1.Cho x,y,z>0 thỏa: 4xy+2yz-zx=25. Tìm Min $P=\sqrt{\frac{x^2+4y^2}{z^2+4xy}}+\frac{2}{5}\sqrt{z^2+4xy}$

2. Cho x,y,z không âm thỏa mãn: $x^2+xy+yz=3zx$

Tìm min $P=\frac{x}{y+z}+\frac{16y}{z+x}+\frac{25z}{x+y}$

Cho a,b,c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=4$ .

Tìm MAX $a^{3}+b^{3}+c^{3}+4abc$

Biến đổi biểu thức về: $P=64-12(ab+bc+ca)+7abc$

Đặt c=max(a;b;c)

Xét A=$-12(ab+bc+ca)+7abc=ab(7c-12)+12c(c-4)$

Nếu $c\geq \frac{12}{7}$ thì:

$A\leq \frac{(a+b)^2}{4}.(7c-12)+12c(c-4)=\frac{1}{7}(c-2)(7c^2-6c+4)-46\leq -46\rightarrow dpcm$

Nếu $c\leq \frac{12}{7}$ thì

$a,b\leq \frac{12}{7}\Rightarrow (a-\frac{12}{7})(b-\frac{12}{7})\geq 0$

$\Rightarrow ab\geq \frac{12}{7}(b+c)-\frac{144}{49}$

$\Rightarrow A\leq \left [ \frac{12}{7}(4-c)-\frac{144}{49} \right ](7c-12)+12c(c-4)=-\frac{2304}{49}< -46$

$\rightarrow dpcm$

Bài toán 4:Với $a\geq 3, a+b\geq 5, a+b+c\geq 6$, chứng minh rằng

$a^2+b^2+c^2\geq 14$

 

bạn namsub nói đúng rồi đó

bài này có thể làm như sau:

áp dụng bdt cauchy-schwaz ta dc:

$(a^2+b^2+c^2)(3^2+2^2+1^2)\geq (3a+2b+c)^2$

theo phép nhóm abel ta có:

$3a+2b+c=(3-2)a+(2-1)(a+b)+a+b+c\geq 3+5+6=14$

ta có dc dpcm

Cho x,y,z là các số không âm thoả mãn $\sum x^2=2$. Chứng minh rằng:

$\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\leq \frac{3}{2}$

Bài này có lẽ dễ nhất    

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=a.a+b.b+c.c=(a-b).a+(b-c).(a+b)+c.(a+b+c)\geq 3(a-b)+5(b-c)+6c=a+(a+b)+(a+b+c)\geq 3+5+6=14 \Rightarrow đpcm$

bạn ko thể có đánh giá đó dc. a-b và b-c chưa biết dấu mà

Cho x,y,z không âm thỏa mãn $\sum x^2=1$. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{1-xy}\sqrt{1-yz}\geq 2$

Điều kiện tương đương với: $(a+b)^2=1+2ab$

Bất đẳng thức tương đương với:

$\frac{a+b}{ab}-\frac{1}{ab}\geq 2\left ( \sqrt{2}-1 \right )$

$\Leftrightarrow a+b\geq 2(\sqrt{2}-1)ab+1$

$\Leftrightarrow (a+b)^2\geq \left 4( \sqrt{2}-1 \right )\right ]^2(ab)^2+1+4\left ( \sqrt{2}-1 \right )ab+1$

$\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}$   (đúng theo am-gm)

Cho $a,b,c\geq 0$ và $\sum a=1$. Tìm max $a^6b+b^6c+c^6a$

Tìm $p,q$ nguyên tố thỏa mãn $p^3-q^7=p-q$

Giải pt:
$3x^3-9x+3+\sqrt{3x^4+3x^3+3}=0$

1. $P=[(2-x)^3+2][x^3+2]$
ta có $P'=0$=>$x=1,1-\sqrt{3},1+\sqrt{3}$
=>$MaxP=P(1+\sqrt{3})=P(1-\sqrt{3})$
=>$MinP=P(1)$

có cách nào ko dùng đạo hàm ko? mình chưa học tới đó. ko dc sử dụng

Áp dụng bdt A-G ta có: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
Do đó: $abc\geq 3\sqrt[3]{abc}+2\Leftrightarrow (\sqrt[3]{abc}+1)^{2}(\sqrt[3]{abc}-2)\geq 0\Leftrightarrow \sqrt[3]{abc}\geq 2\Leftrightarrow abc\geq 8$

1.Cho x,y là các số thực thay đổi sao cho $x+y=2$. Tìm max của $P=(x^{3}+2)(y^{3}+2)$

2.Cho x,y là các số thực thay đổi sao cho $x^2+y^2=2$. Tìm max và min của $P=2(x^{3}+y^{3})-3xy$
@Joker: - Nên sử dụng Latex bạn nhé, đặt dấu dola $ trong biểu thức toán học
- Không đặt tiêu đề quá dài bạn nhé.

1.Cho a,b,c,d,e thuộc [-1;1] và a+b+c+d+e=0. CMR:
$T=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\leq 4$

Câu I:
2) Tìm các cặp nguyên dương $(x;y)$ sao cho $x^2-2$ chia hết cho $xy+2$

-Ta có:
$xy+2|x^2-2$
$\Rightarrow xy+2|\left ( x^2-2\right )y=x^2y-2y=x(xy+2)-2(x+y)$
$xy+2|2(x+y)$
$\Rightarrow 0<xy<xy+2\leq 2x+2y\leq 4x$ (ko mất tính tổng quát gs $y\leq x$)
$0< y< 4\Rightarrow y=1,2,3$
-Đến đây dễ rồi

Để chọn đội tuyển thi olympic 30/4 bạn ạ!

Cho em spam nốt câu. Nhưng sao đã chọn từ đầu năm rồi?

Cho mình hỏi sao thi hsg sớm thế ạ?

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Với q=ab+bc+ca, r=abc. Chứng minh rằng:
$q^2+4qr\geq 9r^2+4r$

Giải các pt sau:
a)$\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-1}$
b)$\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{x}=3$
c)$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{-2x^2+3x-1}=\sqrt{3}$

Đề thi trận 1
Giải hệ phương trình trên tập hợp số thực :
$$\begin{cases}
& \text \sqrt[8]{2.\sqrt[5]{7} - \sqrt[10]{y}} + (17 - \sqrt{37}).z^2 = 544 - 32.\sqrt{37} (1) \\
& \text x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2}) + 4\sqrt{y} = 912 (2)\\
& \text \sqrt{(10.\sqrt{5} + 20).x.(1 - x)} + z.\sqrt[6]{8} = 10 (3)
\end{cases}$$

-ĐKXD:
$\left\{\begin{matrix}y\leq 50176 \\ 1-x^2\geq 0 \\ x(1-x)\geq 0 \end{matrix}\right.$
-Ta có:
*Xét $0\leq x$ (?) thì từ pt (2) ta có: $4\sqrt{y}\geq 912\Leftrightarrow y\geq 51984$ (trái dkxd)
*Xét $x>0$ ta có:
$x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})=9\sqrt{x^2+x^4}+13\sqrt{x^2-x^4}$
-Áp dụng bdt Cauchy-Shwarz và bdt phụ $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$ (với mọi ab) ta có:
$\left ( 9\sqrt{x^2+x^4}+13\sqrt{x^2-x^4} \right )^2=\left ( 3\sqrt{3}.\sqrt{3x^2+3x^4}+\sqrt{13}.\sqrt{13x^2-13x^4} \right )^2\leq (13+27)(3x^2+3x^4+13x^2-13x^4)=16.5x^2(8-5x^2)\leq 16.\frac{(5x^2+8-5x^2)^2}{4}=16^2$
-Do đó:
$x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})\leq 16$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
-Kết hợp với pt (2) ta có: $4\sqrt{y}\geq 896\Rightarrow y\geq 50176$
mà theo dkxd thì $y\leq 50176$ nên y=50176
-Từ đó: $x.(9.\sqrt{1 + x^2} + 13.\sqrt{1 - x^2})= 16$
$\Leftrightarrow x=\frac{2}{\sqrt{5}}$
-Thay y=50176 vào pt (1) ta tìm dc $z=\pm \sqrt{32}$
-Thử lại ta thấy $\left ( x;y;z \right )=\left ( \frac{2}{\sqrt{5}};50176;\sqrt{32} \right )$ là nghiệm của hpt
-Do vậy hệ có duy nhất 1 nghiệm là: $\left ( x;y;z \right )=\left ( \frac{2}{\sqrt{5}};50176;\sqrt{32} \right )$

p/s: ở cuộc thi trên diễn đàn pt, hệ pt toàn dùng bdt. liệu chủ đề này có phải là chủ đề bdt 2.0 ko nhỉ? Trá hình thôi.

Điểm bài: 10
S=48−(63−20)+3×10+0+0=35

Bài toán. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
x^{9999}+y^{9999}=1 & & \\
x^{10000}+y^{10000}=1& &
\end{matrix}\right.$$

-Từ pt (2) ta có nhận xét:
$\left\{\begin{matrix}0\leq |x|\leq 1 \\ 0\leq |y|\leq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2\leq 1 \\ y^2\leq 1 \end{matrix}\right.$
-Trừ vế với về pt(2) cho pt (1) ta có:
$x^{9998}(x^2-1)+y^{1998}(y^2-1)=0$
-Dễ thấy $VT\leq 0$. Dấu bằng xảy ra khi (x;y)=(0;1) ;(1,0)
-Từ đó ta có nghiệm của pt.

Bài 494
Bài làm
a, ta có :$ a^2 +b^2 \leq (a+b)^2 =4$
$ab \leq \frac{(a+b)^2}{4}=1$
$\Rightarrow ab(a^2+b^2) \leq 4 $
Vậy$ A_{Max} =4$
Dấu $=$ sảy ra $\leftrightarrow a=b=0$

-Bất đẳng thức đó là j` vậy.
-Bài này làm như sau:
Áp dụng bdt am-gm ta có:
$2ab(a^2+b^2)\leq \frac{(a^2+b^2+2ab)^2}{4}=\frac{(a+b)^4}{4}=4$

Chỗ này cũng khá nhiều bất đẳng thức của Vasile Cirtoaje, mình up lên đây cho những bạn chưa biết.

-cảm ơn nhiều

Cho các số thực dương $a;b;c$ tm $a+b+c=1$.tìm giá trị max của:$Q=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}-\frac{1}{4abc}$

-Áp dụng bdt Am-Gm ta có:
$\sum \frac{ab}{c+ab}=\sum \frac{ab}{c(a+b+c)+ab}=\sum \frac{ab}{(c+a)(b+c)}\leq \sum \frac{ab}{4c\sqrt{ab}}=\sum \frac{\sqrt{ab}}{4c}\leq \sum \frac{a+b}{8c}=\sum \frac{1-c}{8c}=\frac{1}{8}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )-\frac{3}{8}=\frac{ab+bc+ca}{8abc}-\frac{3}{8}\leq \frac{(a+b+c)^2}{24abc}-\frac{3}{8}=\frac{1}{24abc}-\frac{3}{8}$
$\Rightarrow Q\leq \frac{1}{12abc}-\frac{1}{4abc}-\frac{3}{8}=\frac{-5}{24abc}-\frac{3}{8}\leq \frac{-5.27}{24.(a+b+c)^3}-\frac{3}{8}=-6$
-Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Cho mình xin tài liệu về định lý con nhím và ứng dụng của nó,thật sự mình search mãi mà không down được,ai cho mình với(mình muốn down về tiện cho việc học )

-Mình có tài liệu này