$\sum \frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\sum \frac{b}{a+b^{2}}\geq \sum \frac{1}{a}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}}{3}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}$

Đặt $t=\sum \frac{1}{^{\sqrt{a}}}\geq 3$

Ta chứng minh $\frac{t^{2}}{3}-\frac{t}{2}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (t-3)(2t+3)\geq 0$ (TRUE)

BĐT đc chứng minh

Cho $3$ số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. CMR:

$$\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^+3}\geq \frac{3}{2}$$                                

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+3}=\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+ab+bc+ca}=\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$\frac{a^{3}}{(b+a)(b+c)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq \frac{3a}{4}$

Tương tự. Cộng vế theo vế các BĐT ta được :

$\sum \frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{4}\geq \frac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{4}=\frac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

Bạn này gõ tiêu đề là 3/4 mà đề lại ghi 3/2 

1. Cho $a,b,c\geq 0,a+b+c=3$. Chứng minh :

$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq 4$

2. Cho a,b,c > 0, a+b+c = 3. Chứng minh :

$\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

Cho a,b,c là các số thực dương, chứng minh các BĐT :

1. $\left ( a+\frac{bc}{a} \right )\left ( b+\frac{ca}{b} \right )\left ( c+\frac{ab}{c} \right )\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

2. $(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

3. $\sum \frac{1}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+3b}$

Cho a,b,c > 0, thỏa mãn abc(a+b+c)=1. Tìm GTNN của A = $(a+b)(b+c)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $\sqrt{2x^{2}-4x+10}+\sqrt{2x^{2}+6x+5}$

Ta có số đồ thỏa mãn đề bài là 9, gồm 3 sổ, 3 sách, 3 bút

Bước 1: Tính xác suất để lấy được 9 đồ trên trong tổng số đồ ($\frac{560}{4199}$)

Bước 2: Tính xác suất để chia đúng 9 đồ đó vào 3 hs và mỗi hs có đủ 3 loại ($\frac{9}{70}$)

==> Xác suất cần tìm là: $\frac{72}{4199}$

Xác suất ở bước 2 tính thế nào vậy bạn

Có 6 cuốn sổ viết khác nhau,7 cuốn sách tham khảo khác nhau và 8 chiếc bút khác nhau. Chọn ra 9 đồ vật trong số các đồ vật trên để tặng cho 3 học sinh. Tính xác suất để mỗi học sinh nhận được 1 cuốn sổ, 1 sách tham khảo, 1 bút.

Bài 1: Giải phương trình

$2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^{2}+16}$

Đặt $t=\sqrt{2(4-x^{2})}$

PT <=> $4(2x+4)+16\sqrt{2(4-x^{2})}+16(2-x)=9x^{2}+16 \Leftrightarrow 8(4-x^{2})+16\sqrt{2(4-x^{2})}=x^{2}+8x <=> 4t^{2}+16t-x^{2}-8x=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{x}{2}$ hoặc  $t=-\frac{x}{2}-4$

Đến đây thì rõ rồi 

Cho các số thực x,y với $y\geq 2$ . Tìm Min P = $x^{2}+\frac{1}{y}-6x+y+\frac{1}{2}$

$P=(x-3)^{2}+\frac{1}{y}+\frac{y}{4}+\frac{3y}{4}-\frac{17}{2} \geq 1+\frac{3.2}{4}-\frac{17}{2}=-6$

Vậy min P = -6 và đạt đc <=> x=3, y=2

Cho $a,b,c$ dương thoả $abc=1$. Tìm $Min$ của $A=\frac{a^{2}}{1+b}+\frac{b^{2}}{1+c}+\frac{c^{2}}{1+a}.$

$A\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3+a+b+c}$

Đặt a + b+c = t, $t\geq 3$

$\frac{t^{2}}{3+t}\geq \frac{3t-3}{4}\Leftrightarrow (t-3)^{2}\geq 0 \Rightarrow A\geq \frac{3.3-3}{4}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

1. Cho dãy (U_n) được xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}(u_{n}+1)(u_{n}+2)(u_{n}+3)} & \end{matrix}\right.$

Tìm $lim\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{u_{i}+2}$

2. Tìm $lim [\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( \frac{2^{1}}{1}+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )]$

3. Cho dãy (u_n) được xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{3} & \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}+\sqrt{2}-1}{1+(1-\sqrt{2})u_{n}} & \end{matrix}\right.$

Tính u₂₀₁₆

Giải pt:

$2x^{2}-5x-3\sqrt{x^{2}-4x-5}=12+3x$

 

http://diendantoanho...olympic-toán-9/

ĐK : $x\leq -1$ or $x\geq 5$

PT <=> $2(x^{2}-4x-5)-3\sqrt{x^{2}-4x-5}-2=0$

Đặt $\sqrt{x^{2}-4x-5}=t$ ( t không âm). Giải pt bậc 2 ẩn t và từ đó tìm được x

Giải phương trình :

$4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2(x-1)}+\sqrt{2(y+1)}=(x-3y)\sqrt{x+y} & & \\ (y+1)\sqrt{3x-y-4}=(2y+1)\sqrt{x+y} & & \end{matrix}\right.$

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

 

(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b\leq c \rightarrow 3=a+b+c\geq 3a\rightarrow a\leq 1\rightarrow a\in (0;1]$

Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$

BĐT $\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)-abc\leqslant 5 \Leftrightarrow 2a(b+c)+(2-a)bc\leqslant 5$

VT = $2a(3-a)+(2-a)bc\leqslant 2a(3-a)+(2-a)\frac{(b+c)^{2}}{4}=2a(3-a)+(2-a)\frac{(3-a)^{2}}{4}=-\frac{a^{3}}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{2}$

Xét hàm f(a) = $-\frac{a^{3}}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{2}$ trên (0;1]

Lập BBT ta có f(a) $\leq f(1)=5\rightarrow đpcm$

Cho $a,b>0$ chứng minh các bất đẳng thức sau:

$3a^2+2ab+3b^2\geq 2(a+b)\sqrt{2(a^2+b^2)}$

$VT=(a+b)^{2}+2(a^{2}+b^{2})\geqslant 2\sqrt{(a+b)^{2}.2(a^{2}+b^{2})}\doteq 2(a+b)\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

1. Cho x,y,z > 0, xyz = 1. Tìm GTLN của :

 $P=\sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

2. Cho x,y,z > 0. Chứng minh :

 $\sum \frac{ab}{a^{2}+bc+ca}\leqslant \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}$

Giải các phương trình :

1. $6x^{3}-24x^{2}+31x-2=3\sqrt[3]{48x^{2}-80x+32}$

2. $\sqrt[3]{x^{2}-1}+x=\sqrt{x^{3}-2}$

3. $x^{3}+x^{2}+15x+30=4\sqrt[3]{27(x+1)}$

4. $(x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$

Đây là bđt nesbit

Dễ cm được nó mà

$\sum \frac{a}{b+c}=\sum \frac{a^{2}}{ab+ac}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac{3}{2}$

Cho 3 số a,b,c dương t/m a+b+c=1;$\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}$

Cm a=b=c

Ta có :

$VT=\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$ (BĐT Nesbit)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Kết hợp với giả thiết suy ra a=b=c

cho ba số thực dương x,y,z có x+y+z=0 ,tìm giá trị nhỏ nhất

$\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}(\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{x+z}}{y})$

Kiểm tra lại đề đi bạn 

Cho 3 số dương x,y,z rồi, sao có x+y+z=0 nữa     

Tìm GTNN của biểu thức A = $\frac{3}{1-x}+\frac{4}{x}$ với 0 < x <1

Do 0 < x < 1 nên có 1 -x > 0, x > 0. Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có :

$A=\frac{3}{1-x}+\frac{4}{x}\geq \frac{(\sqrt{3}+2)^{2}}{1-x+x}=7+4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra <=> $\frac{\sqrt{3}}{1-x}=\frac{2}{x}\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{3}+2}$

KL : ...

Giải các phương trình :

1. $sin^{3}x+cos^{3}x+sin^{4}x=2$

2. $\frac{cos^{3}x-sin^{3}x}{\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}}=2cos2x$

3. $2\sqrt{2}sin\left ( x-\frac{\pi }{12} \right )cosx=1$