Câu 5:
a. Có $\frac{1}{2}\sqrt{(a+3b)(b+3a)}\leq \frac{a+3b+b+3a}{4}=a+b$ (bất đẳng thức AM-GM)
Từ giả thiết: $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$
Bình phương 2 vế ta có: $2\sqrt{ab}=1-a-b$
Hay $4ab=(1-a-b)^2$
Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$3(a+b)^2+(1-a-b)^2\geq 2(a+b)$
$\Leftrightarrow (2a+2b-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh.