Bài 1:  Cho a, b, c, d>0, tìm GTNN của P= $\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}$.

Bài 2: Cho a, b, c, d>0, CMR: $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$.

 Dạ e đánh sai đề -> để đúng như chị Tea nói

Mình xin được giải 2 bài pt đã lâu mà vẫn chưa thấy ai giải đúng. Lão Hạc là dấu "-" nhé.

Bài 42 Pt đã cho tương đương với $X^{4}+2x^3+x^2-2x-1$ <=> $(x^2+2x+1)^{2}=2(x+1)^{2}$.

                                                                                                           <=> ...

             Nghiệm khá là đẹp: x=$\frac{1}{2}(-1+\sqrt{2}-\sqrt{2\sqrt{2}-1} )$.

                                               x=$\frac{1}{2}(-1+\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}-1})$.

Bài 43: Đặt f(x)= $\frac{9x^{8}+84x^{6}+126x^{4}+36x^{2}+1}{x^{8}+36x^{6}+126x^{4}+84^{2}+1}$.

             Pt đã cho tương đương với af(x) + xf(a) = 0.

                                                   <=> (a - f(x))(x - f(x)) = (a+f(a))(x+f(x)).

             Dễ dàng suy ra x=-a.

Bài 142: Có thể tìm được hay không 1 dãy số tự  nhiên gồm 2018 số liên tiếp mà trong dãy đó không có số nào là số nguyên tố.

Bài 125: n là hợp số nên n có dạng a.b với a là 1 số nguyên tố lẻ hoặc n có dạng $2^x$ với x>1

xét TH thứ nhất thì $2^n-1= (2^b)^a-1$ chia hết cho $2^b+1 >1$ với a lẻ 

xét TH thứ hai thì $2^n-1= 4^{x-1}-1$ chia hết cho 3 với mọi x>1

Từ đó ta có đpcm.

  Ta có thể giải bài 125 đơn giản hơn như sau:

  Giả sử p là ước nguyên tố lẻ của n và $p\leq n$.

  Đặt n=p.q($q\geq 1$).

  Ta có: $2^{n}+1=2^{pq}+1=(2^{q})^{p}+1\vdots (2^{q}+1)$.

  Mà $0<2^{q}+1<2^{n}+1$ =>  $2^{n}+1$ là hợp số.

  Vậy để $2^{n}+1$ là số nguyên tố thì n phải là lũy thừa của 2.

Mính xin đề xuất 1 số bài về số nguyên tố để mọi người luyện tập .

Bài 125: CMR nếu n là hợp số thì $2^{n}-1$ cũng là hợp số.

Bài 126: Cho n là số thự nhiên (n>0). Giả sử $2^{n}+1$ là 1 số nguyên tố. Hãy CMR n là một lũy thừa của 2.

Bài 127: CMR tồn tại vô số số nguyên dương a sao cho z=$n^{4}+a$ không là số nguyên tố với mọi n nguyên dương.

Bài 128: Tìm các số tự nhiên n sao cho: n+1, n+3, n+7, n+9, n+13 và n+15 đều là các số nguyên tố.

Bài 129: Cho số A= $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$. CMR A là 1 hợp số.

Bài 130: CMR với mọi số tự nhiên n>0 thì $19.8^{n}+17$ là hợp số.

Bài 131: Tìm tất cả các số nguyên tố P có dạng: P=$n^{n}+1$, trong đó n là 1 số nguyên dương. Biết P có không nhiều hơn 19 chữ số.

Bài 132: Cho n số nguyên dương lớn hơn 5. CMR trong dãy n+1, n+2, . . ., n+30 có nhiều nhất 8 số nguyên tố.

Bài 133: Cho m, n là các số nguyên. CMR mn($m^{30}-n^{30}$) chia hết cho 14322.

Bài 42: Giải phương trình: $\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{2}}=1$.
Bài 43: Giài phương trình sau: $a.\frac{9x^{8}+84x^{6}+126x^{4}+36x^{2}+1}{x^{8}+36x^{6}+126x^{4}+84x^{2}+9}+x.\frac{9a^{8}+84a^{6}+126a^{4}+36a^{2}+1}{a^{8}+36a^{6}+126a^{4}+84a^{2}+9}=0$ với a là số thực cho trước.

Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{A}=2\widehat{B}=4\widehat{C}$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{AB}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}$

(Sưu tầm)

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=2\widehat{B}$. Đặt BC = a, AB = c, AC = b.

Kẻ phân giác AD, có $\frac{DC}{DB}=\frac{b}{c}$ => $\frac{DC}{BC}=\frac{b}{b+c}$ .

                                                                              => $DC=\frac{ab}{b+c}$.

$\Delta BCA\sim \Delta ACD(g.g)$: $\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CD}=> \frac{a}{b}=\frac{b(b+c)}{ab}=>a^{2}=b(b+c)$.

 Do đó với $\widehat{A}=2\widehat{B}=4\widehat{C}$ => $\left\{\begin{matrix} a^{2}=b^{2}+bc & & \\b^{2} =c^{2}+ac & & \end{matrix}\right.$.

                                                                                    => $a^{2}=c^{2}+ac+c$.

 => $\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{b+c}{a^{2}}$.

 Lại có $a^{2}=b(b+c)=>\frac{1}{b}=\frac{b+c}{a^{2}}$.

 => đpcm.

Bài 113: CMR $3^{4^{5}}+4^{5^{6}}$ là tích của 2 số nguyên, mỗi số đều lớn hơn $10^{2002}$.

Bài 114: Tìm số nguyên dương x lớn nhất sao cho $23^{x+6}\vdots 2000!$.

Bài 115: Cho p, q, r là các số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:

                  $p^{n}+q^{n}=r^{2}$.

               Chứng minh rằng n=1.

P/s: đây là topic số mong các bạn đăng đúng chỗ .

 

Bài 93:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 $

Chứng minh: 

$$ \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1} \le \sqrt{x+y+z} $$ (Sưu tầm)

 

    Từ GT=> $\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$.

    Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

       $x+y+z=(x+y+z)(\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z})\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^{2}$.

       => $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$.

Bài 104: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x^{2y^{2}+1}+2x^{2(y^{2}+1)}+x^{2y^{2+3}}-4x^{2(y^{2}+2)}+x^{2y^{2}+5}+10=0$.
xét nếu x chia hết cho 3 thì vt chia 3 dư 1 vô nghiệm
nếu x không chia hết cho 3 thì $x^{2}$ chia 3 dư 1 suy ra vt chia 3 dư 1 vô nghiệm
Vậy pt vô nghiệm

Bài 102: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $1987x^{2}+1988y^{2}=3000-2x^{2}y^{2}$.

Bài 103: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2}-200xy+p=0$ với p là các số nguyên tố $p\leq 1999$.

Bài 104: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x^{2y^{2}+1}+2x^{2(y^{2}+1)}+x^{2y^{2+3}}-4x^{2(y^{2}+2)}+x^{2y^{2}+5}+10=0$.

P/s: anh Jolo ra bài thcs thôi ạ.

Bài 97: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2\leq 2(ab+bc+ca)$ và $p,q,r$ là các số t/m $p+q+r=0$

CMR: $apq+bqr+crp\leq 0$

 Thay $r=-p-q$ vào, ta có: 

$apq+bqr+crp=apq-(p+q)(bq+cp)=-cp^2+(a-c-b)pq-bq^2$

Ta cần c/m: $f(p)=cp^2-(a-c-b)pq+bq^2\geq 0$

Nếu $c=0$ thì từ $(1)\Rightarrow a^2+b^2\leq 2ab\Rightarrow a=b\Rightarrow f(p)=bq^2\geq 0$

Xét TH $c>0$: $f(p)=cp^2-(a-c-b)pq+\frac{q^2(a-c-b)^2}{ac}-\frac{q^2(a-c-b)^2}{4c}+bq^2$

                             $=c[p-\frac{q(a-c-b)}{2c}]^2+\frac{q^2[4bc-(a-c-b)^2]}{4c}$

                             $=c[p-\frac{q(a-c-b)}{2c}]^2+\frac{q^2[2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)]}{4c}\geq 0$

$\Rightarrow$ đpcm

 P/s: cấy bài ni là BĐT mà bạn.

Đặt $(x-y,y-z,z-x)=(a,b,c)$ khi đó ta có: $a+b+c=0$
Ta có: 
$a^5+b^5+c^5=(a^3+b^3)(a^2+b^2)-(a+b)a^2b^2+c^5=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+b^2)-(a+b)a^2b^2-(a+b)^5=(a+b)(a^4+b^4+2a^2b^2-a^3b-ab^3-a^2b^2-(a^2+b^2+2ab)^2)=(a+b)(-5a^2b^2-5a^3b-5ab^3)=5abc(a^2+b^2+ab)$
Suy ra đpcm

Bài 39: Cho $\left\{\begin{matrix} x, y ,z >0 & & \\ xyz=1 & & \end{matrix}\right.$, chứng minh rằng:

                     P= $\frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{xy}+\frac{\sqrt{m+x^{3}+y^{3}}}{yz}+\frac{\sqrt{m+z^{3}+z^{3}}}{zx}\geq 3\sqrt{3}$ với $m\epsilon N^{*}$.

44) Tìm cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn $5x^{2}+8y^{2}=20412$

   Ta có: $(6x^{2}+9y^{2})-(x^{2}+y^{2})=20412\vdots 3$

         => $(x^{2}+y^{2})\vdots 3$.

         => $\left\{\begin{matrix} x\vdots 3 & & \\ y\vdots 3 & & \end{matrix}\right.$

    Đặt $x=3x_{1};y=3y_{1}(x_{1};y_{1}\epsilon Z)$ thì pt tương đương với $5x_{1}^{2}+8y_{1}^{2}=2268$.

    Lập luận tương tự ta có: $5x_{2}^{2}+8y_{2}^{2}=252(x_{2};y_{2}\epsilon Z)$.

    Lập luận như trên: $5x_{3}^{2}+8y_{3}^{2}=28$.

    Đến đây ta thấy $0\leq x_{3}^{2}\leq \frac{28}{5}$

                          => $0\leq x_{3}^{2}\leq 5$.

    Đến đây ta thì ta xét từng TH rồi xem có thỏa mãn $y^{3}\epsilon Z$ không.

    Sau đó ta dễ dàng tìm được x, y.

Bài 35: Cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0 & & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4 \end{matrix}\right.$ Tìm GTLN của biểu thức:

                       P= $\frac{1}{\alpha x+\beta y+\gamma z}+\frac{1}{\beta x+\gamma y+\alpha z}+\frac{1}{\gamma x+\alpha y+\beta z}$ với $\alpha ,\beta ,\gamma \in N^{*}$.

Bài 37: Chứng minh rằng nếu A=$1+2^{n}+4^{n}(n\in N^{*})$ là số nguyên tố thì $n=3^{k}(k\in N)$

         Đặt $n=3^{k}.m$ với (m;3)=1. Ta xét 2 trường hợp sau:

• Nếu $n=3a+1(n\in N^{*})$.

          $1+2^{n}+4^{n}=1+2^{3^{k}(3a+1)}+4^{3^{k}(3a+1)}=1+b^{3a+1}+b^{6a+2}(với b=2^{3^{k}})$.

          => $1+2^{n}+4^{n}=b(b^{6a+3}-1)+b^{2}(b^{3a}-1)+a^{2}+a+1\vdots (a^{2}+a+1)$ mà $1+2^{n}+4^{n}>a^{2}+a+1$.

          => A là hợp số.

•  Nếu $n=3a+2$ thì cm tương tự A cũng là hợp số.

       => đpcm.

  Mình xin được đưa ra 1 số bài về số chính phương để mn luyện tập.

  47) Có tồn tai số nguyên dương k để $2^{k}+3^{k}$ là số chính phương.

  49) Tìm $x,y$ nguyên dương sao cho $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là các số chính phương.

  48) 1, Viết các số 1,2,3,...,2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý ta được số A. Hỏi $A+2008^{2007}+2009$ có là số chính phương không? VÌ sao?
        2, Cho n số có giá trị tuyệt đối bằng 1 là $a_{1},a_{2},a_{3},..., a_n$ biết:
                  $a_{1}.a_{2}+a_{2}.a_{3}+a_{3}.a_{4}+...+ a_n.a_{1}$=0. Hỏi n có thể là số 2002 không? Vì sao?

  P/s: bài 48 dành cho chủ topic Tea Coffee hàng đã có chủ các bạn không giải nhé.

Bài 40: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $n+S(n)+S(S(n))=60$, với $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$.

                Ta có: n + S(n) + S(S(n)) = 60.

                => $S(n)\geq 1$ => $n=60-S(n)-S(S(n)\leq 59$.                          (1)

                => $S(n)\leq 5+9=14$.

                => $S(S(n))\leq 9$ vì từ số 1 đến số 14 chỉ có số 9 là số có chữ số lớn nhất.

                => $n=60-S(n)-S(S(n))\geq 37$ .                                                  (2)

                Từ (1) và (2) => $37\leq n\leq 59$.

•       Ta có: $\overline{ab}-a-b=9a\vdots 9$ => $\overline{ab}\equiv a+b(mod9)$. (vì n là số có 2 chữ số)
•        Áp dụng vào bài toán ta có: $n\equiv S(n)(mod9)$ 

                                                              $S(n)\equiv S(S(n))(mod9)$

                 => $n\equiv 2(mod3)$

                 => $n\in {38;41;44;47;50;53;56;59}$

                 Thử lại ta thấy $n\in {44;47;50}$ là thỏa mãn.

Bài 34: Chứng minh rằng phương trình $x^{2}+2x+4y^{2}=37$ không có nghiệm nguyên dương.

 Cách khác của mình: Pt <=> $(x+1)^{2}+(2y)^{2}=38\vdots 19$.

                                      Mà 19 là số nguyên tố có dạng 4k + 3 nên $\left\{\begin{matrix} (x+1) \vdots 19& & \\2y\vdots 19 & & \end{matrix}\right.$

                                      => $[(x+1)^{2}+(2y)^{2}]\vdots 19^{2}$

                                      Mà 38 không chia hết cho $19^{2}$.

                                      => pt ko có nghiệm nguyên dương.

Bài 28: Chứng minh rằng nếu $P=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$ là số tự nhiên thì $P$ là số chính phương.

•      Đầu tiên: Ta chứng minh bài toán sau: Nếu tích của 2 số nguyên tố cùng nhau là số chính phương thì chúng đều là các số       chính phương. (tự cm).
•      Quay trở về bài toán: Nếu P là số tự nhiên thì $12n^{2}+1$ phải là số chính phương lẻ.

               Đặt $12n^{2}+1=(2p-1)^{2}$ <=> $3n^{2}=p(p-1)\vdots 3$ => $p\vdots 3$ hoặc $(p-1)\vdots 3$.

1.      Nếu p chia hết cho 3 thì $n^{2}=\frac{p}{3}(p-1)$. Vì $(\frac{p}{3};p-1)=1$ nên áp dụng bài toán trên thì $\left\{\begin{matrix} \frac{p}{3}=a^{2} & & \\p-1=b^{2} & & \end{matrix}\right.$

               => $b^{2}=3a^{2}-1\equiv 2$ (vô lý).

       2.     Nếu p-1 chia hết cho 3 thì lập luận tương tự thì $\left\{\begin{matrix} p=c^{2} & & \\ \frac{p-1}{3}=d^{2} & & \end{matrix}\right.$

               => P=... là số chính phương (thay số vào là OK).

       P/s: bài này đã được tổng quát tại để thi chuyên toán ams 2017.

Bài 18:Giải phương trình nghiệm nguyên:$\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$

 Bài này là câu 1 trong đề thi IMO Shortlist 2006.

 P/s: mình nghĩ các bạn nên ra những bài phù hợp với thi vào lớp 10 chuyên toán chứ đừng ra mấy bài kiểu đao to búa lớn thế này!

 Bài 25: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: $(x^{2}+1)(y^{2}+1)+2(x-y)(1-xy)=4(1+xy)$.

 Bài 26: Tìm tất cả các số nguyên a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện sau;

                              $\left\{\begin{matrix} x+y+z=abc & & \\a+b+c=xyz & & \\ a\geq b\geq c\geq 1;x\geq y\geq z\geq 1 & & \end{matrix}\right.$

Bài 1: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: $2x^{2}+5y^{2}+2xy-8y-22y+22<0$.

Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ thỏa mãn $2n+1$,$3n+1$ là các SCP và $2n+9$ là số nguyên tố.

                                                                              Bài làm

  Ta có: 2n+1; 3n+1 là các số chính phương nên ta đặt $\left\{\begin{matrix} 2n+1=x^{2} & & \\3n+1=y^{2} & \end{matrix}\right.$

  Ko mất tính tổng quát ta giả sử x, y lớn hơn hoặc bằng 0.

  => $n=3n+1-2n-1=y^{2}-x^{2}$; $1=3(2n+1)-2(3n+1)=3x^{2}-2y^{2}$. (2)

  Do đó $2n+9=2(y^{2}-x^{2})+9(3x^{2}-2y^{2})=25x^{2}-16y^{2}=(5x+4y)(5x-4y)$

  Mà $5x+4y\geq5x-4y$ nên để 2n+9 là số nguyên tố thì:

            $\left\{\begin{matrix} 5x+4y=2n+9 & \\5x-4y=1 & \end{matrix}\right.$

     <=> $x=\frac{4y+1}{5}$.                                                                     (1)

  Thay (1) vào (2) ta dễ dàng tìm được x, y  rồi thử xem chúng có thỏa mãn ko.

  Mình xin đề xuất các bài toán sau:

  Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b,c đôi một khác nhau sao cgo biểu thức:

                $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$ nhận giá trị nguyên dương.

  Bài 9; Tìm số nguyên tố p sao cho tồn tại x, y là các số nguyên thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}=p+1 & & \\ 2y^{2}=p^{2}+1 & & \end{matrix}\right.$

, Khánh có góp ý tí ở phần đầu nè, rút ngắn phần đầu bằng cách chia hết chứ cách làm tương tự, phần đầu mik có thể làm như thế này:

                     23x+53y=109

            <=>  23x+46y +7y=115-6

            <=> 23(x+2y-5) + (7y+6) = 0

- Vì 23(x+2y-5)  chia hết cho 23 và 0 chia hết 23 nên 7y+6 chia hết cho 23 nên ta đặt 7y+6 = 23t suy ra y = (23t-6):7 mà y thuộc z nên 23t-6 chia hết cho 7

Ta lại có 23t -6 = 21t +2t-6  chia hết cho 7 mà 21t chia hết cho 7 nên 2t-6 chia hết cho 7. Điều này xảy ra khi 2t đồng dư với 6 theo mod 7 nên t đồng dư với 3 theo mod 7 do (2;7)=1. Từ đó ta có y= 7k+3 và cũng có được x = -16-53k. Nhanh hơn rồi

 Đó là cách bạn có thể dùng trong 1 số TH nhưng trong 1 số bài toán khác bạn không thề dùng được cách này.