$\sum_{cyc}\frac{a^{2}}{b+c}$

Ta viết lại biểu thức $u= \sum\limits_{cyc}\sqrt{x^{2}+ \frac{1}{x^{2}}}$ dưới dạng:

$$u= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( x- \frac{1}{x} \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( y- \frac{1}{y} \right )^{2}}+ \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( z- \frac{1}{z} \right )^{2}}$$

Vì vậy trong mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$ ta xét các điểm:

$$\text{O}\,\left ( 0,\,0 \right ),\,\text{A}_{1}\,\left ( \sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x \right ),\,\text{A}_{2}\,\left ( 2\,\sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y \right ),\,\text{A}_{3}\,\left ( 3\,\sqrt{2},\,\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y+ \frac{1}{z}- z \right )$$

Khi đó:

$$\left\{\begin{matrix} \text{OA}_{1}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( x- \frac{1}{x} \right )^{2}}\\\ \\\ \text{OA}_{2}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( y- \frac{1}{y} \right )^{2}}\\\ \\\ \text{OA}_{3}= \sqrt{\left ( 0- \sqrt{2} \right )^{2}+ \left ( z- \frac{1}{z} \right )^{2}} \end{matrix}\right.$$

Mặt khác, ta có: $\frac{1}{x}- x+ \frac{1}{y}- y+ \frac{1}{z}- z= \sum\limits_{cyc} \left (\frac{1}{x}+ 9\,x \right )- 10\,\sum\limits_{cyc}x\geqq 18- 10= 8$. Khi đó, ta luôn có:

$$u= \text{OA}_{1}+ \text{A}_{1}\text{A}_{2}+ \text{A}_{2}\text{A}_{3}\geqq \text{OA}_{3}\geqq \sqrt{\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}+ 8^{2}}= \sqrt{82}$$

Dấu bằng xảy ra khi: 

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}= 9\,x,\,\frac{1}{y}= 9\,y,\,\frac{1}{z}= 9\,z\\ x+ y+ z= 1 \end{matrix}\right.$$

[mặt phẳng tọa độ $\text{Oxy}$!]

topic trung học cơ sở mà anh dùng lời giải gắt thế anh

BĐT cần cm tương đương với:

$\left ( a+b+c \right )\left ( \sum_{cyc}\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} \right )\leqslant 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )$

$<=>\sum _{cyc}\frac{c\left ( a^{2}+b^{2} \right )}{a+b}\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$<=>\sum_{cyc}\left(c^{2}-\frac{c\left ( a^{2}+b^{2} \right )}{a+b}\right)\geqslant 0$

$<=>\sum_{cyc}\frac{ac\left(c-a\right)^{2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\geqslant 0$ (Đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c ^^

Cách khác:
Áp dụng bdt bunhiacopxki ta có

$\sqrt{\left ( x^{2}+\frac{1}{x^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{x}{3}+\frac{3}{x} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

$\sqrt{\left ( y^{2}+\frac{1}{y^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{y}{3}+\frac{3}{y} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

$\sqrt{\left ( z^{2}+\frac{1}{z^{2}} \right )\frac{82}{9}}.\frac{3}{\sqrt{82}}\geqslant \left ( \frac{z}{3}+\frac{3}{z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

Cộng theo vế lại ta được: 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geqslant $ $\left ( \frac{x+y+z}{3}+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$ $\geqslant \left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{x+y+z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$

Áp dụng bđt AM-GM ta có: 

$ \left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{27}{x+y+z} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$= $\left ( \frac{x+y+z}{3}+\frac{1}{3\left (x+y+z  \right )}+\frac{80}{3\left ( x+y+z \right )} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}$ $\geqslant \left ( \frac{2}{3}+\frac{80}{3} \right ).\frac{3}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}$ (Đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= $\frac{1}{3}$ ^^

Bạn này đăng 1 bài mà 2 topic lận à

Vì abc=1 nên tồn tại x,y,z dương sao cho $a=\frac{x}{y}$ ; $b=\frac{y}{z}$ ; $c=\frac{z}{x}$

BĐT cần cm tương đương với: $\left ( x+z-y \right )\left ( y+x-z \right )\left ( z+y-x \right )\leqslant xyz$

Từ đây ta đặt $\left ( x+z-y \right )=a'$ ; $\left (  y+x-z \right )=b'$ ; $\left ( z+y-x \right )=c'$

BĐT cần cm trở thành: $\left ( a'+b' \right )\left ( b'+c' \right )\left ( c'+a' \right )\geqslant 8a'b'c'$ 

BĐT này dễ dàng cm bằng bđt am-gm ^^ Đây cũng chính là câu bất trong kì thi IMO 2001 ^^

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=7, ab+bc+ca=15. CMR: a=<11/3

Từ gt => b+c=7-a => ab+bc+ca = a(b+c)+bc=15 <=>a(7-a)=15-bc

Ta có bất đẳng thức phụ sau: $\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{4}\geqslant bc$ $\forall b,c\in R$

=>$a(7-a)=15-bc$ $\geqslant $15-$\frac{\left ( b+c \right )^{2}}{4}$

<=>$-3a^{2}+14a-11\geq 0$

<=>$1\leqslant a\leqslant \frac{11}{3}$ (Đpcm) ^^

$\geqslant$

1+a/b+c là $1+\frac{a}{b+c} $ hay $\frac{1+a}{b+c}$ vậy bạn ?

$\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geqslant \frac{5\left ( a+b+c \right )}{9}-\frac{2}{3}\geqslant \frac{15 \sqrt[3]{xyz}}{9}-\frac{2}{3}\geqslant \frac{15}{9}-\frac{2}{3}=1$

Cách khác:

Từ gt=>  xyz ≥ 1=> x+y+z ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ ≥ 3

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

 $\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y+2}{9}\geq2\sqrt[2]{\frac{x^{2}}{y+2}.\frac{y+2}{9}}=\frac{2x}{3}$ 

CMTT ta cũng có

 $\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z+2}{9}\geq\frac{2y}{3}$;$ \frac{z^{2}}{x+2}+\frac{x+2}{9}\geq\frac{2z}{3}$  

Cộng các vế lại ta được:  

$\frac{x^{2}}{y+2}+\frac{y^{2}}{z+2}+\frac{z^{2}}{x+2}\geqslant \frac{5\left ( x+y+z \right )}{9}-\frac{2}{3}\geqslant \frac{15}{9}-\frac{2}{3}=1$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 ^^

Tìm GTNN của x⁸ +16x+(x+1)/(x-1) với x>1 

Giúp em với ạ, em cảm ơn :<

 Bài này chọn điểm rơi như thế nào ạ, có thể chỉ em một xíu được không 

Vì vai trò a,b là như nhau nên bạn có thể chọn điểm rơi là a=b, xong r thay vào biểu thức tìm mối liên hệ giữa c với a và b là được nha bạn ^^