443664 \\ \Leftrightarrow [45m-(45^2x+1006)] . [45m+(45^2x+1006)]=5443664 (1)$

Do x; m nguyên nên $[45m-(45^2x+1006)]$ và $[45m+(45^2x+1006)]$ nguyên. (2)

Mà 5443664 $\vdots 2$ nên $[45m-(45^2x+1006)] . [45m+(45^2x+1006)] \vdots 2$

Xét tổng: $[45m-(45^2x+1006)]+[45m+(45^2x+1006)]=90m \vdots 2$ nên ta suy ra $[45m-(45^2x+1006)]$ và $[45m+(45^2x+1006)]$ đều $\vdots 2$ (3)

Kết hợp (**); (1); (2); (3) ta có bảng giá trị sau:

Cho hỏi cách chứng minh: $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$

Ta biến đổi:

$\dfrac{1}{1+a+ab}=\dfrac{c'}{c'+c'a+abc'}=\dfrac{c'}{c'+c'a+1} \\ \dfrac{1}{1+b+bc'}=\dfrac{c'a}{c'a+abc'+abc'^2}=\dfrac{c'a}{c'a+1+c'}$

(Do abc' = 1)

Như vậy thì $\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}>\dfrac{c'}{c'+c'a+1}+\dfrac{c'a}{c'a+1+c'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$

đpcm.

Cho $a,b,c>0;abc<1$ CMR:$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}<1$

Bài này phải là dấu ">" nhé. Thay một trường hợp vào là thấy mà. Bạn lahantaithe99 sai dấu 1 chỗ

 

Xét số $c'$ sao cho $abc'=1$

 

Mà $abc<1 \rightarrow c<c'$

 

Dễ chứng minh

 

$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$

 

Vì $c<c'$

 

$\rightarrow \dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}>$

$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc'}+\dfrac{1}{1+c'+c'a}=1$

 

Vậy dpcm

Cách của mình ngắn hơn, dễ hiểu hơn, bạn tham khảo:

$\dfrac{1}{1+a+ab}=\dfrac{c}{c+ca+abc}>\dfrac{c}{c+ca+1} \\ \dfrac{1}{1+b+bc}=\dfrac{ca}{ca+abc+abc^2}>\dfrac{ca}{ca+1+c}$

(Do abc < 1)

Như vậy thì $\sum \dfrac{1}{1+a+ab}>\dfrac{c}{c+ca+1}+\dfrac{ca}{ca+1+c}+\dfrac{1}{1+c+ca}=1$

đpcm.

Phương trình đã cho là dạng $ax+b=0$, chỉ có khả năng có một nghiệm, vô nghiệm hay vô số nghiệm thôi.

Cho mình đóng góp cùng nha:
Bài 1***: Cho phương trình: m-2x+m-3=0(với m là tham số).Tìm các giá trị của "m'' để phương trình có 2 nghiệm  $x_{1}x_{2}$ thỏa mãn điều kiện: $x_{1}^{3}.x2+x^{_{1}}.x_{2}^{3}=-6$

 

Chắc đề cho pt này : $mx^2-2x+m-3=0$

$min của \sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)} với x+y+z=3$ 

Bài 120:

Cho $x,y>0$ và $x+y=2$,. Tìm max $A=2xy(x^{2}+y^{2})$

Đề nghị đăng đúng STT bài để tiện theo dõi,

xét 2 trường hợp là sao? mình k biết

Bạn chưa học về CT tính nghiệm của pt bậc II à? Vì có 2 nghiệm mà không biết nghiệm nào là lớn, nghiệm nào là nhỏ nên phải xét 2 T.h để xét xem $x_1;x_2$ là nghiệm nào

Ta có

 

$\sum \frac{a^3}{a+2b^3}$$=\sum (a-\frac{2ab^3}{a+2b^3})=3-\sum \frac{2ab^3}{a+2b^3}$ $(1)$

Ta có

 

$\sum \frac{2ab^3}{a+2b^3}\leqslant$ $\sum \frac{2ab^3}{3.b\sqrt[3]{a}}$$=\frac{2}{3}\sum{b.\sqrt[3]{a^2}}$

 

 

Tử là $a^2$ nhé.

Mẫu thiếu mũ 2 của b.

Fix đi bạn 

bài 1 còn có câu c là : Tìm m để pt có x₁; x₂ thỏa mãn : x₁ + 4x₂ = 3 (*)

Bài 1:

$\Delta ' =(-1)^2-(m+1)(m-1)=1-m^2+1=2-m^2$

Đk để có 2 nghiệm là $\Delta ' \geq 0 \Leftrightarrow -\sqrt{2}<m<\sqrt{2}$

$x_1;x_2$ là hai nghiệm của pt nên ta tính đc 2 nghiệm là:

$x_{1,2}=\dfrac{-(-1) +/- \sqrt{\Delta '}}{m+1}=\dfrac{1 +/- \sqrt{2-m^2}}{m+1}$

Xét 2 T.h $x_1;x_2$ rồi thay vào (*) để tính m.

2. Cho phương trình:

mx² - 2 (m + 1)x + m - 4 =0

a, Tìm m để pt có nghiệm

b, Tìm m để pt có nghiệm trái dấu 

a/ Pt có nghiệm khi $\Delta ' \geq 0 \Leftrightarrow [-(m+1)]^2-m.(m-4) \geq 0$

$\Leftrightarrow 6m+1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{-1}{6}$

b/ Pt có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow m.(m-4) < 0 \Leftrightarrow 0<m<4$

1. Tìm m để pt :

(m + 1)x² - 2x + m - 1 = 0

 

Đề là gì vậy bạn?

1) Đề hình như phải là tìm min bạn ạ

 

$2P=\sum \frac{2}{2x+y+z}=\sum \frac{2(x+y+z)}{2x+y+z}=3+\sum \frac{y+z}{2x+y+z}$

 

$\sum \frac{y+z}{2x+y+z}=\sum \frac{(y+z)^2}{(y+z)(2x+y+z)}\geqslant \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+2(xy+yz+xz)}$

 

(áp dụng bđt BCS dạng cộng mẫu)

 

Lại có

 

$2(xy+yz+xz)\leqslant \frac{2(x+y+z)^2}{3}$

 

$\Rightarrow 2P\geqslant 3+\frac{3(x+y+z)^2}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\geqslant \frac{9}{4}$

 

Cũng là Schwarz nhưng thế này có nhanh hơn không:

$P=\sum \dfrac{1}{2x+y+z}=\sum \dfrac{1}{1+x} \geq \dfrac{9}{\sum (1+x)}=\dfrac{9}{4}$

Ừ, đúng rồi, đề là CM như thế đó.

P/s: Mình cũng đã học về sigma đâu!!

Cho mình hỏi đề 112 có phải CM : $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+d+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

Ở chỗ mình cấp 2 ko được học về zich ma.

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}= \sum {{}\frac{a}{\sqrt{a(b+c+d)}}}\geq \sum \frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}= \sum \frac{2a}{a+b+c+d}$

P/s: Không biết có đúng không?     

Bài này trong pic đã có rồi, bạn đăng trùng.

P/S: chịu khó đọc lại 17 trang của pic đi bạn, không thì cũng phải 14 trang gần đây bạn nhé!