Bất chợt trong sự hối hả của cuộc sống, bạn tình cờ nghe được một bài hát mà thời còn nó bạn vẫn thích và thường nghe, bạn buồn và chán nản.
Bất chợt nụ cười và khuôn mặt nó hiện ra trong tâm trí bạn và ....
Cũng vì thế, quyên đi là việc khó hơn nhớ rất rất nhiều.

Cuộc đời thay buồn và thay đổi thật nhanh, nhanh tới chóng mặt mà bạn không xác định được phương hướng nữa.
Mới đây thôi, h thì là một kẻ rãnh rỗi, mặt dày, làm phiền người khác.
Thật ghê người.
Dù sao cũng cám ơn đã vì mang tới những cảm xúc thật đặc biệt, để biết thế nào là nỗi buồn, thế nào là nhớ nhung, thế nào là hạnh phúc, thế nào là cay đắng. Dù thế nào bạn vẫn luôn luôn có một ngăn nhỏ trong trái tim mình để lưu nhớ hình bóng nó mãi mãi. Cám ơn tất cả đã đọc.
Delete all things.

Tặng anh em một show cũ của Quick Snow Show đây.
Chúc mọi người đạt được ước mở của mình.
Hãy chiến thắng mọi thứ để trở thành người thành công.

http://www.theoyeucau.com/HTML/data/flash/SharePlayer.swf?url=http%3A%2F%2Fwww.theoyeucau.com%2Fs%2F3160%2F&author=null

Thực ra nó ở đây.

bài này trong SGK Anh 11, chắc ku Tùng dịch từ trong đó ra

Không biết có còn ai chung tâm trạng với người bạn trong bài viết không nhỉ?
Chán nản và buồn.

Cho A là tập con của B thì mọi phần tử của A đều thuộc tập B, nhưng điều ngược lại thì không đúng.
Cuộc đời chỉ là nhưng ngày buồn và chán nản.
Có thể bạn thích hay yêu ai đó , cảm thấy cuộc sống sẽ khó thể tiếp tục nếu không có nó, và nó quan trọng và bạn yếu nó nhiều như thế nào đi nữa
Nhưng không phải người đó cũng như vậy lại với bạn, có thể không cảm thấy thoải mái khi nói chuyện với bạn 3 phút trong hai ngày nhưng nói chuyện cả tiếng với người khác mỗi ngày,..vv
Trong nhịp sống tập nập,luôn chuyển động thì bất chợt bạn bị dừng lại trong một xó xỉnh mà cảm thấy mất hết ý chí chỉ muốn ngủ và ngủ.
Có lẽ vậy, Khi mà bạn cảm thấy nhớ khi không dc nghe giọng nó mỗi ngày,bạn cảm thấy 1 sự thiếu thốn 1 thứ gì đó khó nói.
Bạn xem nó như một người rất quan trọng, nó chính là một phần của cuộc đời bạn.
Và rồi vì những lí do nào đó( có thể do ít thời gian, có thêm người đi vào, khoảng cách địa lí,...vv) mà bạn không đuọc nó nhìn với con mắt mà bạn đã nhìn nó.
Rồi thì điều cay đắng cũng tới, bạn nhận được sự lạnh lùng và ý nghĩ từ chối trong con mắt nó.
Cảm thấy tuyệt vọng và chán nản.
Bổng dưng cuộc đời mang nó tới với bạn rồi nó lại nói ra để mọi thứ bổng nhiên tan biến trước mắt bạn.
Bạn có thể quên nó và tiếp tục cuộc sống hối hả hay là ngủ và ngủ trong xó xỉnh tối tăm để âu sầu buồn bả ???
Cũng có thể bạn sẽ chọn con đường thứ hai, hoặc bạn đủ bản lĩnh để nhanh chóng lao vào công việc.
Riêng cho những hiểu được thế nào là nhớ là buồn thì thật khó nói.
Cuộc đời là những ngày buồn chán và hụt hẫm.
Và cũng có nhưng kẻ ngu xuẩn chờ đợi 1 điều gì đó từ nó trong một ngày xa xôi nào đó mà chưa biết nó là khi nào hay là không bao giờ. ????

**************************************
Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.
*****************************************
If you wanna know
Tomorrow morning I have to leave
But wherever I may be
Best believe I'm thinking of you
I can't believe how much I love

All we have is here tonight
We don't want to waste this time
Give me something to remember
Baby put your lips on mine

And I'll love you forever
Anytime that we find ourselves apart

Just close your eyes
And you'll be here with me
Just look to your heart
And that's where I'll be
If you just close your eyes
Till your drifting away
You'll never be too far from me
If you close your eyes

I know I'm gonna see you again
But promise me that you won't forget
Cause as long as you remember
A part of us will be together
So even when you're fast asleep
Look for me inside your dreams
Keep believing in what we're sharing
And even when I'm not there to tell you

I'll, I'll love you forever
Anytime that I can't be where you are

(Chorus)

Is there anywhere that far?
Anytime you're feeling low
Is there anywhere that love cannot reach?
Oh no
It could be anywhere on earth
It could be anywhere I'll be
Oh baby if you want to see

Just close your eyes
And you'll be here with me
Look to your heart
That's where you'll be
Just close your eyes
Till your drifting away
You'll never be too far from me ...

1.Cho x,y,z là các số thực không âm. Chứng minh.
$\sum \sqrt{x^2-xy+y^2} \leq x+y+z \leq \sqrt{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}$

2.Cho a,b,c không âm và a+b+c=3.Chứng minh.
$ (1+a^2b)(1+b^2c)(1+c^2a) \leq 5+3abc $

3.Cho a,b,c không âm và abc=1. Chứng minh.
$ \dfrac{1}{a^3+2a^2+1}+\dfrac{1}{b^3+2b^2+1}+\dfrac{1}{c^3+2c^2+1} \geq \dfrac{3}{4} $

Bài Toán :
Cho $4$ số thực dương $ a ; b ; c ; d $ thỏa mãn : $ abcd = 1$ ;

Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức :

$ \dfrac{1}{(1+a)(1+a^2)} + \dfrac{1}{(1+b)(1+b^2)} + \dfrac{1}{(1+c)(1+c^2)} + \dfrac{1}{(1+d)(1+d^2)} \ge 1$
Ai đưa ra lời giải đẹp sớm nhất cho bài này ; thưởng 2$ ; Mại dzô ; mại dzô

Nguyễn Kim Anh

Lời giải cổ điển quá đẹp nhé, 2$ bao h em nhận được nhỉ?

Bài Toán :
Cho $4$ số thực dương $ a ; b ; c ; d $ thỏa mãn : $ abcd = 1$ ;

Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức :

$ \dfrac{1}{(1+a)(1+a^2)} + \dfrac{1}{(1+b)(1+b^2)} + \dfrac{1}{(1+c)(1+c^2)} + \dfrac{1}{(1+d)(1+d^2)} \ge 1$
Ai đưa ra lời giải đẹp sớm nhất cho bài này ; thưởng 2$ ; Mại dzô ; mại dzô

Nguyễn Kim Anh

$ \dfrac{1}{(1+a)(1+a^2)}+\dfrac{1}{(1+b)(1+b^2)}+\dfrac{1}{(1+c)(1+c^2)}+\dfrac{1}{(1+d)(1+d^2)}\geq 1.$
Không mất tính tổng quát giã sử$ a\geq b\geq c\geq d$
Theo Chebuyshev ta có.
$ \dfrac{1}{(1+a)(1+a^2)}+\dfrac{1}{(1+b)(1+b^2)}+\dfrac{1}{(1+c)(1+c^2)}\geq $
$\geq \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)\left(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2}\right).$
Bổ đề.
Với$ a\geq b\geq c\geq d $và $ abcd=1$
ta có
$ \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\geq \dfrac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}.$
LG của bổ đề.
Thứ nhất BDT sau đúng với a,b dương có tích không nhỏ hơn 1.
$ \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\geq \dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}$
Không khó để CM (BDTT)
Vì vậy, ta sẽ chứng minh.$ \dfrac{1}{1+c}+\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}\geq \dfrac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}.$
Đặt $ x=\sqrt{ab},y=\sqrt[3]{abc}\Longrightarrow c=\dfrac{y^3}{x^2}$
Thay vào BDT can chứng minh:
$ \dfrac{1}{1+c}+\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}-\dfrac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}=\dfrac{x^2}{x^2+y^3}+\dfrac{2}{1+x}-\dfrac{3}{1+y},$

$ <=> \dfrac{(x-y)^2[2y^2-y+ x.(y-2)]}{(1+x)(1+y)(x^2+y^3)}$
BDT trên đúng khi
$ <=> 2y^2-y+(y-2)x\geq 2y^2-y+(y-2)y^3=y(y-1)(y^2-y+1)\geq 0$
Vì $ a\geq b \geq c => \sqrt{ab} \geq c .$
Mặt khác $ a\geq b \geq c\geq d ,abcd=1 $
$ \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\geq \dfrac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}$
$ \dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2}\geq \dfrac{3}{1+\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}.$
For convenience denote by
$ k = \sqrt[3]{abc}$
Do dó
$ \displaystyle\dfrac{1}{(1+a)(1+a^2)}+\dfrac{1}{(1+b)(1+b^2)}+\dfrac{1}{(1+c)(1+c^2)}\geq \dfrac{3}{(1+k)(1+k^2)}$
Thus it remains to prove that \\
$ \dfrac{3}{(1+k)(1+k^2)}+\dfrac{1}{(1+d)(1+d^2)} \geq 1$
vì abcd=1
Nên
$ \dfrac{1}{(1+d)(1+d^2)}=\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{k^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{k^6}\right)}.$
Ta viết lại
$ \dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{k^3}\right)\left(1+\dfrac{1}{k^6}\right)}+\dfrac{3}{(1+k)(1+k^2)}\geq 1$
Tương đương
$ \dfrac{(k-1)^2(2k^4+k^3+k+2)}{(k^3+1)(k^6+1)}\geq 0$
Đẳng thức tại a=b=c=d=1.
Xem tậi đây
Nó là 1 bổ đề mình dùng trong bài của mình.
Vẫn còn 1 LG=CS nhưng hơi xấu.

Oh em Lê Phương Thảo Nhi cùng sinh nhật với anh kìa ....
Lâu rồi không thấy em active trong box Toán IQ nữa ...

Chúc mừng sinh nhật anh Nguyễn Quốc Khánh.
Ngày quốc khánh nước VNDCCH cũng là ngày MM chào cuộc đời.
Cái tên cũng hay như vậy luôn.
Chúc anh MM mạnh khẻo,sống lâu để VMF cũng sống lâu, dồi dào tiền bạc,dồi dào bạn gái.

Mình mới lướt qua, xin góp ý một chút , trình bày chưa thật tốt, một vài lời giải chưa rõ ràng (chẳng han chỗ f(....)), và chỗ sai sót, chua rõ ngu�#8220;n và tác giả bài toán, lời giải
Nhưng làm được như này cũng đáng ngợi khen rùi , mất khối thời gian và công sức đấy. Chúc mừng Tùng với tác phẩm đầu tay

E cũng đồng ý vs a! Việc tôn trọng bản quyền hết sức quan trọng...

Tuy nhiên đây là sp đầu tay của bạn ấy...Còn trẻ mà làm được như vậy là suất sắc lém rùi... Một đứa trẻ mới sinh ra đâu

đã biết nói biết đi đâu a!

Thực ra đây không phải là tài liệu đầu tiên của mình.
Nói chung file chỉ thiết 1 chữ time thôi.

2 BDT này sẽ đúng (có thể sai )
$\sum a^3b^5 \ge abc \sum ab^4$
$\sum a^5b^2 \ge abc \sum a^3b$
Ngoài ra BDT sau cũng đúng với cùng condition:
$\sum \dfrac{1}{a+b^2+c^3} \le 1$

Xem lại thì đến đây AM-GM ko ra dc.
Bài trên yếu hơn bài đầu topic.
Bài này.
$ \sum_{cyc}\sqrt[4]{\dfrac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}{2}}\leq\dfrac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right) $
với a,b,c dương.

Cho a,b,c dương. CMR:
$ \sum_{cyc}\sqrt[4]{\dfrac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}{2}}\leq\dfrac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right) $

Vậy thì bài 1 khá lỏng:

Sử dụng các phân tích sau:

$\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}-\dfrac{3a}{a^2+2bc}=\dfrac{(a-b)^2}{b(a^2+2bc)}+\dfrac{(a-c)^2}{c(a^2+2bc)}+\dfrac{b+c-2a}{a^2+2bc}$

$\dfrac{1}{2c}+\dfrac{1}{2a}-\dfrac{3b}{b^2+2ca}=\dfrac{(b-a)^2}{a(b^2+2ac)}+\dfrac{(b-c)^2}{c(b^2+2ac)}+\dfrac{a+c-2b}{b^2+2ca}$

$\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}-\dfrac{3c}{c^2+2ab}=\dfrac{(c-a)^2}{a(c^2+2ab)}+\dfrac{(c-b)^2}{b(b^2+2ac)}+\dfrac{a+b-2c}{c^2+2ab}$

Từ dó dễ dàng thấy Inqe tương đương vs:

$\sum[\dfrac{c(a^2+ab+b^2)}{ab(a^2+2bc)(b^2+2ac)}(a-b)^2]\ge 0$ (đúng)

Ai có tgian thì nghĩ thêm cách giải độc đáo, BDT này ko chặt!

Bài 2:BDT này khó chịu thật! Cả về bề ngoài lẫn ý tưởng tiếp cận, VT là hoán vị, VP đối xứng! Loay hoay đưa đx thì BDT lại đổi chiều!! Nản...

Hello. Cả hai bài đều của mình tuy nhiên bài 1 đã xuất hiện trước rồi.
Bài 2 chắc là chưa xuất hiện.
Phủ định hay khẳng định.

Giải ở đâu hả bạn

Bài 1. Cho a,b,c là các số thực dương và abc=1.
Chứng minh :
$\dfrac{a}{a+{b}^{2}+{c}^{3}}+\dfrac{b}{b+{c}^{2}+{a}^{3}}+\dfrac{c}{c+{a}^{2}+{b}^{3}} \leq 1$
$ <=> \sum_{cyclic}[a(b+c^2+a^3)(c+a^2+b^3)] \leq (a+b^2+c^3)(b+c^2+a^3)(c+a^2+b^3) $
$ <=> \sum_{cyclic}a^{5}c^{3}+\sum_{cyclic}a^{5}b^{2}-\sum_{cyclic}a^{3}b-\sum_{cyclic}a^{4}c\geq 0 $
Không khó để chứng minh bởi AM-GM.

cảm ơn bạn
nhưng mình muốn hỏi
vì sao không cần chứng minh trong trường hợp k khác ln3/ln2 -1 ?

Bất đẳng thức cần chứng minh là
Cho a,b,c,k là các số thực dương. Chứng minh rằng:
${(\dfrac{a}{b+c})}^k+{ (\dfrac{b}{c+a})}^k+{ (\dfrac{c}{a+b})}^k>=min{(2, \dfrac{3}{2^k})}$

Bất đẳng thức ta chứng minh là cho trường hợp $ k=\dfrac{\ln3}{\ln2}-1 <=> 2=\dfrac{3}{2^k}$
Có hai khả năng xảy ra. Xét cho cả hai khả năng thì với giá trị k để $ 2=\dfrac{3}{2^k}$ thì BDT đúng cho trường hợp tổng quát.

[quote name='Nesbit' post='238972' date='Sep 1 2010, 05:53 PM'][quote name=' Messi_ndt' date='Sep 1 2010, 04:20 PM' post='2389MesiMessi_ndt chưa hoàn chỉnh được tài liệu này được, Up lên cho anh em tham khảo.
Vẫn còn một số chỗ chưa hoàn chỉnh và thiếu một số phần mà mình dư định làm.

Cái đầu tiên bạn cần bổ sung là tên tác giả các bài toán và các lời giải. Thân ![/quote]
Cám ơn anh Khuê.
Nhiều bài quá, không thể viết nhớ và biết được tất cả tác giã và lời giải nên của bài toán nên không ghi vào.
File của em còn thiếu sót nhiều chỗ lắm.
Có một bài em trích dẫn lời giải của anh , thanks anh.
Vì không có thời gian nên file ko có comment (Nhận xét của anh MM) ,điều đó làm giảm đi giá trị của tài liệu.
File ko có lời dẫn,không lời nói đầu, không mục lục, không tài liệu tham khảo, không nhiều thứ...

Một tài liệu Bất đẳng thức Olympic của mình đây.
Tặng bạn Curi gem.
567 Nice And Hard Inequalities

Vì một số lí do mà Messi_ndt chưa hoàn chỉnh được tài liệu này được, Up lên cho anh em tham khảo.
Vẫn còn một số chỗ chưa hoàn chỉnh và thiếu một số phần mà mình dư định làm.
Dù sao đây cũng là tâm huyết của Messi_ndt trong một thời giãn dài.
Anh em dowdload về đọc thử nhé.
Các bạn có thể dowload ở đây.

Các anh chị bày giúp em mấy bài bất đẳng thức Côsi vs nhé, e cảm ơn mọi người nhiều...
1) Cho a, b 0. CMR 3a^3 + 7b^3 luôn lớn hơn hoặc bằng 9ab^2
2) Cho a, b 0. CMR căn bậc 2 của a + căn bậc 2 của b tất cả mũ 8 luôn lớn hơn hoặc bằng tích
64ab(a+b)^2

Cho $ a,b \geq 0$. Chứng minh:
1) $ 3a^3+7b^3 \geq 9ab^2 $
2)$ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^8 \geq 64ab(a+b)^2 $

1) AM-GM cho ba số.
$ 3a^3+7b^3 \geq 3a^3+3b^3+3b^3 \geq 3.3\sqrt[3]{a^3b^6}=9ab^2$
Dẳng thức tại a=b=0.
2)Đặt $ x=\sqrt{a},y=\sqrt{b} $
BDT tương đương $ (x+y)^8 \geq 64x^2y^2(x^2+y^2)^2 <=> (x+y)^4 \geq 8xy(x^2+y^2) $
$ <=> S^4 \geq 8P(S^2-2P) <=> S^4+16P^2 \geq 8PS^2 $
Đúng theo AM-GM cho ha số. Đẳng thức tại a=b.
Q.E.D

lg sử dụng bổ đề này ntn nào vậy?

Lời giải toàn xài cái cổ điển rất đẹp và hay.

cái này thì chịu rồi, nhưng có thấy spam gì đâu, chỉ là post bài sai mục thôi

Công nhận sau chuyện đóng cửa, tình trạng VMF hiện tại yếu đối hơn, các box ko tập nập nữa, chưa mạnh lên được chút nào cả.

Chắc mấy thày ấy mải làm những vấn đề lớn hơn...Kiểu như GS.NgoBAOChau chăng? Mà ko để ý tới những điều mà chúng ta đang nghĩ...

Cũng chả biết nhưng chác chắn không phải thế, làm báo thì phải tập trung 100% cho báo chứ GS Ngô Bảo Châu có thế nào cũng ko thể biến báo ra thế nào được.

Bài này em hỏi anh luat nhé.
hướng là dùng bdt này :
$\sum ab\ge \sum \dfrac{4a^3(b+c-1)}{(b+c)^2}$

Ôi anh ơi,có phải em chưa làm được đâu,
Lời giải đó dùng CS+Che+Horder thôi chứ có gì đâu, post lên xem có ai có cách khác không thôi, cách xài pp Hiện đại cũng đầy.

Tham khảo thêm ở topic của tác giả phương pháp.
http://www.artofprob...v...=55&t=80127

Leonhard Euler (đọc là "Ơ-le" theo phiên âm từ tiếng Pháp hay chính xác hơn là "�”i-lờ" [ˈ�”ʏlɐ] theo phiên âm tiếng Đức; 15 tháng 4, 1707 ồ 18 tháng 9, 1783) là một nhà toán học và nhà vật lý học Thụy Sĩ. �”ng (cùng với Archimedes và Newton) được xem là một trong những nhà toán học lừng lẫy nhất. �”ng là người đầu tiên sử dụng từ "hàm số" (được Gottfried Leibniz định nghĩa trong năm 1694) để miêu tả một biểu thức có chứa các đối số, như y = F(x). �”ng cũng được xem là người đầu tiên dùng vi tích phân trong môn vật lý.

�”ng sinh và lớn lên tại Basel, và được xem là thần đồng toán học từ nhỏ. �”ng làm giáo sư toán học tại Sankt-Peterburg, sau đó tại Berlin, rồi trở lại Sankt-Peterburg. �”ng là nhà toán học viết nhiều nhất: tất cả các tài liệu ông viết chứa đầy 75 tập. �”ng là nhà toán học quan trọng nhất trong thế kỷ 18 và đã suy ra nhiều kết quả cho môn vi tích phân mới được thành lập. �”ng bị mù hoàn toàn trong 17 năm cuối cuộc đời, nhưng khoảng thời gian đó là lúc ông cho ra hơn nửa số bài ông viết.

Tên của ông đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trăng và cho tiểu hành tinh 2002 Euler.
Tiểu sử

Leonhard Euler sinh ngày 15 tháng 4 năm 1707, là con của một mục sư tại Basel, Thụy Sĩ. Lúc còn nhỏ, ông đã tỏ ra có tài năng trong môn toán học, nhưng cha ông muốn ông học giáo lý và trở thành một mục sư. Năm 1720 Euler bắt đầu học tại Đại học Basel. Tại đây ông được quen với Daniel và Nikolaus Berloulli, và họ đã nhận thấy tài năng toán học của ông. Cha của ông, Paul Euler, đã tham dự một vài bài thuyết giảng toán học của Jakob Bernoulli và kính trọng gia đình ông. Khi Daniel và Nikolaus xin ông cho con ông học môn toán ông bằng lòng và Euler bắt đầu học toán.

Vào năm 1727 Euler được nữ hoàng Nga Ekaterina I mời đến Sankt-Peterburg. �”ng trở thành giáo sư vật lý học năm 1730, và cũng dạy toán năm 1733. Euler là người đầu tiên xuất bản một cuốn sách dạy cơ học có phương pháp trong năm 1736: Mechanica sive motus scientia analytice exposita (Chuyển động cơ học được giải thích bởi ngành giải tích). Vì ông quan sát mặt trời nhiều quá, đến năm 1735 mắt phải ông đã bị mù một phần.

Năm 1733 ông kết hôn với Ekaterina (Katharina) Gsell, con gái của giám đốc Viện hàn lâm nghệ thuật. Họ có 13 con, nhưng chỉ có ba người con trai và hai người con gái sống sót. Con cháu của họ giữ những vị trí quan trọng tại Nga trong thế kỷ 19.

Năm 1741 Euler trở thành giám đốc viện toán tại Hàn lâm viện Vương quốc Phổ tại Berlin. �”ng viết rất nhiều trong thời gian ở Berlin, nhưng ông không có được địa vị tốt vì nhà vua không xem trọng ông. Vì thế, ông trở về Sankt-Peterburg năm 1766, lúc đó dưới triều Ekaterina II, và sống ở đó cho đến khi mất.

Tuy bị mù hoàn toàn, ông vẫn viết được vì ông có trí nhớ siêu thường và có thể dùng óc để tính toán được. Có chuyện kể rằng có khi ông và người phụ tá của ông tính kết quả của một dãy số với 17 con số và nhận biết được là đáp số của ông và của người phụ tá khác nhau trong con số thứ 50. Khi họ tính lại thì thấy rằng ông đã tính đúng!

Người ta ước tính rằng, phải làm việc 8 giờ một ngày trong suốt 50 năm để có thể ghi chép bằng tay tất cả những công trình của ông. Phải đợi đến năm 1910, mới có một bộ sưu tập, tụ hợp tất cả các công trình này một cách đầy đủ, và nó được chứa trong 70 tập sách. Theo lời kể của Adrien-Marie Legendre, Euler thường hoàn thành một bài chứng minh trong khoảng thời gian gọi dùng cơm tối của mình.

Euler là một người rất sùng đạo. Có một giai thoại phổ biến nói rằng Euler đã thách đố Denis Diderot tại cung điện của Ekaterina Đại đế, "Thưa ngài, cách suy luận $ \dfrac{(a+b)^n}{n}=x$ do đó Thượng đế tồn tại"; tuy nhiên giai thoại này là sai.

Khi Euler mất, nhà toán học và triết học Hầu tước de Condorcet bình luận "... et il cessa de calculer et de vivre" (và ông ấy đã ngừng tính và ngừng sống).
Các khám phá

Euler cùng với Daniel Bernoulli hoàn thành định luật, ở đó phát biểu rằng lực xoắn trên một sợi dây chun mỏng tỉ lệ với độ đàn hồi của vật liệu và mô men quán tính của mặt cắt. �”ng đồng thời cũng đưa ra phương trình Euler, một tập hợp các định luật chuyển động trong thủy động lực học, quan hệ trực tiếp với định luật chuyển động của Newton. Những phương trình này có dạng tương đương với các phương trình Navier-Stokes với độ nhớt bằng 0. Đó là một điều thú vị bởi chúng là nguyên nhân dẫn đến sự tồn tại của các sóng sốc.

�”ng còn có đóng góp to lớn cho thuyết phương trình vi phân. Cụ thể, ông được biết đến nhiều với việc sáng tạo ra một chuỗi các phương pháp tính xấp xỉ, được sử dụng nhiều trong tinh toán. Và phương pháp nổi tiếng nhất trong đó chính là phương pháp Euler.

Trong lý thuyết số ông đã sáng tạo ta hàm totient. Totient φ(n) của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n và nguyên tố cùng nhau với n. Ví dụ φ(8) là 4 số 1, 3, 5, 7 đều là số nguyên tố nhỏ hơn 8.

Trong ngành giải tích, Euler đã tổng hợp hóa tích phân Leibniz với phương pháp tính Newton thành một dạng, gọi là vi phân.

�”ng hoàn thành nền móng vào năm 1735 bằng việc giải quyết bài toán Basel, vấn đề đã tồn tại trong một thời gian dài.[1]

$ \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \cdots = \dfrac{\pi^2}{6},$

ở đó ζ(s) là hàm Euler zeta (không nên lầm lẫn với hàm Riemann zeta vốn không hoàn toàn giống nhau ở miền giá trị của x).

�”ng còn đưa ra một biểu thức nổi tiếng trong toán học, là sợi dây liên hệ giữa hàm số mũ phức và hàm số lượng giác, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler: eiπ + 1 = 0 hay eiθ = cosθ + isinθ

Năm 1735, ông tìm ra hằng số Euler-Mascheroni, được sử dụng rất nhiều trong các phương trình vi phân.

$ \gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(1+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} ... + \dfrac{1}{n} - \log(n) \right).$

�”ng là người cùng khám phá ra công thức Euler-Maclaurin, là một công cụ rất quan trọng trong việc tính toán các tích phân phức tạp, các tổng và chuỗi khó.

Trong hình học và topo đại số có một sợi dây liên kết chính là công thức Euler, ở đó liên hệ giữa các cạnh, đỉnh và mặt của một đa diện. Công thức tổng quát đó là: F - E + V = 2, ở đó F là số mặt, E là số cạnh và V là số đỉnh. Định lý này được áp dụng cho mọi đa diện lồi. Với các đồ thị không phẳng, có một biểu thức tổng quát. Nếu đồ thị có thể được nhúng vào trong một đa tạp M, thì F - E + V = X (M), ở đó X là Đặc trưng Euler của đa tạp, một hằng số ở đó là bất biến với mọi biến dạng liên tục. Đặc trưng Euler của một đa tạp liên thông đơn giản là một hình cầu và một mặt phẳng là 2. Công thức tổng quát với một đồ thị phẳng là: F - E + V - C = 1, ở đó C số thành phần liên thông của đồ thị.

Năm 1736, Euler giải được bài toán nổi tiếng 7 chiếc cầu Königsberg, chính xác hơn, ông chứng minh bài toán không có đáp số. Kết quả được công bố trên bài báo nhan đề Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, và đó chính là ứng dụng sớm nhất của lý thuyết đồ thị hay của topo học.
[sửa] Tác phẩm nổi tiếng
Bìa của cuốn Methodus inveniendi lineas curvas của Euler.

Euler có khối lượng sách viết đồ sộ nhưng những cuốn sách nổi tiếng nhất của bao gồm:

* Elements of Algebra (Nhập môn Đại số học). Cuốn sách về đại số căn bản này bắt đầu bàn một lời bàn luận về bản chất các con số và một lời giới thiệu tổng quan về đại số, bao gồm các công thức dành cho cách giải phương trình đa thức.
* Introductio in analysin infinitorum (1748): Nhập môn về giải tích vô cùng bé.
* Hai cuốn sách có ảnh hưởng về vi tích phân: Institutiones calculi differentialis Phép tính vi phân (1755) và Institutiones calculi integralis Phép tính tích phân (1768ồ1770).
* Principia motus fluidorum (1761): Nguyên lý chuyển động của chất lưu; cuốn sách trình bày phương trình liên tục và phương trình Euler.
* Lettres à une Princesse d'Allemagne (Lá thư gửi một Quận chúa Đức) (1768ồ1772). Có trực tuyến (bằng tiếng Pháp). Bản dịch tiếng Anh, có ghi chú, và cuộc đời của Euler có trực tuyến tại Google Books: Tập 1, Tập 2
* Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744). Tựa đề Latin dịch là Phương pháp tìm những đường cong có tính chất cực đại hoặc cực tiểu, hoặc lời giải cho bài toán đẳng cấu trong chừng mực chấp nhận rộng rãi nhất.[2]

Nick Nguyễn Quang Trọng nhiều người cho ra có vấn đề thật.
Thực ra nó còn bé, chua bik gì, chưa hiểu Spam là thế nào, cần nhắc nhở là nó tự biết thôi.

Cho a,b,c là ba cạnh tam giac và $ a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh:
$\dfrac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{c+a-b}} \geq 6$