Gọi giao điểm của BD với CM,CN lần lượt là E,F.Gọi H là giao điểm của MF vói NE.CI cắt MN tại I.

Ta có: $\angle MBF=\angle MCF=45\Rightarrow$ Tứ giác BCFM nội tiếp=> $\angle MFC=90$ => MF là đường cao của tam giác MNC.

Tương tự ta có: NE là đường cao của tam giác MNC=> H là trực tâm tam giác MNC=>CI là đường cao tam giác MNC

Ta có: tứ giác BMFC và EFNM nội tiếp=>$\angle BMC=\angle BEC=\angle CMI \Rightarrow \bigtriangleup CMB=\bigtriangleup CMI\Rightarrow MI=BM$

Tương tự ta có:NI=DN

Do đó: chu vi tam giác AMN=AN+AM+MN=AB+AD=$\frac{1}{2}$chu vi hình vuông ABCD

Giả sử $x^{2}\geq y^{2}\geq z^{2}\geq 0$$\Rightarrow x^{6}\geq y^{6}\geq z^{6}$

Từ (3)=>$2z^{2010}\geq x^{6}+z^6=2y^{2010}\Rightarrow z^2\geq y^2$

Tương tự $y^{2}\geq x^{2}\Rightarrow x^{2}\geq y^{2}\geq z^{2}\geq y^{2}\geq x^{2}\Rightarrow x^{2}=y^{2}=z^{2}$

Đến đây dễ dàng rùi bạn tự giải nhé )

Cho 3 số thực $a,b,c\geq 1$ tìm GTLN của: $P=\frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{abc+1}$

hay. đánh giá theo kiểu này đỡ hơn tí xíu $x^{6}+64+64\geq 3.16.x^2\geq 6x^3(\frac{1+5-x^2}{2})\geq 6y^3(3+\sqrt{5-x^2})$

bđt thứ 2 từ đâu suy ra đó bạn???

Dấu "=" ko xảy ra :3

ừ nhỉ quên mất

Giải các pt

1,$x=(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{x+10}-4)$

2.$\frac{6x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{1-x}}=3+\sqrt{x-x^{2}}$

3,$\sqrt{4x^{2}+5x+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+7}=3$

4,$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}=8$

5,$3(x^{2}+4x+5)=10\sqrt{x^{3}+5x^{2}+9x+6}$

5)ĐKXĐ:x>=-2

PT<=>$3(x^{2}+4x+5)=10\sqrt{(x+2)(x^{2}+3x+3)}$

đặt $a=\sqrt{x+2};b=\sqrt{x^{2}+3x+3}$.Ta có pt mới:

$3(a^{2}+b^{2})=10ab\Leftrightarrow (a-\frac{b}{3})(a-3b)=0$

Đến đây bạn tự giải nhé ))

Giải các pt

1,$x=(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{x+10}-4)$

2.$\frac{6x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{1-x}}=3+\sqrt{x-x^{2}}$

3,$\sqrt{4x^{2}+5x+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+7}=3$

4,$2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}=8$

5,$3(x^{2}+4x+5)=10\sqrt{x^{3}+5x^{2}+9x+6}$

3) ĐKXĐ:$x\geq \frac{-1}{4} V x\leq -1$ Nhân liên hợp ta được:

$\frac{6}{\sqrt{4x^{2}+5x+7}-\sqrt{4x^{2}+5x+1}}=3\Rightarrow \sqrt{4x^{2}+5x+7}-\sqrt{4x^{2}+5x+1}=2$

Kết hợp pt đầu là bạn làm được rồi

Tìm GTLN của $P=\frac{mn}{(m+1)(n+1)(m+n+1)}$, trong đó m, n là các số tự nhiên

$P=\frac{\left ( mn+m+n+1 \right )-(m+n+1)}{(mn+m+n+1)(m+n+1)}=\frac{1}{m+n+1}-\frac{1}{mn+m+n+1}\leq \frac{1}{m+n+1}\leq 1$(do m.n là các số tự nhiên.

Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: $P(2)=12$ và $P(x^{2})=x^{2}(x^{2}+1)P(x)$, với x là số thực

Từ đề bài => $P(1)=2P(1)=2P(-1)\Rightarrow P(1)=P(-1)=0$

                     $P(0)=0$

   $\Rightarrow P(x)=(x-1)x(x+1)Q(x)$

Ta tính được: $Q(x)=x \Rightarrow P(x)=x^{2}(x^{2}-1)$

Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích bằng 54cm². Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm.
Khi đó độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông dài hơn trên cạnh huyền là bao nhiêu cm
((((((((((((((((((((((((((((((((Nhập kết quả dưới dạng số thập phân gọn nhất.))))))))))))

Gọi cạnh góc vuông dài là a(a>0)

Ta có: $\frac{a(a-3)}{2}=54\Rightarrow a^{2}-3a-108=0\Rightarrow a=12(a>0)$

=> cạnh góc vuông nhỏ là 9 cm, cạnh huyền bằng 15

=>độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông dài hơn trên cạnh huyền là : $\frac{12^{2}}{15}=9,6$cm

=>

Một hình chữ nhật và một hình vuông có chu vi bằng nhau nhưng diện tích hình chữ nhật kém diện tích hình vuông 49 cm². Đường chéo của hình chữ nhật dài 26cm. Vậy, diện tích hình chữ nhật bằng bao nhiêu cm2.

Gọi chiều dài hcn là x, chiều rộng là y (x>y>0), cạnh hình vuông là a(a>0).

Theo đề bài ta suy ra: x+y=2a                                            

                                   xy + 49 = $a^{2}$                                (1)

                              => xy + 49 = $\left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2}$

                               $\Leftrightarrow 4xy+49=x^{2}+2xy+y^{2} \Leftrightarrow \left ( x-y \right )^{2}=14^{2} \Leftrightarrow x-y=14 (x>y)$

Ta có hệ: x+y=2a

               x-y=14

           <=> x= a+7 ; y=a-7.Thay vào (1) tìm được a rồi tinh x,y.đến đây chắc bạn tự làm được r

$(x+y+z)^{^{3}}-(x^{3}+y^{3}+z^{3})= 3(x+y)(y+z)(z+x) \Rightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x)=15^{3}-495=2880$$\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=960=2^{6}\times 3\times 5$

suy ra x+y, y+z, z+x co 2 so chan, 1 le rồi xét các trường hợp ra nghiệm

cả 3 số x+y, y+z, z+x cùng chẵn thì sao nghiệm (3;5;7) mà

Ta có $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Và $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{3}\Rightarrow A\leq \sqrt{\frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq 1$

Do đó GTLN của A là 1

Mặt khác ta đặt $x=a^{2};y=b^{2};z=c^{2}\Rightarrow x,y,z\in [1;4]\Rightarrow 3A\geq \frac{2(x+y+z)+xy+yz+zx}{5(x+y+z)-12}=f(x,y,z)$

Dễ dàng chứng minh được $f(x,y,z)\geq min\left \{ f(1,y,z),f(4,y,z) \right \}\geq min\left \{ f(1,4,z),f(1,1,z),f(4,1,z) \right \}\geq \frac{7}{8}$

bđt đầu và chỗ 3A>= ... đó biến đổi kiểu gì hay vậy bạn???

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

Tìm GTLN của $P=(a+b+c)^{3}+a(2bc-1)+b(2ca-1)+c(2ab-1)$

P=$P=\left ( a+b+c \right )^{3} - \left ( a+b+c \right ) + 6abc = 2.\left ( a+b+c \right ).\left ( ab+bc+ca \right )+6abc$

$\left ( a+b+c \right )^{2}\leq 3\sum a^{2}=3\Rightarrow \left ( a+b+c \right )\leq\sqrt{3}$

$\sum ab\leq \sum a^{2}=1$

$1=\sum a^{2}\geq 3\sqrt[3]{abc^{2}}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\Rightarrow 6abc\leq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

=> $P\leq 2.\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$

Cho a, b, c là các số nguyên dương t/m điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$

CMR: $\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{8}{a^{2}+28}$

giải phương trình đã cho ra nghiệm chỉ có a=b=c=2 thỏa mãn => thay vô bđt