Sao bài này mình thấy giống như bài này quá : 

Cho tam giác ABC. Dựng 2 hình vuông ABDE, BCFG. Gọi M là trung điểm AC. O₁ và O₂ lần lượt là tâm hai hình vuông ABDE và BCFG. Chứng minh tam giác O₁O₂M vuông cân.

 Bài giải (dành cho bài này)

(HÌnh vẽ : các bạn vẽ hình rồi nhìn vào lời giải, mình đăng hình lên ko đc)

Chứng minh được : Tam giác DBC = Tam giác ABC (c.g.c) => CD = AG (1) và góc C₁ = G₁

Ta có : O₁M là đường trung bình tam giác ADC => O₁M = CD/2             (2) và O₁M // CD 

Tương tự : O₂M = AG/2                                                                            (3) và O₂M // AG

Từ (1), (2), (3) => O₁M = O₂M => Tam giác O₁O₂M  cân tại M.               (a)

Gọi S, H lần lượt là giao điểm của BC với AG, CD với AG.

Ta có : Tam giác BGS vuông tại B => góc S₁ + góc G₁ = 90^O 

                                                  mà : góc S₁ = góc S₂ (đối đỉnh)

                                                         gócC₁ = gócG₁ (chứng minh trên)

                                                   => gócS₂ + gócC₁ = 90^O

                                                   => góc SHC = 90^O

                                                             => CD vuông góc AG

                                                   => O₁M vuông góc O₂M (vì theo phần chứng minh trên có O₁M // CD; O₂M // AG)

                                                   => Tam giác  O₁O₂M vuông tại M.            (b)

Từ (a), (b) => (đpcm)

Đây là một bài toán hoàn toàn không giống gì đến bài toàn của bạn tpdtthltvp đề cập đến trong topic này.

Nhưng mình mong là từ bài toán này, bạn có thể nghĩ ra một hướng tìm đến lời giải đẹp của bài toán của bạn.     

góc G₁ là góc BGS, góc B₁ là góc ABC, góc S₁ là góc BSG, góc S₂ là góc ASC, góc C₁ là góc HCS.

Câu 5 : Từ đk của bài, ta suy ra : 

+ ab = - bc - ca

+ bc = - ab - ca

+ ca = -ab - bc.

Bậy giờ ta xét mẫu từng phân thức hạng tử của P :

+ a² + 2bc = a² + bc - ab - ac = (a - b)(a - c)

+ b² + 2ac = b² + ac - ab - bc = (a - b)(c - b) 

+ c² + 2ab = c² + ab - bc - ac = (a - c)(b - c)  

Các bạn viết P với mẫu thức của từng phân thức là như trên. Sau đó quy đồng các phân thức của  P, Ta có : 

+ Tử thức của P là : a²(c - b) + b²(a - c) - c²(a - b)  = (a - b)(c - b)(a - b)

+ Còm mẫu thức là : (a - b)(c - b)(a - b)

nên P = 1 (vì tử mà mẫu giống nhau). 

Thế này chắc rõ rồi đấy ạ !!!  

Câu 1a) :

x(x + 2)(x² + 2x + 2) + 1 = (x² + 2x)(x² + 2x + 2) + 1 

Đặt : y = x² + 2x + 1 = (x + 1)²  

Ta có : (x² + 2x)(x² + 2x + 2) + 1 = (y - 1)(y +1) + 1 = y² -  1 + 1 = y² = (x +1)⁴ 

Vậy :  x(x + 2)(x² + 2x + 2) + 1 = (x +1)⁴ 

câu 2a) : Đầu tiên ta cần thông qua bài toán phụ sau :

Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa : a + b + c = 0. Chứng minh rằng a³ + b³ + c³ = 3abc

Chứng minh : ( các bạn tự chứng minh)

Vậy A = 3.

Câu 5: Từ điều kiện : (a + b + c)² = a² + b² + c², ta suy ra : ab + bc + ca = 0, suy ra :

+ ab = - bc - ca.

+ bc = -ab - ca.

+ ca = -ab - bc.

Có :  $P = \frac{a^{2}}{a^{2}+ 2bc} + \frac{b^{2}}{b^{2}+ 2ca} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ 2ab}= \frac{a^{2}}{a^{2}+ bc - ab - ca } + \frac{b^{2}}{b^{2}+ ca - ab - bc} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ ab - bc - ca} 

Cả hai bài tập đều nhắc đến 2 công thức của lớp 6 : Xét dãy số mà các số hạng cách nhau cùng một đơn vị, ta có :

> Số số hạng của dãy số đó = (số cuối - số đầu)/(khoảng cách giữa hai số liên tiếp) + 1.  (*)

>Tổng của các số trong dãy số đó là  = (số đầu + số cuối).(số số hạng) / 2.                      (**)

Bài 2 :

3.3².3³.3⁴.....3^x=3^{(1+2+3+4+...+x)}=3¹⁹⁰ => 1 + 2 + 3 + 4 +...+ x = 190. 

Áp dụng công thức (*) vào dãy số trên : ta thấy dãy có x số hạng

Áp dụng công thức (**) vào dãy số trên : 

(1 + x).x = 190 . 2 = 380 .

Ta thấy x và x + 1 là hai số nguyên liên tiếp mà 380 = 190.2 = 19.2.10=19.20, 19 và 20 là hai số nguyên liên tiếp, x < x + 1 nên x = 19.

Thử lại ta thấy đúng.  

Bài 2 : Trước hết phải qua một bài toán phụ :

Bài toán phụ : 

Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn $\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}=\frac{1}{b + d} ; a^{2}+c^{2} = 1$ .

Chứng minh rằng : $a^{2}d = c^{2}b$. 

Giải : 

$a^{2}+c^{2} = 1 \Rightarrow (a^{2}+c^{2})^{2} = 1 \Rightarrow \frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}=\frac{1}{b + d}=\frac{(a^{2}+c^{2})^{2}}{b + d} \Rightarrow (a^{4}d + c^{4}b)(b + d) =bd(a^{4}+2a^{2}c^{2} + c^{4}) \Rightarrow bda^{4}+d^{2}a^{4}+b^{2}c^{4}+bdc^{4} = bda^{4}+2bda^{2}c^{2}+bdc^{4} \Rightarrow d^{2}a^{4}+b^{2}c^{4} - 2bda^{2}c^{2} = (da^{2}-bc^{2})^{2} = 0 \Rightarrow da^{2}=bc^{2}$

Từ bài toán phụ, ta suy ra : 

$\frac{a^{2}}{b}=\frac{c^{2}}{d} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}}=\frac{c^{2012}}{d^{1006}} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}} + \frac{c^{2012}}{d^{1006}} = 2.\frac{a^{2012}}{b^{1006}}$

Lại có : 

$\frac{a^{2}}{b}=\frac{c^{2}}{d} = \frac{a^{2}+c^{2}}{b + d} = \frac{1}{b + d} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}}=\frac{c^{2012}}{d^{1006}}=\frac{1}{(b + d)^{1006}} \Rightarrow \frac{a^{2012}}{b^{1006}}+\frac{c^{2012}}{d^{1006}}=2.\frac{1}{(b + d)^{1006}} = \frac{2}{(b + d)^{1006}}$

Theo cách giải này, ta thấy đề bài có bài toán tổng quát sau :

Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn $\frac{a^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{d}=\frac{1}{b + d} ; a^{2}+c^{2} = 1$. 

Chứng minh rằng : 

$\frac{a^{2m}}{b^{m}}+\frac{c^{2m}}{d^{m}} = \frac{2}{(b + d)^{m}}$

(m > 0)

Giải

Bài 2 : 

Cách 1 : Từ giả thiết

$a + b + c = 0 \Rightarrow a + c = -b; b + c = -a$

Có $A = a^{3} + b^{3} + a^{2}c + b^{2}c - abc = a^{2}(a + c)+b^{2}(b + c) - abc = -a^{2}b - ab^{2} - abc = -ab(a+b+c) = 0$

Cách 2 : Phân tích đa thức A thành nhân tử

$A = (a + b + c)(a^{2}-ab+b^{2})=0$

Bài 1 : Đề thi học sinh giỏi lớp 8 ở Bến Tre năm học 2013 - 2014 là với k = 1

$\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^4 + y^4}$

Có ai giải mà không dùng đến kiến thức tam giác đồng dạng mà vẫn nhanh gọn ko