cho hỏi một câu không liên quan là bạn đặt tiêu đề kiểu gì vậy mình đặt toàn bị sai nên không đăng được bài
Bạn tìm đến mục "hướng dẫn sử dụng diễn đàn" (không phải tên gọi chính xác) để đọc qui định nhen!
Có 155 mục bởi An Infinitesimal (Tìm giới hạn từ 12-05-2020)
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 27-03-2018 - 21:49 trong Dãy số - Giới hạn
cho hỏi một câu không liên quan là bạn đặt tiêu đề kiểu gì vậy mình đặt toàn bị sai nên không đăng được bài
Bạn tìm đến mục "hướng dẫn sử dụng diễn đàn" (không phải tên gọi chính xác) để đọc qui định nhen!
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 28-03-2018 - 13:01 trong Giải tích
Áp dụng BĐT $|\sin x|\le 1, |\sin x| \le |x|, \forall x\in \mathbb{R},$
\[|\cos x-\cos y|=\left|2\sin\frac{x-y}{2}. \sin\frac{x+y}{2}\right| \le |x-y|.\]
Từ đánh giá trên và Định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $0.$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 29-03-2018 - 21:46 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy số $u_n$ được xác định bởi $u_1=\frac{21}{10}$ , $u_{n+1}=\frac{u_n-2+\sqrt{u_{n}^2+8u_n-4}}{2}$
đặt $v_n= \sum_{i=2}^{n+1}{\frac{1}{u_{i}^2-4}}$ tính $lim v_{n}$
Thử "rút" $u_{n}$ theo $u_{n+1}$ rồi thử phân tích $\frac{1}{u_n^2-4}.$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 31-03-2018 - 13:14 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy số $(x_{n})$:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 & \\ x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}+x_{n}+1}-\sqrt{x_{n}^{2}-x_{n}+1} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng dãy có giới hạn và tính giới hạn đó
Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}.$
Lời giải 1.
Ta thấy $f(x)\le 1.$ Suy ra $x_n \le 1 \forall n\in \mathbb{N}.$
Với $x\le 1,$ ta có đánh giá $f(x) \le x.$ Hơn nữa, khi $x\ge 0$, $f(x)= \frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}\ge 0.$
Từ đó, ta suy ra dãy $\{x_n\}$ giảm và bị chặn dưới.
Lời giải 2.
$f'(x)= \frac{1}{2}\left[ g(2x+1)-g(2x-1)\right]$, trong đó $g(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+3}}.$
Ta có $g'(t)= \frac{3}{\sqrt{(t^2+3)^3}}.$
Với $x\in [0,1],$ ta có \[0<f'(x)<\frac{1}{2} \left[g(3)-g(-1)\right]=\frac{1}{2} \left[ \frac{3}{12}+\frac{1}{2}\right]:=q<1.\]
Áp dụng định lý Lagrange, ta suy ra dãy hội tụ.
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 31-03-2018 - 18:27 trong Giải tích
Tìm bán kính của chuỗi lũy thừa: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n.(x-3)^n}{2n+ln^3(n)}$
Dễ thấy bán kính hội tụ bằng $\frac{1}{2}.$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 01-04-2018 - 10:25 trong Giải tích
Cho $f(x,y)=\left\{\begin{matrix} y+x^3\sin{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+y^2}}} & ,(x,y)\neq(0,0),\\ 0 & ,(x,y)=(0,0). \end{matrix}\right.$
Xét tính liên tục của các đạo hàm riêng bậc hai của hàm $f$ tại $(0,0)$.
Bạn có viết thiếu ngoặc hay không?
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 01-04-2018 - 10:45 trong Giải tích
Tính diện tích giới hạn bởi nửa mặt cầu $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$ bị cắt bởi hình trụ: $x^2+y^2=5$.
Diện tích mặt $z=f(x,y)$ bị giới hạn bởi miền $(x,y)\in D$ được xác định bởi
\[\iint_{D}\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2} dxdy=\iint_{D}\frac{3}{\sqrt{9-x^2-y^2}} dxdy= \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{5}} \frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}dr d\phi.\]
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 01-04-2018 - 11:27 trong Giải tích
Tìm bán kính của chuỗi lũy thừa: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n.(x-3)^n}{2n+ln^3(n)}$
Đáp số trên quá vội !
Tính bán kính hội tụ thông qua $\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ hoặc $\lim \sqrt[n]{|a_n|}.$ Ta nhận được kết là là $1$.
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 03-04-2018 - 20:28 trong Giải tích
Chứng minh rằng hàm số liên tục trên tập $X \subset \mathbb{R}^{n}$, khác rỗng, đóng, bị chặn thì liên tục đều trên $X$. Kết quả còn đúng không nếu bỏ một trong các giả thiết đóng hoặc bị chặn của $X$?
"Người ta" chứng minh kết quả cơ bản này bằng phản chứng.
Về sự cần thiết của các giả thiết, cả tính đóng , tính bị chặn đều không thể bỏ qua. Điều đó được minh họa thông qua 2 thí dụ sau:
1) Với $n=1, \, X=(0,1), f(x)=\frac{1}{x}$ không liên tục đều trên $X$.
2) Với $n=1,\, X=(0,\infty), f(x)=\sqrt{x}$ không liên tục đều trên $X$.
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 03-04-2018 - 20:29 trong Dãy số - Giới hạn
Hãy lập CT tính un theo n và tính lim un.
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2012\\ u_{n+1}=\frac{n^{2}+4n+3}{2n^{2}+4n}u_{n} (n\geq1) \end{matrix}\right.$
Phân tích tử, mẫu thành phân tử rồi lùi dần (tính theo giai thừa hoặc không cần), rút gọn các số nhân tử chung ở tử và mẫu, ta nhận được "kết quả".
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 04-04-2018 - 22:33 trong Dãy số - Giới hạn
mình làm được phần tìm CT của un rồi. Mình không biết làm phần tìm lim un.
Bạn ghi công thức lên đây nhen.
Đặt $f(n)= \frac{n^2+4n+3}{2n^2+4n}, n\in \mathbb{N}.$
Ta có $f(n) \le q:=\frac{4}{5}, \forall n\ge 3.$
Suy ra $0<u_{n+1}\le qu_n, n\ge 3.$
Suy ra $\lim u_n=0.$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 04-04-2018 - 22:37 trong Giải tích
Hàm dưới dấu tích phân là $\tan^2\left( \frac{x}{2}\right)$ nên việc tính toán không có vấn đề gì!
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 04-04-2018 - 22:41 trong Giải tích
Đặt $u$ là hàm đưới dấu tích phân. Khi đó, chuyển sang biến $u$, ta nhận được tích phân hàm đa thức.
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 09-04-2018 - 12:31 trong Giải tích
Tìm cực trị nha bạn, nó có tới 3 điểm dừng là $(2;3),(a;0),(0,b)$ với $a,b \in \mathbb{R}$.
"Ba"???- Mình đếm mãi không ra "3"!
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 12-04-2018 - 17:43 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau : $\left\{\begin{matrix}u_0=\frac12\\u_{k}=u_{k-1}+\frac1{n}u^2_{k-1} \end{matrix}\right.$ $(n\in N,k=1,2,3...n)$
Chứng minh rằng $\lim u_{n}=1$
Đề nhầm lẫn rồi!
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 18-04-2018 - 12:01 trong Giải tích
+ Cho hàm $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục. Gọi D là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$. Tính $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$.
Bạn có nhầm lẫn đề $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$ với $\lim_{r\to0}\frac{1}{r^2}\iint_{D}f(x,y)dxdy$ không?
Nếu là cái thứ nhất có vẻ dễ hơn!
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 19-04-2018 - 20:47 trong Giải tích
+ Cho hàm $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục. Gọi D là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$. Tính $\lim_{r\to0}\frac{1}{r}\iint_{D}f(x,y)dxdy$.
Gọi $D_r$ là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$ và $M_r= \displaystyle\max_{(x,y)\in D_r}\{|f(x,y)|\}$.
Khi đó, $\left| \iint_{D_r}f(x,y)dxdy\right|\le \iint_{D_r} M_1dxdy= M_1 \pi r^2, \forall r\le 1.$
Dùng Định lý kẹp, ta có $\displaystyle \lim_{r\to 0^{+}} \frac{1}{r}\iint_{D_r}f(x,y)dxdy=0. $
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 19-04-2018 - 22:04 trong Giải tích
Bài toán:
Cho hàm $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục. Gọi D là hình tròn đóng tâm $O(0;0)$ bán kính $r$. Tính $\lim_{r\to0}\frac{1}{r^2}\iint_{D_r}f(x,y)dxdy$.
Giải:
Áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có $\frac{1}{\pi r^2}\iint_{D_r} f(x,y) dxdy= f(x_r,y_r),$ trong đó $(x_r,y_r)\in D_r$.
Ý tưởng thô: Khi $r\to 0^{+}, \, (x_r,y_r)\to (0,0)$. Hơn nữa, $f$ liên tục tại $(0,0)$. Suy ra $\lim_{r\to0}\frac{1}{r^2}\iint_{D_r}f(x,y)dxdy=\pi f(0,0).$.
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 29-04-2018 - 19:49 trong Dãy số - Giới hạn
Chưa rõ chỗ này, bạn giải thích thêm nhé.
Bài giới hạn trên mình có đọc được lời giải chi tiết, bạn giải như vậy không thể nhìn ra vấn đề tại sao lại rút gọn được vậy, bài này rút gọn khó nhận ra, từ đầu mình có nghĩ đến khai triển nhưng lại nhìn không ra.
1) Bạn có quen với BĐT $e^u \ge \frac{u^k}{k!}, \forall u>0, k\in \mathbb{N}.$
Khi đó, $3^n= e^{n\ln 3} \ge \frac{n^2\ln^2 3}{2!}.$
Do đó, \[\left|\frac{n}{3^n} \right| \le \frac{2}{n \ln^2 3}, \forall n\in \mathbb{N}.\]
Sử dụng định lý kẹp, ta suy ra đpcm.
Nếu không thì bạn dùng khai triển nhị thức Niuton và giữ lại số hạng thứ chứa mũ 2.
2)
Vì $1-\frac{1}{k^2}= \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} \forall k=\overline{2,n}$ nên
\[\prod_{k=2}^n \left( 1-\frac{1}{k^2}\right)=\dfrac{ \displaystyle \prod_{k=2}^n (k-1)\prod_{k=2}^n (k+1)}{\prod_{k=2}^nk^2}= \dfrac{(n-1)! . \frac{(n+1)!}{2}}{(n!)^2}=\frac{n+1}{2n}.\]
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 29-04-2018 - 20:13 trong Giải tích
Giải các phương trình vi phân cấp $2$ sau:
$a)$ $y''=\frac{y'}{\sqrt{y}}$
$b)$ $y''(1+y)=y'^2+y'$
Giải chính xác là điều rất khó và gần như "không thể".
"Giải" a)
Lấy tích phân 2 vế theo biến $x$ (giả sử $y$ là hàm theo $x$), ta thu được
$y' =2\sqrt{y}+C.$
Vấn đề nhại cảm bắt đầu hiện ra từ đây.
Tồn tại $x$ sao cho $2\sqrt{y}+C=0$?
Nếu làm ẩu thì chia 2 vế cho $2\sqrt{y}+C$ để đưa về dạng tách biến.
(Làm như thế đã làm mất đi nghiệm hằng thỏa $2\sqrt{y}+C=0$ trên tập xác định hàm $y$. Như thế cũng chưa chắc đã đủ nghiệm).
"Giải" b)
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 29-04-2018 - 20:29 trong Giải tích
Những bài thấy "vô phương" thì thử tìm nghiệm dạng chuỗi.
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 30-04-2018 - 12:23 trong Dãy số - Giới hạn
Cho:($(x_{n}):x_{1}=a,x_{n+1}=\frac{n(n+3)x_{n}+8}{(n+1)^{2}} (\forall n\geq 1)$
1.Tìm Số hạng tổng quát
1.Tìm a để dãy hội tụ.Khi đó tính lim $x_{n}$
Đặt $v_n= x_n-(2n+6), \, n\in \mathbb{N}.$
Ta có $v_1=a-8, \, v_{n+1}= \frac{n(n+3)}{(n+1)^2}v_n, n\in \mathbb{N}.$
Suy ra $$ v_{n}= \frac{(n-1)!(n+2)}{2(n!)^2}v_1 =\frac{(n+1)(n+2)}{2n} v_1.$$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 30-04-2018 - 12:25 trong Dãy số - Giới hạn
Cho $\left \{ U_n \right \}$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} & U_1=2013, U_2=2026 & \\ & \frac{U_{n+2}}{n+2}=\frac{U_{n+1}}{n+1}+\frac{2U_n}{n} & \end{matrix}\right.$. Tìm $lim\frac{U_n}{U_{n-1}}$
Giải dãy truy hồi tuyến tính $\left\{ \frac{u_n}{n}\right\}$ để tìm $u_n.$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 08-05-2018 - 23:42 trong Dãy số - Giới hạn
Chứng minh
1) f(x) liên tục tại x = 0
2) Hàm không khả vi tại mọi điểm
1) Vì $|f(x)|\le |x| \forall x\in \mathbb{R}$ nên, theo định lý kẹp, hàm số liên tục tại $0.$
2)
Xét tính khả vi của $f$ tại mỗi $a\in \mathbb{R}.$
TH1: $a=0.$ Đặt $g(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}.$
TH2: $a\neq 0.$
Xét $\left\{x_n\right\}$ hội tụ về $a$ thỏa $ x_{2n}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, x_{2n+1}\in \mathbb{Q}.$
Khi đó, $g(x_{2n})=1,\, g(x_{2n+1})=0.$ Khi đó,
$$\lim_{n\to\infty} g(x_{2n})=1\neq 0=\lim_{n\to\infty} g(x_{2n+1}).$$
TH2: $a\neq 0.$
Ta chứng minh $f$ không liên tục tại $a.$
Xét $\left\{x_n\right\}$ hội tụ về $a$ thỏa $ x_{2n}\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}, x_{2n+1}\in \mathbb{Q}.$
$$\lim_{n\to\infty} f(x_{2n})=a\neq 0=\lim_{n\to\infty} f(x_{2n+1}).$$
Do đó, $f$ không liên tục tại $a\neq 0.$
Suy ra, $f$ không khả vi tại $a\neq 0.$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 08-05-2018 - 23:45 trong Giải tích
Tính các tích phân kép sau:
$I=\int_{D}\sqrt{2x-x^2-y^2}d(x,y)$, $D$ giới hạn bởi $x^2-2x+y^2\leq 0$
$I=\int_{D}\left | {2x-x^2-y^2}\right |d(x,y)$, $D$ giới hạn bởi $x^2+y^2\leq2y.$
Bài 1: Dùng phép đổi biến $x=1+r\cos\theta,\, y=r\sin\theta$. Miền trong "tọa độ cực" này là $0\le r\le 1, 0\le \theta\le 2\pi.$
Định thức Jacobi phép biến đổi cũng là $r$.
Bài 2: tương tự bài 1.
Bạn kiểm tra thử!
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học