Chém câu hình luôn nhé! Câu a,b thì chắc ai cũng làm được nên mình xin chém câu c. 

Dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ nên suy ra được $MH$_|_ $HE$. Mà $HE$ _|_ $AC$ nên $MH//AC$. Tương tự, ta cũng chứng minh được $NH//AB$. Từ đó suy ra các tứ giác $BDPH$ và $CEQH$ nội tiếp. Từ đó ta sẽ có 

$\widehat{DPB}=\widehat{DHB}=\widehat{BAH}=\widehat{SEH}$ và $\widehat{EQC}=\widehat{EHC}=\widehat{CAH}=\widehat{EDH}$ 

Từ đó, ta sẽ chứng minh được $BP$ và $CQ$ lần lượt là hai đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH$,$BP$,$CQ$ đồng quytriangle.png

Tại sao lại dễ thấy $\Delta MHE$ vuông tại $H$ được luôn à bạn. 

Mình ngồi cả buổi chiều chỉ cần chứng minh được cái đấy là ra luôn mà.. Ngồi mãi mà chẳng ra..

bài 4c mình làm sai rồi, hix

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho dãy $(x_{n})$ thỏa mãn:

$x_{1}=1,x_{2}=1,x_{3}=3$

$x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}.\forall n\geq 4$

Chứng minh: mọi số hạng của dãy nguyên.

Lâu lắm chưa vào diễn đàn, hôm nay thấy anh Mạnh đăng đề CSP nên vào chém tạm bài dãy vậy. Không biết đúng hay không nữa     

Ta sẽ tính được $x_{4}=7$

Theo đề bài ta có: $x_{n}x_{n-3}=x_{n-1}^{2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2} (1)$

Do đúng với mọi $n\geq 4 $

$\Rightarrow x_{n+1}x_{n-2}=x_{n}^{2}+x_{n}x_{n-1}+x_{n-1}^{2} (2)$

Lấy $ (1)-(2)$ 

$\Rightarrow x_{n+1}x_{n-2}+x_{n-1}x_{n-2}+x_{n-2}^{2}=x_{n-1}x_{n}+x_{n-3}x_{n}+x_{n}^{2}$

$\Rightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}}=\frac{x_{n-2}}{x_{n}+x_{n-1}+x_{n-3}}$ đúng với mọi $n\geq 4 $

$\Rightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}}=\frac{x_{n-2}}{x_{n}+x_{n-1}+x_{n-3}}=...=\frac{x_{2}}{x_{4}+x_{3}+x_{1}}=\frac{1}{7+3+1}=\frac{1}{11}$

$\Rightarrow 11x_{n}=x_{n+1}+x_{n-1}+x_{n-2}$

Do $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ nguyên.

Theo quy nạp $\Rightarrow x_{n}\in Z$ $\forall n\geq 4$.

$\Rightarrow Q.E.D$ 

Chứng minh rằng:
 $\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+ \frac{x^2}{y^2}+ \frac{y^2}{x^2}\geq 3$

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào.

@votruc:Chú ý cách đặt tiêu đề

Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF. Đường tròn đi qua D, E, F cắt BC, CA, AB theo thứ tự ở M, N, P. Chứng minh rằng các đường thẳng kẻ từ M vuông góc với BC, kẻ từ N vuông góc với AC, kẻ từ P vuông góc với AB đồng quy tại một điểm

Anh giải kỹ hộ em được không ạ. Em không hiểu bài này cho lắm ạ 

Em cảm ơn anh.

Cho $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Tìm $n$ sao cho $S(n)$ là ước lớn nhất của $n$ và khác $n$.

Do $0\leqslant a\leqslant 1$ nên $a^2\leqslant a$, do đó $a^2+b^2+c^2\leqslant a+b+c=2$

Bài của bạn dấu = không xảy ra

Có mà, dấu = xảy ra khi 2 số bằng 1 và 1 số bằng 0

Ta có:$(a-1)(b-1)(c-1)-abc\leq 0$

$\Leftrightarrow (ab-a-b+1)(c-1)-abc\leq 0$

$\Leftrightarrow abc-ab-bc-ac+a+b+c-1\leq 0$

$\Leftrightarrow a+b+c\leq ab+bc+ac+1$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)\leq 2(ab+bc+ac)+1$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2\leq (a+b+c)^2+1$

$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 1$$

Thế dấu bằng xảy ra khi nào hả bạn

Giải:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}\leqslant \sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}=\frac{\sqrt{ab+3}}{\sqrt{c^2+3}}$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{4\sqrt{ab+3}}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{9c}{\sqrt{c^2+3}}$

Ta có $3=ab+c(a+b)\geqslant ab+2c\sqrt{ab}\Rightarrow \sqrt{ab}\leqslant -c+\sqrt{c^2+3}$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{4\sqrt{2(c^2+3)-2c\sqrt{c^2+3}}}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{9c}{\sqrt{c^2+3}}=4\sqrt{2-\frac{2c}{\sqrt{c^2+3}}}+\frac{9c}{\sqrt{c^2+3}}$

Đặt $t=\frac{c}{\sqrt{c^2+3}}(0<t<1)$

$\Rightarrow P\leqslant f(t)=4\sqrt{2-2t}+9t$

Đến đây khảo sát hàm $f(t)$ trên $(0;1)$

nhưng đây là 1 bài toán thi thử vào lớp 10 mà bạn, làm sao mà khảo sát hàm số được, bạn làm theo cách lớp 9 được ko vậy.

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn : $ab+bc+ca=3$. Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức : 

$P=4(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+3}})+\frac{9c}{\sqrt{c^{2}+3}}$

Cách khác đây. Ta có $(x^2+y^2)^2\geq 4x^2y^2$ Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y$
Đặt $A=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \Rightarrow A+2=\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{x^2y^2} \Leftrightarrow A+2= \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}+\frac{3(x^2+y^2)^2}{4x^2y^2}\geq 2+3=5 \Rightarrow A\geq3$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow x=y$
Vậy $A\geq3 \Leftrightarrow x=y$
Nhớ LIKE nhá!!!!!!

 

 

Bài 30: Cho hai dãy số sắp thứ tự: $a\geq b\geq c;x\leq y\leq z$

 

Chứng minh bất đẳng thức $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz)$

 

Ta có: $(a+b+c)(x+y+z)\geq 3(ax+by+cz) \Leftrightarrow a(x+y+z)-3ax +b(x+y+z)-3by+c(x+y+z)-3cz\geq 0 \Leftrightarrow a(y+z-2x)+ b(x+z-2y)+ c(x+y-2z)\geq 0 \Leftrightarrow a\left [ (y-x)+(z-x) \right ]+b\left [ (x-y)+(z-y) \right ]+ c\left [ (x-z)+ (y-z) \right ]\geq0 \Leftrightarrow a(y-x)+a(z-x)-b(y-x)+b(z-y)-c(z-x)-c(z-y)\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)(y-x)+(a-c)(z-x)+(b-c)(z-y)\geq0$

 

Bài 16: Cho các số dương a, b, c, d. CMR:

 

                  $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$

 

 Cách này hay nhá!! Độc luôn           
Đặt $A= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}; M= \frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}; N= \frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b} \Rightarrow M+N= \frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}+\frac{a+b}{a+b}=1+1+1+1=4$
Ta có: $A+M= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}$
Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho 4 số không âm:
$\Rightarrow A+M= \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b} \geq 4\sqrt[4]{\frac{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}{(b+c)(c+d)(d+a)(a+b)}} \Leftrightarrow A+M \geq 4$
Chứng minh tương tự: $A+N \geq 4 \Rightarrow 2A+M+N\geq 8 \Leftrightarrow 2A \geq 4(Do M+N=4)\Leftrightarrow A \geq 2$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d$

Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$
Chứng minh rằng:

 a) xyz chia hết cho 3

 b) xyz chia hết cho 60

Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta luôn có:

$a, a^{2} + 5b^{2} -4ab + 2a - 6b + 3 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-2b)^2+2(a-2b)+1+b^2-2b+1+1\geq0 \Leftrightarrow (a-2b+1)^2+(b-1)^2+1> 0$ luôn đúng với mọi a,b

Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta luôn có:

$b, a^{2}+2b^{2} - 2ab + 2a - 4b + 2 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+2(a-b)+1+b^2-2b+1\geq0 \Leftrightarrow (a-b+1)^2+(b-1)^2\geq0$ luôn đúng với mọi a,b
Nhớ like nhá!!!

$1.$ Với $n$ lẻ. Chứng minh rằng: $(x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n \vdots (x+y)(y+z)(z+x)$.
$2.$ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để: $1+x^4+x^8+..+x^{4n} \vdots 1+x^2+x^4+..+x^{2n}$ là $n$ chẵn
$3.$ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để: $1+x^n+x^{2n}+..+x^{mn} \vdots 1 +x+x^2+..+x^m$ là $(m+1;n)=1$ hay $m+1$ và $n$ nguyên tố cùng nhau.

Anh có thể giải kỹ cho em bài 2 được không ạ. Em chưa hiểu lắm.

Để mình giải chi tiết ra cho nha
 Đặt $ax^3=by^3=cz^3=k^3 => a=\frac{k^3}{x^3}; b=\frac{k^3}{y^3}; c^3=\frac{k^3}{z^3} => \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{\frac{k^3}{x^3}}+\sqrt[3]{\frac{k^3}{y^3}}+\sqrt[3]{\frac{k^3}{z^3}}= \frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}= k\left (\frac{1}{x} +\frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \right )=k$
$\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{k^3x^2}{x^3}+\frac{k^3y^2}{y^3}+\frac{k^3z^2}{z^3}}=\sqrt[3]{\frac{k^3}{x}+\frac{k^3}{y}+\frac{k^3}{z}}= \sqrt[3]{k^3\left ( \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}\right )}=\sqrt[3]{k^3}=k$
 $=> \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{ax^3+by^2+cz^2}=k$

Giải phương trình:
$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[4]{x-5}=6$
 

1/ Cho P= $(\frac{1}{\sqrt{a}-1}- \frac{1}{\sqrt{a}}) : (\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1})$

 a/ tìm đk của $a$ để $P$ xác định?

b/ Rút gọn $P$?

c/ Tìm giá trị của $a$ để $P>\frac{1}{6}$?

a/ P xác định $\Leftrightarrow \sqrt a\neq 0; a\geq 0; \sqrt a\neq1; \sqrt a\neq2 \Leftrightarrow a> 0; a\neq1; a\neq4$
b/ Ta có $P\Leftrightarrow \left [\frac{\sqrt a -\sqrt a +1}{\sqrt a(\sqrt a-1)} \right ]: \left [ \frac{a-1-a+4}{(\sqrt a-1)(\sqrt a-2)} \right ] = \frac{(\sqrt a-1)(\sqrt a-2)}{3\sqrt a(\sqrt a-1)} = \frac{\sqrt a-2}{3\sqrt a}$
c/ Để $P> \frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{\sqrt a-2}{3\sqrt a}> \frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{2\sqrt a-4-\sqrt a}{6\sqrt a}>0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt a-4}{6\sqrt a}>0$ (Do $6\sqrt a >0$) $$$\Leftrightarrow \sqrt a- 4 >0$ \Leftrightarrow \sqrt a>4 \Leftrightarrow a>16$$ (Thỏa mãn điều kiện xác định)

2/ Cho A=$\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+ \frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}+ \frac{1}{1-\sqrt{x}}$

a/ tìm đk của $x$ để $A$ xác định?

b/ Rút gọn $A$?

c/ Tìm GTLN của $A$?

a/ $A$ xác định $\Leftrightarrow x\geq0; x\sqrt x\neq1; \sqrt x\neq1$
b/ Ta có $A\Leftrightarrow \frac{x+2}{(\sqrt x)^3 -1}+ \frac{\sqrt x+1}{x+\sqrt x+1}-\frac{1}{\sqrt x-1} =\frac{x+2}{(\sqrt x-1)(x+\sqrt x+1)}+ \frac{\sqrt x+1}{x+\sqrt x+1}-\frac{1}{\sqrt x-1} =\frac{x+2+(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)-x-\sqrt x-1}{(\sqrt x-1)(x+\sqrt x+1)} =\frac{-(\sqrt x-1)+(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)}{(\sqrt x-1)(x+\sqrt x+1)} =\frac{(\sqrt x-1)(\sqrt x+1-1)}{(\sqrt x-1)(x+\sqrt x+1)} =\frac{\sqrt x}{x+\sqrt x+1}$
c/ Câu c lạ quá hình như sai đề