bạn ơi hình như đề câu b là tam giác KPB chứ không phải tam giác KBD

bài a

hơi dài nên mình làm vắn tắt

Gọi giao điểm của AO và CD là K,CI là trung tuyến tam giác ADC

-Dễ chứng minh DE nằm trên đường trung bình tam giác ABC

-->DE//BC

-->DE vuông góc với AK

K, E là trọng tâm tam giác ABC và tam giác ADC

=>$\frac{CK}{CD}=\frac{CE}{CI}=\frac{2}{3} =>KE//DI$

Mà DO vuông góc AB nên DO vuông góc KE

=>O là trực tâm tam giác DEK

=> OE vuông gócCD

câu a thì dễ rồi, hai tam giác đồng dạng là ra

còn câu b thì giải như sau

gọi E là trung điểm BP, F là trung điểm CP

Ta chứng minh dễ dàng tam giác HED= tam giác DFK theo trường hợp cạnh góc cạnh=>đpcm

Đường tròn (O;4cm) và (O;2cm)

Qua F vẽ đường thẳng song song với CD, cắt DK kéo dài ở O

Để chứng minh KC=KF, ta chứng minh FO=CD

Bằng cách tính góc, ta chứng minh được tam giác DEF cân ở D

=>DE=DF

Từ đó dễ dàng chứng minh tam giác DFO= tam giác DEB(g.c.g)

=> FO=BE

Mà BE=AB=CD

=>đpcm

Cho a,b,c dương thỏa, a+b+c+abc=4

Chứng minh

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

Dùng bđt  Cauchy–Schwarz

$(a+b^{2})(a+1)=(\sqrt{a}^{2}+b^{2})(\sqrt{a}^{2}+1^{2})\geq (a+b)^{2}$

=>$\frac{1}{a+b^{2}}\leq \frac{1+a}{(a+b)^{2}}$

Xây dựng thêm một bđt nữa rồi cộng vào

B$\leq \frac{2+a+b}{(a+b)^{2}}\leq \frac{2(a+b)}{(a+b)^{2}}=\frac{2}{a+b}\leq 1$

Dấu = khi a=b=1

Cho a,b,c> 0,abc=1

Chứng minh:

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

mình giải như vậy không biết có đúng không

Kẻ CK//DE,BH//DE (K$\epsilon$AB,H$\epsilon$AC)

DE, CK, BH cắt trung truyến AM tại I,F,N.

Theo định lý Ta-lét

$\frac{AB}{AD}=\frac{AN}{AI}$

$\frac{AC}{AE}=\frac{AF}{AI}$

=> 2016=$\frac{AN+AF}{AI}$ (1)

Mặt khác: MB=MC,CF//BN

=>MF=MN

(1)=>2016=$\frac{2AM}{AI}$

=>AI=$\frac{AM}{1008}$

Mà AM cố định nên I cố định

=>Đpcm

Ta có: $1\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

A=$(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+\frac{9}{2xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}} +\frac{9}{2xy}\geq \frac{4}{1}+\frac{9}{2.\frac{1}{4}}=22$

Dấu = khi x=y=1/2

Cho x,y,z không âm thỏa : $x+y+z=1$

Chứng minh rằng:

$\frac{x^{2}+1}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}+1}{z^{2}+1}+\frac{z^{2}+1}{x^{2}+1}\leq \frac{7}{2}$

Cho $a,b,c> 0,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$

Chứng minh:

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Chứng minh:

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Gọi giao điểm của BO và AC là H

Ta có : AB=BC=4$\sqrt{3}$,OA=OC

=> BO là đường trung trực của AC

=>HO là đường trung bình tam giác ACD

=>HO=$\frac{1}{2}$CD=2

Theo định lý Pytago

$CH^{2}=BC^{2}-BH^{2}=48-(R-2)^{2}$

$CH^{2}=CO^{2}-HO^{2}=R^{2}-4$

Ta có phương trình: $R^{2}-4=48-(R-2)^{2}$

Giải được R=6

Ta có : $\left ( a^{2}+b^{2} \right )+(c^{2}+d^{2})\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}=2\sqrt{a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}}$ (1)

Mà theo giả thiết thì $(ad-bc)^{2}=1\rightarrow a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=2abcd+1$

Thay vào (1)

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 2\sqrt{(ac+bd)^{2}+1}$

Đặt ac+bd=k

Áp dụng BĐT cauchy schwarz

$\rightarrow P\geq \sqrt{4k^{2}+4}+k=\sqrt{(\sqrt{3}^{2}+1^{2})(1^{2}+(-k)^{2})}+k\geq \sqrt{3}-k+k=\sqrt{3}$

Dấu = xảy ra khi...mà thôi bạn tự tính đi

Dự đoán dấu = xảy ra khi x=1,y=2

Ta có: $A=\frac{4y}{3.2x.y.y}+\frac{3}{\sqrt{3.(y+1)}}\geq \frac{4y}{3.\frac{(2x+y+y)^{3}}{27}}+\frac{3}{\frac{3+y+1}{2}}=\frac{9.4y}{8.(x+y)^{3}}+\frac{6}{y+4}\geq \frac{9.4y}{8.3^{3}}+\frac{6}{y+4}=\frac{y}{6}+\frac{6}{y+4}=\frac{y+4}{6}+\frac{6}{y+4}-\frac{2}{3}\geq 2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$

Bài toán đã được giải quyết

Đặt biểu thức đã cho là A

Ta có : $\frac{a}{2a^{2}+b^{2}+3}= \frac{a}{(a^{2}+b^{2})+(a^{2}+1)+2}\leq \frac{a}{2ab+2a+2}$

$=>2A\leq \frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ba}{abc+ab+a}+\frac{abc}{a^{2}bc+abc+ab}=\frac{ab+a+1}{ab+b+1}=1 \rightarrow A\leq \frac{1}{2}$

Dấu = xảy ra khi a= b= c=1

Ta có: A=$a^{2}(a-1)^{2}+2(a-1)^{2}+3\geq 3$

Dấu = xảy ra khi a=1

Bài 2

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}=1$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$(hình như là Schwarz thì phải, cái này có thể chứng minh dễ dàng bằng AM-GM)

$\frac{1}{4x}+\frac{1}{x+y+2z}+\frac{1}{x+2y+z}\geq \frac{9}{6a+3y+3z}=\frac{3}{2x+y+z}$

xây dựng thêm hai cái nữa rồi cộng lại=>đpcm

thêm một cách nữa là dùng AM-GM ngược dấu

$\frac{a^{2}}{a+b}= a - \frac{ab}{a+b}\geq a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}$

xây dựng thêm hai cái nữa rồi cộng vào là ra