Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn $$x^{3}+y^{3}+xy=x^{2}+y^{2}$$. Tìm GTNN và GTLN của :

P = $$\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}$$

Ai giải giùm câu 3 với 

cho ba số thực dương x,y,z có x+y+z=0 ,tìm giá trị nhỏ nhất

$\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}(\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{x+z}}{y})$

Kiểm tra lại đề đi bạn 

Cho 3 số dương x,y,z rồi, sao có x+y+z=0 nữa     

MIN : Ta có $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)=201^{3}-603xy$

P = $201^{3}-601xy\geq 201^{3}-601\frac{(x+y)^{2}}{4}=201^{3}-\frac{601.201^{2}}{4}$

Giải pt:

$2x^{2}-5x-3\sqrt{x^{2}-4x-5}=12+3x$

 

http://diendantoanho...olympic-toán-9/

ĐK : $x\leq -1$ or $x\geq 5$

PT <=> $2(x^{2}-4x-5)-3\sqrt{x^{2}-4x-5}-2=0$

Đặt $\sqrt{x^{2}-4x-5}=t$ ( t không âm). Giải pt bậc 2 ẩn t và từ đó tìm được x

4)$\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}-1$

ĐK x > 1 hoặc x < -1

$PT\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{1-x^{2}}=\frac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}-2$

Đặt $t=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

PT<=>$t^{2}-3t+2=0$ <=> t = 1 hoặc t = 2 => ...

3)$\frac{x}{x+1}-2\sqrt{\frac{x+1}{x}}=3$

ĐK : x < -1 hoặc x > 0

Đặt $\sqrt{\frac{x+1}{x}}=t$ ( t >0)

PT <=> $\frac{1}{t^{2}}-2t=3\Leftrightarrow 2t^{3}+3t^{2}-1=0\Leftrightarrow (t+1)^{2}(2t-1)\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$ (do t > 0)

Từ đó tìm đc x 

$x^3-\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}=6$

Đặt $\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x^{3}+6}}=y, \sqrt[3]{x^{3}+6}=z$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-6=y\\ y^{3}-6=z\\ z^{3}-6=x\end{matrix}\right.$

Xét $f(x)=x^{3}-6,f'(x)=3x^{2}\geq 0$

Giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(y)\Leftrightarrow f(f(z))\geq f(f(x))\Leftrightarrow z\geq x!$

Suy ra $x=y=z\Rightarrow x^{3}-x-6=0\Leftrightarrow x=2.$

Thử lại, t/m

1. Đề đúng phải là $\sqrt{x^{2}+12}-3x=\sqrt{x^{2}+5}-5$ thì phải

xong Giải pt bậc cao luôn à

PT bậc 9 bạn ạ, chắc khó giải hơn

Giải phương trình $8x^{3}+18x-4=\sqrt[3]{4-6x}$

$2x^2+(14-2\sqrt{x^2+8x})x+8x-14\sqrt{x^2+8x}+24=0$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}+8x}-3)(\sqrt{x^{2}+8x}-x-4)=0 \Leftrightarrow ...$

Bài 1: Giải phương trình

$2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^{2}+16}$

Đặt $t=\sqrt{2(4-x^{2})}$

PT <=> $4(2x+4)+16\sqrt{2(4-x^{2})}+16(2-x)=9x^{2}+16 \Leftrightarrow 8(4-x^{2})+16\sqrt{2(4-x^{2})}=x^{2}+8x <=> 4t^{2}+16t-x^{2}-8x=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{x}{2}$ hoặc  $t=-\frac{x}{2}-4$

Đến đây thì rõ rồi 

b) Đặt $\sqrt[3]{x^{2}-2}$=y, ta có $y^{3}=x^{2}-2$ và $y^{2}=2-x^{3}$

Đây là hệ PT đối xứng

Nhờ anh chị hướng dẫn giúp e 2 bài pt căn lớp 10:

1/ $\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 4}  + x\sqrt {{x^2} - 2x + 10}  = 0$

 

PT <=> $x\sqrt{x^{2}-2x+10}=(1-x)\sqrt{x^{2}+4} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ x^{2}[(x-1)^{2}+9]=(1-x)^{2}(x^{2}+4) & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 0\leq x\leq 1 & \\ 9x^{2}=4(1-x)^{2} & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{2}{5}$

Giả sử n³ - 9n + 27 chia hết cho 81 ,ta phải có n chia hết cho 3.

Đặt n = 3t suy ra 27t³ -27t+27 chia hết cho 81, hay t³-t+1= t(t-1)(t+1)+1 chia hết cho 3 suy ra vô lí

Cho a,b,c là 3 hằng số, $\left ( U_{n} \right )$ xác định: $U_{n}= a.\sqrt{n+1} + b.\sqrt{n+2} + c.\sqrt{n+3} \forall n\geq 1$

CMR: $limU_{n}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

$\frac{U_{n}}{\sqrt{n+1}}=a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}}$

Do đó nếu $limUn=0\Rightarrow lim(a+b\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}+c\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}})=0\Rightarrow a+b+c=0$

Ngược lại, nếu a + b+ c = 0 => a = -b - c

$U_{n}=b(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})+c(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}) =\frac{b}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}+\frac{2c}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}} \Rightarrow LimU_{n}=0$

Cho $3$ số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. CMR:

$$\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^+3}\geq \frac{3}{2}$$                                

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+3}=\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Tương tự. Cộng vế theo vế các BĐT ta được :

$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}\geq \frac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{4}=\frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

Bạn này gõ tiêu đề là 3/4 mà đề lại ghi 3/2 

Bài 1 : Cho a;b;c lớn hơn hoặc bằng 0 . CMR : $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geqslant 2$ với $(b+c+d)(a+c+d)(a+b+d)(a+b+c)> 0$

Bài 2 : Cho x;y > 0 ; $x+y\leqslant 1$ . CMR : $(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})\geqslant 9$

Ta có : $(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})=(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{y})=(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy})(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{xy})\geq [1+\frac{4}{x+y}+\frac{4}{(x+y)^{2}}][1-\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{xy}]\geq (1+4+4)(1-\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy})=9$

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\sum \frac{a}{\sqrt{b+c+d}.\sqrt{a}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c+d}=2$

Đây là bđt nesbit

Dễ cm được nó mà

$\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{a^{2}}{ab+ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}$

Cho 3 số a,b,c dương t/m a+b+c=1;$\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}$

Cm a=b=c

Ta có :

$VT=\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$ (BĐT Nesbit)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Kết hợp với giả thiết suy ra a=b=c

Cho $x,y,z>0$. CM

$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

Ta có BĐT quen thuộc $(xy+yz+xz)(x+y+z)\leq \frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x)$

Do đó $4(xy+yz+xz)\leq \frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$

Ta chứng minh $\frac{9(x+y)(y+z)(z+x)}{2(x+y+z)}$ $\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}) \Leftrightarrow 9\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq (x+y+y+z+z+x)(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$ (Luôn đúng theo BĐT AM-GM)

Từ đó suy ra đpcm

Cho a,b,c>0,a+b+c=3.Cm $\sum \frac{a}{b^{3}+ab}\geq \frac{3}{2}$

$\sum \frac{a}{b^{3}+ab}=\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{b}{a+b^{2}}\geq \frac{(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}}{3}-\sum \frac{1}{2\sqrt{a}}$ (*)

Đặt t = $\sum \frac{1}{\sqrt{a}}$, dễ thấy t $\geq 3$

(*) = $\frac{t^{2}}{3}-\frac{t}{2}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (t-3)(2t+3)\geq 0$ (đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1