Hướng giải 

$2^{q}+q^{2}\equiv 2$ ( mod 3 ) $\Rightarrow r-2=3k$

Mặt khác: theo định lý nhỏ Fermat: $2^{q}-2 \vdots q \Rightarrow r-2\vdots q$

Do đó $3k\vdots q$ đến đây làm sao để chứng minh (k;q)=1 vậy chỉ mình với

Bài toán: Có thùng chứa tổng cộng 50 lít dầu. Thùng thứ nhất chưa hơn thùng thứ hai 10 lít. Nếu lấy 26 lít dầu thùng thứ nhất đổ sang  thùng thứ ba thì lượng dầu trong thù thứ hai và thứ ba bằng nhau. Tính lượng dầu ban đầu trong thùng thứ nhất và thứ hai.

Đề  như nào giải như thế thôi

Vì q>3 nên 3 không chia hết cho q, do đó $k\vdots q$, vậy (k,q)=1 là sai!

(k;q)=1 thì 3 chia hết q suy ra q=3 thì mới kết luận không tồn tại q mà bạn

Giải các phương trình nghiệm nguyên sau

1.        6x²+5y²=74 

2        .x²+xy+y² =x+8y

3        .1+x+x²+x³=y³

4       .1+x+x²+x³+x⁴=y²

5.       (x-2)⁴-x⁴=y³

6.         $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\frac{1}{2}(x+y+z)$ 

7.     x²+y² +z²=x²y²

3) $ (x+1)^3 \ge y^3=x^3+x^2+x+1>(x-1)^3 \Rightarrow x=0,y=1$ 

x có thể âm sao so sánh được

Gọi số lít dầu ở 3 thùng lần lượt là x;y;z. Từ bài ra ta đưa về hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x=10+y & \\ z+26=y& \\ x+y+z=50& \end{matrix}\right.$

Giải phương trình trên là ra

Với q>3 ; Tìm 2 số nguyên tố q và r biết 2^q+q²=r

anh giải dùm em luôn đi

Ý tưởng: $\left\{\begin{matrix} c^{2}=a^{2}+b^{2} \\ \frac{ab}{2}=a+b+c \end{matrix}\right.$

Với $c$ là độ dài canh huyền còn $a;b$ là 2 cạch góc vuông.

vẫn chả giải ra

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương

1.   Cho         $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh:         $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

2. Cho        $abc=1$

Chứng minh          $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

4. Cho   $x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=3$

Tìm Max     $M=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Bài 1:

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{16}{2x+y+z}$

 

tương tự ...........

 

$\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}.4\sum \frac{1}{a}=1$

 

Bài 2:

 

$a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2\geq 2(ab+a+1)$

 

tương tự ......................

 

$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{ab+a+1}=\frac{1}{2}$

(do $abc=1$)

 

Bài 3:

 

$b+c\geq 16abc\Leftrightarrow b+c\geq 16(1-b-c)bc\Leftrightarrow (b+c)(1+16bc)\geq 16bc$

 

Thật vậy:  $(b+c)(1+16bc)\geq 2\sqrt{bc}8\sqrt{bc}=16bc$       (ĐPCM)

Làm giúp bài 4 luôn bạn

Bài 1. giả sử 2ⁿ-1 là scp => 2ⁿ-1=(2k+1)²   biến đổi được 2ⁿ=4k²+4k+2 vô lý  (vì n>1 nên 2ⁿ chia hết 4) =>2ⁿ-1 ko cp

Bài 2: b=a+1; c=a+2; d=a+3 

 bacd= (a+1)a(a+2)(a+3)=1000(a+1)+100a+10(a+2)+a+3=1111a+1023 cp =>tận cùng =0,1,4,9,6,5 =>a thuộc 1,6,3,2(a<7) 

 mà cp=> chia 3 dư 1,0 => a thuộc  1,6,3 thay vào được 3 cần tìm

Bài 4: $\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{7}{25}\Rightarrow 7a^{2}-25a+7b^{2}-25b=0$

                    $\Delta =625-196b^{2}+700\geq 0\Rightarrow 4\geq b\geq 0$ vì b nguyên 

     nên b thuộc 0,1,2,3,4 thvào pt giải a nguyên :a=0,b=0            a=4,b=3          a=3,b=4

đặt $\ a=x^{3}$  b c tương tự

      khi đó $\ abc=1\Rightarrow (xyz)^{3}=1\Rightarrow xyz=1$

bài toán viết thành  $\ \sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1} $\dpi{200} \leqslant 1$

$\ x^{3}+y^{3}+1=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+xyz\geqslant (x+Y)(2xy-xy)+xyz=(x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)$

do đó   $\ \sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}\geqslant \sum \frac{1}{xy(x+y+z)}=\sum \frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}=1$

đoạn chữ đỏ sao suy ra đc thế bạn? Bé hơn hoặc bằng mà

viet nham

$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2} & & \\ \ \frac{ab}{2}=a+b+c& & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow ab=2(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})\Leftrightarrow ab-2a-2b=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+4a^{2}+4b^{2}-4a^{2}b-4ab^{2}+8ab=4a^{2}+4b^{2}\Leftrightarrow ab-4a-4b+8=0\Leftrightarrow (a-4)(b-4)=8$

Đến đây bạn phân tích 8=1.8=2.4 rồi giả sử a<b thì giải ra thôi

$\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{9}{4}x(1-x^{2})\geq \frac{3}{2}x$ .......

$\Rightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}}\geq \sum \frac{9}{4}x^{3}+\frac{3}{4}x\geq \sum \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(xy+yz+xz)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

2.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow ac+bc=ab$

$\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc}=\sqrt{(a+b-c)^{2}}=a+b-c$

3.đặt x-y=a ... khi đó a+b+c=0

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2(a+b+c)}{abc}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

giải kĩ câu 3 với bạn

Đặt x-y=a: y-z=b: z-x=c

Khi đó a+b+c=x-y+y-z+z-x=0

Ta có: $\sqrt{\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2(a+b+c)}{abc}}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}}=\sqrt{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

Giải như sau:

Gọi$x_{0}$ là nghiệm chung của x^2+ax+1=0 và x^2+bx+c=0

     $x_{2}$ là nghiệm chung của x^2+x+a=0 và x^2+cx+b=0

Ta có $x_{0}^2+ax_{0}+1=x_{0}^2+bx_{0}+c=>x_{0}=\frac{c-1}{a-b}$

=>Nghiệm còn lại:$x_{1}=\frac{a-b}{c-1}$

Tương tự có nghiệm của pt:x^2+x+a=0 là $x_{2}=\frac{a-b}{c-1}$

=>x^2+ax+1=0 và x^2+x+a=0 có nghiệm chung

Thay vào ta có: (a-1)($x_{1}-1$)=0

=>Đến đây thì dễ rồi: kết quả a+b+c=-3  

lúc nãy ghi đề sai làm k ra

P/s: bạn làm y chang đáp án

Giả sử a,b,c là các số thực, $a\neq b$ sao cho hai phương trình $x^{2}+ax+1=0$, $x^{2}+bx+c=0$ có nghiệm chung và hai phương trình $x^{2}+x+a=0$, $x^{2}+cx+b=0$  có nghiệm chung. Tính $a+b+c$

 UCLN(m;n)=150 =>m=150k₁ ; n=150k₂    ( k₁;k₂   thuộc N*)        (1)

 BCNN(m;n)=1800=>m=1800/q₁;       n=1800/q₂ (q₁;q_{2 thuộc} N*)       (2)

 Từ (1) và (2) =>    150k₁=1800/q_{1 ;}   150k₂=1800/q₂

                              => k₁q₁=12

                                    k₂q₂=12 

Giải phương trình nghiệm nguyên tìm được k, q thay vô là xong

$(x-1)^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}-2x+1\geq 0$

$2(y-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2y^{2}-4y+2\geq 0$

Suy ra$x^{2}+2y^{2}-2(x+2y)+3\geq 0\Rightarrow x^{2}+2y^{2}\geq 2(x+2y)-3=2.3-3=3$

Min=3 khi x=y=1

$a^{3}+b^{3}+ab=(a+b)((a+b)^{2}-3ab)+ab=1-2ab\geq 1-\frac{(a+b)^{2}}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Min=1/2khi a=b=1/2

1.      Tìm min ::                P = sin⁶ a +cos⁶ a

 2.       Tìm max:        P=$3sin a +\sqrt{3}cosa$

3.         Chứng minh $\left | ab+cd \right |\leq \sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}$ với a,b,c,d là các số thực

Cho em hỏi tại sao $2a\mid(a-b, a+b)$ và $2b\mid (a-b,a+b)$ vậy ạ?

$(a+b;a-b)=d\Rightarrow (a+b)+(a-b)\vdots d\Leftrightarrow 2b\vdots d$