Đặt a+b=x b+c=y c+a=z

BDT cần cm $\Leftrightarrow \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$ (vì a+b+c=1)

Đến đây cô si bình thường ra min bằng 8

Cho a,b,c,d là các số dương.

Chứng minh: $ \huge \frac{a-b}{b+c} +\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\geq \frac{a-d}{a+b}$.

BDT cần cm tương đương vs
$\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{a+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{b}{a+b}+\frac{d}{a+b}\geq 4$ (Đoạn này ko cần chia ra nhưng ngại nhân nên làm tn cho tiện)

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{c^2}{cb+c^2}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{d^2}{cd+d^2}+\frac{a^2}{a^2+da}+\frac{c^2}{ac+dc}+\frac{b^2}{ab+b^2}+\frac{d^2}{ad+bd}\geq 4$
Áp dụng BDT cauchy schawz ta có
$VT\geq\frac{4(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}$

Vậy ta cần cm
$\frac{4(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}\geq 1$
Nhân chéo lên ta nhận đc kq luôn đúng ta có đpcm
Dấu đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d
P/s để phông chữ nhỏ thôi 

Chuẩn quyển này hay đấy học quyển này thôi là đủ tài liệu thi Ams rồi

ĐK $x\geq 0$ (do x nguyên)
Áp dụng BĐT Cauchy: 
$5.\sqrt{8x+1}\leq 13+4x\Rightarrow 5(x^3+8)\leq 7(13+4x)\Leftrightarrow 5x^3-28x-51\leq 0\Leftrightarrow (x-3)(5x^2-15x+17)\leq 0\Leftrightarrow x-3\leq 0\Rightarrow x\leq 3$
Đến đây xét từng giá trị của x (kết hợp với ĐK), ta thấy $x=3$ thỏa mãn.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là $x=3$

đoạn đó bạn cauchy kiểu gì hay vậy chẳng lẽ mò dấu bằng   

1 số bài khá cũ của mình mà vẫn thấy hay!!!!!!!!      

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Bài 3:

Giả sử $x,y,z\geq 1; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

 

Bài 2
BDT cần c/m tương đương vs
$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(b+a)^{2}})\geq \frac{9}{4}$
Áp dụng bdt cauchy scharz ta có
$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(b+a)^{2}})\geq  (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}) ^{2}$
Mặt khác theo bdt nesbit ta có
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Nên $(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geq \frac{9}{4}$ (DPCM)
Bài 3
Từ gt ta có
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 2\Leftrightarrow 3-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3-2\Leftrightarrow \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$
Áp dụng bdt cauchy schawz ta có
$1=\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}\geq \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2}{x+y+z}\Leftrightarrow x+y+z\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2$
Khai căn ra ta có DPCM

Ở TH1 của bạn mình làm ra $\Delta = -3z^{2}+4z$ 

$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow 0\leq z\leq \frac{4}{3}$

Vậy còn $\frac{-4}{3}$

bản thử th 2 chưa x+y+z=-2 ấy,mình làm vội nên cũng chưa thử

thôi cứ thử giải hẳn ra TH2 xem sao @@   
$\left\{\begin{matrix}x+y=-2-z & & \\ xy=1-yz-zx & & \end{matrix}\right.$

vậy x,y là nghiệm của pt

$X^{2}+(z+2)X+1-z(x+y)=0\Leftrightarrow X^{2}+(z+2)X+1-z(-2-z)=0$

$\Leftrightarrow X^{2}+(z+2)X+z^{2}+2z+1=0$
Xet $\Delta$

$\Delta =(z+2)^{2}-4(z^{2}+2z+1)=z^{2}+4z+4-4z^{2}-8z-4=-3z^{2}-4z$
DK de pt co nghiem la $\Delta$ $\geq 0$ $\Leftrightarrow 3z^{2}+4z\leq 0\Leftrightarrow -\frac{4}{3}\leq x\leq 0$

Nên $-\frac{4}{3}\leq z< \frac{4}{3}$ (dấu đẳng thức 2 không sảy ra nên ta có dpcm)

nhưng nếu z $< 0$ thì $\Delta$ âm vậy không tồn tại x,y nên chắc  bdt không có dấu bằng sảy ra

Bài 3: Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2\\ xy+yz+zx = 1 \geq 0 \end{matrix}\right.$

CMR: $\frac{-4}{3}\leq x,y,z\leq \frac{4}{3}$

Giúp mình nhé! Tks       

Nhân 2 pt 2 rồi cộng vs pt 1 ta đc

$(x+y+z)^2=4$
TH1 x+y+z=2

do vai trò của x y z như nhau ta chỉ cần cm trường hợp đối vs x các trường hợp khác tương tự
x+y+z=2
nên x+y=2-z (1)
mà từ pt 2 ta suy ra 
$xy=1-(x+y)z\Leftrightarrow xy=1-(2-z)z$ (2)

Từ 1 và 2 ta suy ra x,y là 2 nghiệm của pt 

$X^{2}+(z-2)X+z^{2}-2z+1$
ĐK để pt có nghiệm là $\Delta \geq 0$
đến đây $\Delta$ suy ra dpcm
TH2 tương tự

Bài 1

1,CMR

$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2014}}< 2\sqrt{2014}$
2,Tìm tất cả các số nghuyên x,y thoả mãn

$x^{3}-xy+2x+2y+1=0$

Bài 2

1,GPT
$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x}=3x-3+2\sqrt{2x^{2}-x}$

2,Cho các số thực x,y,z thoả mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz$

Tìm $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}$

Bài 3

Cho điểm A thuộc nửa đường tròn đường kính BC, H là hình chiếu của A lên BC.Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiệp ABH và ACH. Đườg thẳng IJ cắt AB AC tại E và F

1,CMR AEF là tam giác cân

2,CMR BIJC nội tiếp

3,Tìm vị trí điểm A để CV HIJ Max

Bài 4

Cho m,n là 2 số tự nhiên thoả mãn $3m^{2}+m=4n^{2}+n$
CMR $m-n$ và $4m+4n+1$ là SCP

Bài 5 (dễ nhất bài)
cho 3 số dương x,y,z.CMR

$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}> 2$

vs ca ro rang bdt nho hon khi x = y =3

ban gi oi bai day lam the nao de lua chon dau bang dep the ha ban lam the nao ban biet cach tach ghep hop li?

vang em cam on a

Mình chỉ gợi ý thôi bạn tự làm nhé vì 2 bài này không khó
1, Sử dụng hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
2,Sử dụng tính chất tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

Sorry làm sai nhé :v dạo này ngu quá

Quên mất bài này năm ngoái học rồi =((

tại sao để pt có nghiệm thì điều đó phải xảy ra ạ?

tại sao lại đạt t=$\frac{x}{y}$ vậy ạ

Em đọc thêm phần pt bậc 2 delta nhé 
Còn việc đặt như thế là 1 kĩ năng, để làm gọn lại thôi mà

CHo x,y > 1 

                    CM: $\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)} \geq 8$

Ta có
$\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có
$\frac{x^{2}}{y-1}\geq \frac{4x^{2}}{y^{2}}$
Tương tự
$\frac{y^{2}}{x-1}\geq \frac{4y^{2}}{x^{2}}$
Vậy suy ra
$\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}\geq \frac{4x^{2}}{y^{2}}+\frac{4y^{2}}{x^{2}} \geq 8(AM-GM)$
Ta có đpcm dấu đẳng thức sảy ra khi x=y=2

Bài 1 sai đề nhé tớ lấy đc phản ví dụ ngay nè
Vs $x=y=z=1$ thì $VT=3/2<2$ Vô lý
Có lẽ đề là tn 
$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{y+x}}> 2$

Giải:

$VT=\sum \frac{x}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \sum \frac{2x}{x+y+z}=2$
Dấu đẳng thức sảy ra khi x=y=z=0 vô lý vậy dấu đẳng thức ko sảy ra (DPCM)

Đây thực chất là hàm đồng biến bạn ạ .Khi gặp 1 hàm đơn điệu thì nó luôn luôn chỉ có 1 nghiệm duy nhất , vấn đề là mò ra nghiệm đấy thôi

2) Giải phương trình $\sqrt{\frac{42}{5-x}}+\sqrt{\frac{60}{7-x}}=6$

2,
TH1,
$5> x> \frac{1}{3}\Rightarrow VT> 6$
TH2,
$x< \frac{1}{3}$  $\Rightarrow VT< 6$
TH3

$x=\frac{1}{3}$
Thử lại T/M
Vậy $x=\frac{1}{3}$ là nghiệm duy nhất của pt

Hình như đây là tài liệu dồn biến của PTV

Bdt cần cm $\Leftrightarrow (x+y+z)^{3}\geq 27xyz\Leftrightarrow 1-27xyz\geq 0$

Câu $I$: Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $5$. CMR $p-4$ ko thể là lũy thừa bậc $4$ của $1$ số nguyên.

Câu $II$: Giải hệ phương trình  $\left\{\begin{matrix} x^3=y^3+56 & & \\ 3x^2-9x=y^2-y+10 & & \end{matrix}\right.$

Câu $III$:Cho tam giác $ABC$ nhọn. $P$ là điểm di chuyển trên $BC$. $(K)$, $(L)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $PAB$, $PAC$. Lấy $S$ $thuộc$ $(K)$ sao cho $PS//AB$, lây $T$ thuộc $(L)$ sao cho $PT//CA$.

a, CMR $(A,T,S)$ đi qua điểm cố định khác $A$ là $J$
b, GỌi $(K)$ cắt $CA$ tại  $E$,$(L)$ cắt $AB$ ở $F$ khác $A$. $BE$ cắt $CF$ ở $G$. CMR $PG$ đi qua $J$ khi và chỉ khi $AP$ đi qua tâm đg tròn Euler của tam giác $ABC$.

Câu $IV$:$a,b,c>0$ CMR
$\sum \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+b^2+ab}\geq \frac{2}{9}(a+b+c)^2$
 

Câu $V$:Với $n$ là một số nguyên dương ta xét $1$ bảng ô vuông $n$ x $n$. Mỗi ô vuông con đk tô bởi $2$ màu đỏ và xanh. TÌm $n$ nhỏ nhất sao cho vs mỗi cách tô màu luôn có thể chọn đk $1$ hình chữ nhật các ô vuông con kích thước $m$ x $k$ $(2\leq k; m \leq n)$ mà bốn ô vuông con ở $4$ góc của hình chữ nhật này có cùng màu

Làm rõ thêm đi bạn

Đặt $\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+x+1}=b & & \\ \sqrt{x^{2}-x+1}=a & & \end{matrix}$
PTTT
$2a^{2}-b^{2}=\frac{-\sqrt{3}}{3}ab\Leftrightarrow 2a^{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}ab-b^{2}=0\Leftrightarrow 2\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{a}{b}-1=0$
Giải pt bậc 2 ẩn $\frac{a}{b}$ Ta có 
$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}} & & \\ \frac{a}{b}_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2} & & \end{matrix}\right.$
Tất nhiên TH2 loại do $\frac{a}{b}>0$
Thay $\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+x+1}=b & & \\ \sqrt{x^{2}-x+1}=a & & \end{matrix}$ 
Từ đó giải ra x

$b, n^{3}+2n$ chia hết cho 3 $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Câu a chị xem lại đề nhé
b,$n^{3}+2n=n^{3}-n+3n$
Ta có với mọi n nguyên dương $n^{3}-n\vdots 6$ do $n^{3}-n=n(n-1)(n+1)$ (tích của 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6)
Mặt khác 3n luôn chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương
Suy ra $n^{3}-n+3n=n^{3}+2n\vdots3$ (dpcm)

$a, n^{3}+3n^{2}+5n$ chia hết cho 3 $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Ta có $n^{3}+5n=n^{3}-n+6n$
Tương tự câu b ta có $n^3-n\vdots 3$.Suy ra  $n^{3}-n+6n=n^{3}+5n\vdots3$
Lại có $3n^{2}\vdots 3$
Suy ra
$n^{3}+3n^{2}+5n\vdots 3$ (dpcm)