Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là tích của 2 số nguyên dương liên tiếp.

 

Capture.PNG

ta có thể xem bảng như hình vẽ trên với $1$ ở ô $(i,j)$(hàng $i$ cột $j$) nghĩa là $i\in A_j$

$d(x)$ là số tập hợp mà phần tử $x$ có mặt

ta dễ thấy vài nhận xét sau(dễ chứng minh)

$\bullet \sum_{i=1}^{1000}d(i)=\sum_{j=1}^{5}\left | A_j \right |=2500$

$\bullet \sum_{i=1}^{1000}d^2(i)=\sum_{j\neq k}\left | A_j\cap A_k \right |=\sum \left | A_j \right |+2\sum_{j<k}\left | A_j\cap A_k \right |$

$\bullet \sum_{i=1}^{1000}d^2(i)\geq 2^2.500+3^2.500=6500$

$\Rightarrow \sum_{j<k}\left | A_j\cap A_k \right |=\frac{\sum_{i=1}^{1000}d(i)^2-\sum \left | A_j \right |}{2}\geq \frac{6500-2500}{2}=2000$

ở đây ta có $n=\max\left \{ i,j\in \left \{ 1,..,5 \right \}|min\left | A_i\cap A_j \right | \right \}$ do đó ta có điều sau

$C_5^2.n\geq 2000\Rightarrow n\ge 200$

 

Hình như cm này còn thiếu phần cm n=200 thỏa mãn thì phải. bạn có thể chỉ ra một cách lập bảng thỏa mãn ycbt cho n=200 ko?

Bài 16 (IMOSL 1995):

Trong một cuộc họp, có $12k$ người tham gia, mỗi người bắt tay với đúng $3k+6$ người khác. Biết rằng với  bất kì một cách chọn cặp 2 người ta có số người bắt tay với cả 2 là như nhau. Hỏi có bao nhiêu người trong cuộc họp đó?

Tìm tất cả $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(f(x))=f(x)+x$.

Đây

Cảm ơn bạn nhiều, lời giải này mình đọc rồi . Có ai có lời giải nào khác dùng cách lập bảng và đếm bằng hai cách không?

Cho tập $X=\{1,2,3,...1000\}$. Tìm số tự nhiên $n$ lớn nhất sao cho với 5 tập con bất kì chứa 500 phần tử $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ của $X$, luôn tồn tại $1\le i,j \le 5$ mà $|A_i \cap A_j|\ge n$.

Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm GTLN của

$P=\frac{a^2}{(b-c)^2+(b+c)a}+\frac{b^2}{(c-a)^2+(c+a)b}+\frac{c^2}{(a-b)^2+(a+b)c}.$