vietfrog nội dung
Có 829 mục bởi vietfrog (Tìm giới hạn từ 23-05-2020)
#333818 MỘT SỐ TOPIC BẤT ĐẲNG THỨC HAY ( trước 2012)
Đã gửi bởi vietfrog on 09-07-2012 - 21:32 trong Bất đẳng thức và cực trị
Có thể là những Topic cũ,sôi động, đã bị chìm từ lâu hay nhưng bài BĐT hay độc đáo.
Xin cảm ơn!
#333803 MỘT SỐ TOPIC BẤT ĐẲNG THỨC HAY ( trước 2012)
Đã gửi bởi vietfrog on 09-07-2012 - 21:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
#333721 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D
Đã gửi bởi vietfrog on 09-07-2012 - 18:21 trong Thi TS ĐH
$3sinx-4sin^{3}x+4cos^{3}x-3cosx-sinx+cosx=\sqrt{2}cos2x$
$\Leftrightarrow 2sinx-4sin^{3}x+4cos^{3}x-2cosx=\sqrt{2}cos2x$
$\Leftrightarrow 2sinx(1-2sin^{2}x)+2cosx(2cos^{2}x-1)=\sqrt{2}cos2x$
$\Leftrightarrow 2sinx.cos2x+2cosx.cos2x=\sqrt{2}cos2x$
$cos2x(2sinx+2cosx-\sqrt{2})=0$
Với:
\[\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\]
Với:
\[\begin{array}{l}
2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2 = 0\\
\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
#333719 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D
Đã gửi bởi vietfrog on 09-07-2012 - 18:16 trong Thi TS ĐH
Ta có:
\[\begin{array}{l}
d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 2.3 + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 3 = d\\
\Rightarrow {R_I} = \sqrt {{d^2} + {r^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\\
\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25
\end{array}\]
#333716 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D
Đã gửi bởi vietfrog on 09-07-2012 - 18:11 trong Thi TS ĐH
2)
Ta có:
\[\begin{array}{l}
y' = 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)\\
y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - mx - \left( {3{m^2} - 1} \right) = 0
\end{array}\]
Để hàm số có 2 cực trị thì:
\[\Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4\left( {3{m^2} - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} > \frac{4}{{13}}\]
Mặt khác: Theo bài:
\[\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\\
\Leftrightarrow 1 - 3{m^2} + 2m = 1\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\left( L \right)\\
m = \frac{2}{3}\left( {TM} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow m = \frac{2}{3}
\end{array}\]
#333710 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D
Đã gửi bởi vietfrog on 09-07-2012 - 18:04 trong Thi TS ĐH
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\left( {2 + i} \right)z + \frac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i\\
\Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 7 + 4i\\
\Leftrightarrow z = 3 + 2i\\
\Rightarrow w = z + 1 + i = 4 + 3i\\
\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5
\end{array}\]
#333707 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D
Đã gửi bởi vietfrog on 09-07-2012 - 17:52 trong Thi TS ĐH
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
xy + x - 2 = 0\left( 1 \right)\\
2{x^3} - {x^2}y + {x^2} + {y^2} - 2xy - y = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 2 \right):2{x^3} - {x^2}y + {x^2} + {y^2} - 2xy - y = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {2xy + y} \right) - \left( {{x^2}y - {y^2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 1} \right) - y\left( {2x + 1} \right) - y\left( {{x^2} - y} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - y} \right) - y\left( {{x^2} - y} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - y} \right)\left( {2x - y + 1} \right) = 0\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} = y\\
2x - y + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\]
Với $x^2=y$, thay vào $(1)$:
\[\begin{array}{l}
{x^3} + x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1
\end{array}\]
Với $2x-y+1=0$, thay vào $(1)$ ta được:
\[\begin{array}{l}
x\left( {2x + 1} \right) + x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \to y = \pm \sqrt 5
\end{array}\]
Thử lại.
P/s: Mọi người test hộ nhé!
#333702 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D
Đã gửi bởi vietfrog on 09-07-2012 - 17:45 trong Thi TS ĐH
\[\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x\left( {1 + \sin 2x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x\sin 2xdx} \\
= \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} + A
\end{array}\]
Đặt : \[dv = \sin 2xdx \to v = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x\]
\[A = \left. {\frac{{ - x}}{2}\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \left( { - \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2xd\left( {2x} \right)} } \right) = \frac{1}{4}\]
Suy ra: \[I = \frac{{{\pi ^2}}}{{32}} + \frac{1}{4}\]
#333650 $\left\{\begin{matrix} x(x+2y-4)+4k^{2}=8+4y-y^{2} &...
Đã gửi bởi vietfrog on 09-07-2012 - 16:38 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Thanks em. Anh đã sửa.Cái này suy ra k=1 chứ ạ?
Suy ra $k$ thì thế này:
\[\left\{ \begin{array}{l}
- 4{k^2} + 12 \ge 0\\
2{k^2} + 2k - 3 \ge 0\\
k \in Z
\end{array} \right. \Rightarrow k = 1\]
#333641 $\left\{\begin{matrix} x(x+2y-4)+4k^{2}=8+4y-y^{2} &...
Đã gửi bởi vietfrog on 09-07-2012 - 16:28 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Lời giảiTìm tất cả k nguyên để hệ này có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix} x(x+2y-4)+4k^{2}=8+4y-y^{2} & \\ y^{2}-2y+2=4x(y-x-1)+2k^{2}+2k & \end{matrix}\right.$
Hệ đã cho tương đương:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + y - 2} \right)^2} = - 4{k^2} + 12\\
{\left( {2x - y + 1} \right)^2} = 2{k^2} + 2k - 3
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow k = 1\]
#333309 CMR: $\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}...
Đã gửi bởi vietfrog on 08-07-2012 - 19:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
#333185 Tìm GTLN, GTNN $P = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begi...
Đã gửi bởi vietfrog on 08-07-2012 - 16:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
Xin trích dẫn một lời giải.Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn $x+y+z=0$ và $\begin{vmatrix} x \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix} \neq 0$ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P = $\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}}$
Như đã biết tư tưởng để chứng minh một bài toán bất đẳng thức của chúng ta đó là đưa bài toán về dạng đơn giản nhất có thể từ một bai toán có nhiều biến ta sẽ tìm cách đưa về dạng ít biến hơn. Và đối với bài toán này cũng dậy ta cũng sẽ tìm cách đưa bài toán từ ba biến về hai biến hoặc một biến thì càng tốt.
Nhưng trước hết, ta hãy chú ý đến nhận xét sau đây" Trong ba số $x,y,z$ luôn có hai số cùng dấu. Ta có thể giả sử đó là $x,y.$ "
Bây giờ, quay trở lại bài toán. Biểu thức cần tìm cực trị có ba biến, trong khi đó giả thiết lại cho ta $x+y+z=0.$ Điều này gợi cho ta rút $z=-x-y$ để thay vào $P,$ và được $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{|x|+|y|+|x+y| }.\quad (1)$$ [HINT] Có thể nói đây là một bước tiến lớn trong lời giải vì ta đã đưa được bài toán tìm cực trị hàm ba biến về hai biến chỉ là rút ra rồi thay vào thôi mà.[/HINT]
Mặt khác, trong $(1)$ nếu ta thay $(x,y)$ bởi $(-x,-y)$ thì bài toán không đổi, nên ta chỉ cần xét trường hợp $x,y$ không âm là được. Khi đó ta được $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }. \quad (2)$$
Sử dụng hai đánh giá hiển nhiên $x^2+y^2\le(x+y)^2,$ ta có $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }\le \frac{\sqrt{(x+y)^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Mặt khác theo bát đẳng thức Cauchy-Schwarz, thì $x^2+y^2\ge \dfrac{(x+y)^2}{2},$ nên $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }\ge \frac{\sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{2}+(x+y)^2}}{2(x+y) }=\sqrt{\frac{3}{8}}.$$ Vậy ta có kết quả cần tìm. $\Box$
Nhận xét. Thông thường đối với các bài toán bất đẳng thức ba biến, đẳng thức của bài toán thường xảy ra khi $a=k_1b=k_2c.$ Trong bài toán này sau khi đưa $P$ về dạng hai biến như $(2)$ ta có thể nhờ vào dự đoán đảng thức sẽ xảy ra khi $y=kx$ với k là một số thự nào đó. Từ đó gợi cho ta phép đặt $y=kx$ và viết $P$ lại thành $$P=\frac{\sqrt{x^2+k^2x^2+(x+kx)^2}}{2(x+kx) }=\frac{\sqrt{1+k^2+(1+k)^2}}{2(1+k) }.$$ Đây là bài toán một biến có thể giải quyết dễ dàng bằng nhiều cách.
Bằng cách làm tương tự, ta chứng minh được bài toán tổng quát sau đây
Nguồn: onluyentoan.vn
#333179 Cho hàm số $y=x^3-mx$ (Cm). Tìm m sao cho trên (CM) có ít nhất 2 đi...
Đã gửi bởi vietfrog on 08-07-2012 - 15:53 trong Hàm số - Đạo hàm
Đề bài nhìn hơi dài nhưng cách giải thì cũng đơn giản.Cho hàm số $y=x^3 - mx$ có đồ thị là (Cm)
1. Tìm m sao cho trên (Cm) có ít nhất hai điểm phân biệt có hoành độ khác nhau nhưng tung độ bằng nhau. Xác định hoành độ của các điểm M thuộc đồ thị (Cm) theo m sao cho tồn tại ít nhất một điểm N nằm trên (Cm) khác M thỏa mản tung độ của N bằng tung độ của M.
Gợi ý:
* $(Cm)$ có ít nhất hai điểm phân biệt có hoành độ khác nhau nhưng tung độ bằng nhau
$ \Leftrightarrow $ Đồ thị hàm số có cực trị $ \Leftrightarrow $ $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $ $m>0$.
* Xác định hoành độ của các điểm M thuộc đồ thị (Cm) theo m sao cho tồn tại ít nhất một điểm N nằm trên (Cm) khác M thỏa mản tung độ của N bằng tung độ của M
Ở đây $M$ là điểm cực trị, N sẽ là giao điểm của $(Cm)$ với đường thằng qua $M$, $//$ với $Ox$
#333175 Giải PT:$7\cos^2{x}+37\sin^{28}{x}=37$
Đã gửi bởi vietfrog on 08-07-2012 - 15:43 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Lời giảiGiải phương trình: $7cos^{2}x+37sin^{28}x=37$
Cách này thì đặc trưng hàm số.
Đặt :\[a = {\sin ^2}x \Rightarrow a \in \left[ {0;1} \right]\]
Ta có PT :\[37{a^{14}} - 7a - 30 = 0\]
Xét: \[f\left( a \right) = 37{a^{14}} - 7a - 30/a \in \left[ {0;1} \right] \to f'\left( a \right) = 518.{a^{13}} - 7\]
Ta có: \[Maxf\left( a \right) = Max\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( {\sqrt[{13}]{{\frac{7}{{518}}}}} \right);f\left( 1 \right)} \right\} = f\left( 1 \right) = 0\]
Như vậy: \[f\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \]
#332999 Giải phương trình $27^{x^2}=(6x^2-4x+1)9^x$
Đã gửi bởi vietfrog on 07-07-2012 - 23:10 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Lời giảiĐể lại một bài.
Giải phương trình: $\frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = {3^{2x - {x^2}}}$
Dễ thấy x>0
Xét $x=1$ là nghiệm PT.
Xét $x>1$
Ta có:
\[\begin{array}{l}
VT = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x};f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right) = 3\\
VP = g\left( x \right) = {3^{2x - {x^2}}};g'\left( x \right) = 2\left( {1 - x} \right)\ln {3.3^{2x - {x^2}}} < 0 \Rightarrow g\left( x \right) < 3
\end{array}\]
PT vô nghiệm
Xét $0<x<1$ tương tự suy ra vô nghiệm.
Vậy $x=1$
#332978 Giải phương trình $27^{x^2}=(6x^2-4x+1)9^x$
Đã gửi bởi vietfrog on 07-07-2012 - 22:32 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Ta có: PT tương đương:Giải phương trình: $5^{x+1}=2.3^x$
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{3}} \right)^x} = \frac{2}{5}\\
\Leftrightarrow x = {\log _{\frac{5}{3}}}\left( {\frac{2}{5}} \right)
\end{array}\]
P/s: Kiên đang học PT mũ hả
#332952 Giải phương trình $27^{x^2}=(6x^2-4x+1)9^x$
Đã gửi bởi vietfrog on 07-07-2012 - 21:46 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Định lý Roll không được dùng khi thi ĐH. Nhưng hoàn toàn có thể chứng minh điều áp dụng trên bằng bảng biến thiên.nhận tiện đây anh có thể cho em link về định lí roll được không
p\s có spam không nhỉ
#332948 "Phao" cứu sinh cho Môn Ngữ Văn
Đã gửi bởi vietfrog on 07-07-2012 - 21:43 trong Các môn xã hội (Văn học, Địa lý, Lịch sử, GDCD)
#332945 Giải phương trình: $ \sqrt{2x+x+9} + \sqrt{2x-x+1} = x+4$
Đã gửi bởi vietfrog on 07-07-2012 - 21:38 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Lời giảiGiải phương trình: $ \sqrt{2x^2+x+9} + \sqrt{2x^2-x+1} = x+4$
Đặt \[\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + x + 9} = a;\sqrt {2{x^2} - x + 1} = b\\
\Rightarrow x + 4 = \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{b^2}
\end{array}\]
Ta có PT:
\[a + b = \frac{1}{2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a + b = 0\\
a - b = 2
\end{array} \right.\]
Đến đây quá đơn giản rồi.
#332940 Giải phương trình $27^{x^2}=(6x^2-4x+1)9^x$
Đã gửi bởi vietfrog on 07-07-2012 - 21:33 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài này làm thế này:Bài trên có thể dùng BĐT Bernoulli để cm mà em làm chưa ra =.=
Tiếp tục:... Giải phương trình $3.2^{x+2}-7x=17$
PT tương đương:
\[{3.2^{x + 2}} - 7x - 17 = 0\]
Xét:
\[\begin{array}{l}
f(x) = {12.2^x} - 7x - 17\\
\Rightarrow f'(x) = 12.\ln {2.2^x} - 7\\
f''(x) = 12.{\left( {\ln 2} \right)^2}{.2^x} > 0
\end{array}\]
Theo Định Lý Roll thì PT $f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm.
Vậy PT có 2 nghiệm $x=1;x=-2$
#332532 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối A, A1
Đã gửi bởi vietfrog on 06-07-2012 - 15:03 trong Thi TS ĐH
Đề Lý năm nay ''khoai'' hơn mà anh. Dài hơn và lừa nhiều hơn chút. .Thực ra cũng chả cần làm câu 6 ; cứ làm chắc 9 điểm thì cũng quá OK đậu rồi vì năm nay Lý-Hoá dễ. Làm cái câu 6 là một trò mang tính " Được ăn cả ngã về không"
Lứa 94 năm nay xem ra ngon lành hơn lứa MOD 93 thi ĐH cách đây 1 năm
Mà Vương thi trường gì thế
#332504 81 hệ phương trình
Đã gửi bởi vietfrog on 06-07-2012 - 12:53 trong Tài liệu tham khảo khác
Mình vẫn tải được mà bạn.sao không tải được vậy anh?
Em có câu nào thắc mắc cứ post lên đây luôn. Mọi người sẽ giải đáp giúp em!Toán hệ pt khó nhằn mà ko có hướng dẫn kĩ thì khó quá anh xusinst ơi
pt 1 giải thoát và pt 2 giải thoát là gì thế anh xusinst
tạo đồng bậc là như thế nào vậy
em lớp 11 rùi mà sao thấy ngu quá hic
- Diễn đàn Toán học
- → vietfrog nội dung