Giải hệ phương trình 

$\left ( y^2+2y+x^2 \right )y'+2x=0,y(1)=0$

1/ $\left ( x+2 \right )\left ( x-2\sqrt{2x+5} \right )-9\leq \left ( x+2 \right )\left ( 3\sqrt{x^{2}+5}-x^{2}-12 \right )+\sqrt[3]{5x^{2}+7}$

Giải phương trình:

1/ $ x^{3}-4x^{2}-5x+6=\sqrt[3]{7x^{2}+9x-4}$

2/ $16x^{3}-24x^{2}+12x-3=\sqrt[3]{x}$

3/ $3^{x}=1+x+\log _{3}^{1+2x}$

4/ $-2x^{3}+10x^{2}-17x+8=2x^{2}\sqrt[3]{5x-x^{3}}$

5/ $\left ( 5x-6 \right )^{2}-\frac{1}{\sqrt{5x-7}}=x^{2}-\frac{1}{\sqrt{x-1}}$

6/ $x^{3}+3x^{2}+4x+2=\left ( 3x+2 \right )\sqrt{3x+1}$

7/ $2\sqrt[3]{2x-1}=27x^{3}-27x^{2}+13x-2$

8/ $4x^{2}+2\sqrt{3-4x}-7=-\left ( \frac{5-4x^{2}}{2} \right )^{2}$

vd1:

 $x^{2}-4x+3=\sqrt{x+5}$

$x=\sqrt[3]{\frac{1}{54}\left ( -61+3\sqrt{417} \right )}-\frac{2}{9\sqrt[3]{\frac{1}{54}(-61+3\sqrt{417})}}+\frac{4}{3}$

vd2:

 

$x^{4}-4x=1$

$x=\tan \left [ \frac{\pm\arccos \left ( \frac{2-\sqrt{2}}{2} \right ) }{2} \right ]+\frac{\Pi }{16}$

vd2:

$x^{4}-4x=1$

2.Chứng minh rằng: ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0  (1) ($a\neq 0$) có nghiệm biểu diễn được bằng căn thức:

Lời giải:

 ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 ($a\neq 0$) (1)

$\Leftrightarrow x^{4}+\left ( \frac{b}{a} \right )x^{3}+\left ( \frac{c}{a} \right )x^{2}+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$

$\left ( x^{2} \right )^{2}+2x^{2}\left ( \frac{b}{2a}x \right )+\left ( \frac{bx}{2a} \right )^{2}=\left ( \frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a} \right )x^{2}-\frac{d}{a}x-\frac{e}{a}$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\left ( \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \right )x^{2}-\frac{d}{a}x-\frac{e}{a}$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+\frac{b}{2a}x \right )^{2}+2\left ( x^{2}+\frac{b}{2a}x \right )\frac{y}{2}+\frac{y^{2}}{4}=\left ( x^{2} +\frac{b}{2a}x\right )y+\left ( \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \right )x^{2}-\frac{d}{a}x+\frac{y^{2}}{4}-\frac{e}{a}$

$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+\frac{b}{2a}+\frac{y}{2}\right )^{2}=x^{2}\left ( \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}+y \right )+x\left ( \frac{b}{2a}y-\frac{d}{a} \right )+\frac{y^{2}}{4}-\frac{e}{a}$

VP đưa được về dạng bình phương 

$\Leftrightarrow \Delta _{x}=-y^{3}+\left ( \frac{c}{a} \right )y^{2}+\left [ 4\left ( \frac{e}{a} \right )-\frac{bd}{a^{2}} \right ]y+\frac{b^{2}e+a\left ( d^{2} -4ec\right )}{a^{3}}=0$

Theo phần trên phương trình bậc 3 có nghiệm biểu diễn bằng căn thức nên phương trình (1) có nghiệm biểu diễn bằng căn thức (đpcm).

vd1:

 $x^{2}-4x+3=\sqrt{x+5}$

  SAU ĐÂY MÌNH XIN CHUYỂN SANG PHẦN PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ THAY ĐỔI KHÔNG KHÍ MONG MỌI NGƯỜI ỦNG HỘ. (CÓ CÁCH NÀO HAY CHIA SẺ NHA).

Trước tiên mình xin tóm tắt sơ lược 1 số dạng hay gặp 

1. Giải tổng quát phương trình bậc 3. (sưu tầm)

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0. (a\neq 0)$

-tách nhân tử

-chia cả 2 vế cho a  ta được phương trình sau.

X³+BX²+CX+D=0

Đặt $x=y-\frac{B}{3}$ đưa tiếp về dạng : y³-py=q  (1)

( Trong đó $p=\frac{B^{2}}{3}-C,q=-\frac{2B^{2}}{27}+\frac{BC}{3}-D$

Nếu p=0 thì (1)$\Leftrightarrow y^{3}=q\Leftrightarrow y=\sqrt[3]{q}$ (2)

Nếu p>0. Đặt $y=2\sqrt{\frac{p}{3}}t$ thì (1)$\Leftrightarrow 4t^{3}-3t=m$  ($m=\frac{3\sqrt{3}}{2p\sqrt{p}}$)

Xét $\left | m \right |\leq 1$, đặt $m=\cos \alpha$ thì (2) có 3 nghiệm phân biệt:

$t_{1}=\cos \frac{\alpha }{3},t_{2}=\cos \frac{\alpha +2\Pi }{3},t_{3}=\frac{\alpha -2\Pi }{3}$

Xét $\left | m \right |> 1$ đặt $m=\frac{1}{2}\left ( d^{3} +\frac{1}{d^{3}}\right )$

$\Rightarrow d^{3}=m\pm \sqrt{m^{2}-1}$

Phương trình (2) có 1 nghiệm :

$t=\frac{1}{2}\left ( d+\frac{1}{d} \right )=\frac{1}{2}\left ( \sqrt[3]{m+\sqrt{m^{2}+1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{m^{2}-1}} \right )$

Nếu p<0

Đặt $y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}t$ thì (1) $\Leftrightarrow 4t^{3}+3t=m \left ( 3 \right )$

Đặt $m=\frac{1}{2}\left ( k^{3}-\frac{1}{k^{3}} \right )\Rightarrow k^{3}=m\pm \sqrt{m^{2}+1}$

Phương trình (3) có 1 nghiệm

$t=\frac{1}{2}\left ( k-\frac{1}{k} \right )=\frac{1}{2}\left ( \sqrt[3]{m+\sqrt{m^{2}+1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{m^{2}+1}} \right )$

mem nào thay hay thì LIKE ủng hộ anh em!

TOPIC NÀY DÙNG TRAO ĐỔI CÁC CÁCH LÀM KHÁC NHAU CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH! MONG MỌI NGƯỜI ỦNG HỘ!

thế này là thế nào? con nào đây? bạn đăng rồi tự làm à? 

chỉ là trao đổi cách làm thôi mà bạn! 

Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=a & \\ x^{2}+y^{2}=b & \end{matrix}\right. \left ( a> 0, b\geq 0 \right )$

Thay vào (2) ta có: $3a^{3}-2ab=4\sqrt{2}a^{2}\sqrt{b}-4\sqrt{2}b\sqrt{b}$    

Vì a>0 phương trình $\Leftrightarrow 3-2\left ( \frac{\sqrt{b}}{a} \right )^{2}=4\sqrt{2}\frac{\sqrt{b}}{a}-4\sqrt{2}\left ( \frac{\sqrt{b}}{a} \right )^{3}$

Giải ra có 1 nghiệm thỏa mãn $a=\sqrt{2b}\Leftrightarrow x=y$

Thay x=y vào (1) ta có:

$\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6$  điều kiện $\left ( x\geq \frac{3}{2} \right )$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-3}-\sqrt{3}-\left ( \sqrt{x}-\sqrt{3}\right )=2\left ( x-3 \right )$

$\Leftrightarrow \frac{2x-6}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{3}}-\frac{x-3}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}=2\left ( x-3 \right )$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3 & \\ \frac{2}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{3}}=2+\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

Ta có $\frac{2}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{3}}\leq \frac{2}{\sqrt{3}}< 2\Rightarrow VT< VP$ nên phương trình vô nghiệm 

Vậy (x;y)=(3;3) là nghiệm duy nhất.

Điều kiện: $4x-8y-6\geq 0$

Từ (2): $\Delta _{x}=-2\left ( y^{2}+4y+1 \right )\geq 0 \Rightarrow y^{2}+4y+1\leq 0 \Leftrightarrow y\in \left [ -2-\sqrt{3} ;-2+\sqrt{3}\right ]$

          $\Delta _{y}=-2\left ( x^{2}-4x-2 \right )\geq 0 \Rightarrow x^{2}-4x-2\leq 0\Leftrightarrow x\in \left [ 2-\sqrt{6};2+\sqrt{6} \right ]$

 Thay $x^{2}=4x-8y-6-2y^{2}$ vào (1) ta có:

         (1)$\Leftrightarrow 2\left ( x-1 \right )^{2}+2\left ( x-1 \right )\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+1}=2\left ( y+2 \right )^{2}+2\left ( y+2 \right )\sqrt{\left ( y+2 \right )^{2}+1}$

         Xét hàm: $f\left ( a \right )=a^{2}+a\sqrt{a^{2}+1}$  với a $\geq 0$

                        $f'\left ( a \right )=2a+\sqrt{a+1}+\frac{a}{\sqrt{a+1}}> 0$

                        hàm f(a) đồng biến $\Rightarrow f\left ( x-1 \right )=f\left ( y+2 \right )$

                        hay  x=y+3.

                        Thay vào 2 ta có (x;y)=(0;-3); (8/3;-1/3)    (thỏa mãn điều kiện)

Đăng tiếp đi bạn, mấy bài này hay quá

Mình góp tí nhá:

$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2\left ( x-1 \right )\sqrt{x^{2}-2x+2}=2\left ( y+2 \right )\sqrt{y^{2}+4y+5} & & \\ x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2\left ( x-1 \right )\sqrt{x^{2}-2x+2}=2\left ( y+2 \right )\sqrt{y^{2}+4y+5} & & \\ x^{2}-4x-2=-2y^{2}-8y-8& & \end{matrix}\right.$

Lấy pt trên trừ pt dưới thì được:

$2(x-1)^{2}+2(x-1)\sqrt{(x-1)^{2}+1}=2(y+2)^{2}+2\left ( y+2 \right )\sqrt{(y+2)^{2}+1} \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(x-1)\sqrt{(x-1)^{2}+1}=(y+2)^{2}+\left ( y+2 \right )\sqrt{(y+2)^{2}+1}$

Tới đây chắc xét hàm ạ 

Tiếp nào:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}y+xy+2x-12y-24=0 & & \\ (x-y-2)(x^{2}+xy+y^{2}-3)=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}y+xy+2x-12y-24=0 & & \\ \begin{bmatrix} x=y+2 & & \\ x^{2}+y^{2}+xy-3=0 & & \end{bmatrix} & & \end{matrix}\right.$

Trường hợp x=y+2 thì đơn giản rồi.

Với trường hợp kia, ta xét pt $x^{2}+y^{2}+xy-3=0,\Delta =y^{2}-4(y^{2}-3)=-3(y^{2}-4)\geq 0\Leftrightarrow -2\leq y\leq 2$, tương tự thì $-2\leq x\leq 2$

Lại có:

$x^{2}y+xy+2x-12y-24=0\Rightarrow y=\frac{24-2x}{x^{2}+x-12}\Rightarrow -2\leq \frac{24-2x}{x^{2}+x-12}\leq 2$

Với x thuộc [-2;2] thì $x^{2}+x-12=(x-3)(x+4)<0$ nên bất đẳng thức trở thành:

$-2x^{2}-2x+24\geq 24-2x\Leftrightarrow x=0$ ( thuộc khoảng đang xét)

Từ đó có $y^{2}=3$ và y=-2, vô lí, vậy trường hợp này vô nghiệm 

$9. \left\{\begin{matrix} \left ( 1+4^{\left 2x-y \right } \right )5^{y-2x+1}=2^{2x-y+1}+1 & \\ y^{3}+4x+\ln \left ( y^{2}+2x\right )+1=0 & \end{matrix}\right$

$10. \left\{\begin{matrix} \left ( 23-3x \right )\sqrt{7-x}+\left ( 3y-20 \right )\sqrt{6-y}=0 & \\ \sqrt{2x+y+2}-\sqrt{2y-3x+8}+3x^{2}-14x-8=0 & \end{matrix}\right.$

$11. \left\{\begin{matrix} x^{6}-y^{3}+2x^{2}-9y^{2} -33=29y& \\ \sqrt{2x+3}+x=y & \end{matrix}\right.$

$12. \left\{\begin{matrix} x^{11}+xy^{10}=y^{22}+y^{12} & \\ \sqrt{x+y}+3\sqrt{x+3y+19}=105-y^{3}-xy & \end{matrix}\right.$

$13. \left\{\begin{matrix} \left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right )\left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1 & \\ x\sqrt{6x-2xy+1}=4xy+6x+1 & \end{matrix}\right.$

$14. \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y+1} +\sqrt[3]{x+y}=5& \\ \sqrt{x^{2}+xy+4}+\sqrt{y^{2}+xy+4}=12 & \end{matrix}\right.$

$15. \left\{\begin{matrix} 2-\sqrt{x^{2}y^{4}+2xy^{2}-y^{4}+1}=2\left ( 3-\sqrt{2}-x \right )y^{2} & \\ \sqrt{x-y}+x=3 & \end{matrix}\right.$

$7.\left\{\begin{matrix} 2^{x}-2^{y}=y^{3}-x^{3} & \\ y^{4}-4x+2^{xy-2x+4}=5 & \end{matrix}\right.$

$8. \left\{\begin{matrix} \log _{3}^{2x+1}-\log _{3}^{x-y}+1=\sqrt{4x^{2}+4x+2}-\sqrt{\left ( x-y \right )^{2}+1}+\left ( x+y \right )^{2}-4x\left ( x+1 \right ) & \\ \log _{3}^{-2y-2}+4x^{2}-\sqrt{4x^{2}+1}=1-\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

HI VỌNG MỌI NGƯỜI CÓ  LỜI GIẢI HAY CHO NHỮNG BÀI HỆ TRÊN ĐỂ ANH EM CÙNG HỌC HỎI!

MÌNH XIN POST TIẾP  NHÉ!

Giải hệ phương trình

1. $\left\{\begin{matrix} 9y^{4} +24y^{3}-xy^{2}+7y^{2}=16-x+24y& \\ 8y^{3}+9y^{2}+20y-\sqrt[3]{6y+1}+15=x& \end{matrix}\right. x;y \in \mathbb{R}$

2. $\left\{\begin{matrix} x^{2}y+xy+2x-12y-24=0 & \\ x^{3}-y^{3} =2\left ( x^{2}+y^{2}+xy \right )+3\left ( x-y-2 \right )& \end{matrix}\right. x;y\in \mathbb{R}$

3. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-3}-\sqrt{y}=2x-6 & \\ x^{3}+y^{3}+7\left ( x+y \right )xy=8xy\sqrt{2\left ( x^{2}+y^{2} \right )} & \end{matrix}\right. x,y\in \mathbb{R}$

4. $\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2\left ( x-1 \right )\sqrt{x^{2}-2x+2}=2\left ( y+2 \right )\sqrt{y^{2}+4y+5} & \\ x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6& \end{matrix}\right. x,y \in \mathbb{R}$

5. $\left\{\begin{matrix} x^{3}-3x^{2}-9x+22=y^{3}+3y^{2}-9y & \\ x^{2}+y^{2}-x+y=\frac{1}{2}& \end{matrix}\right. x,y\in \mathbb{R}$

6. $\left\{\begin{matrix} 8x^{3}+2y=\sqrt{5x+y+2} & \\ \left ( 3x+\sqrt{1+9x^{2}} \right )\left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1 & \end{matrix}\right.$

----------------------

Mod: Chú ý cách đăng bài, cùng nội dung thì để trong cùng một bài viết. Sử dụng chức năng xem trước trước khi đăng bài để kiểm tra lỗi.

TOÁN HỌC TUỔI TRẺ 
\left\{\begin{matrix}
\sqrt{2x-3} -\sqrt{y}=2x-6& & \\ x^{3}+y^{3}+7\left ( x+y \right )xy=8xy\sqrt{2\left ( x^{2} +y^{2}\right )}
& &
\end{matrix}\right. x,y \in R

Tìm f(x) thỏa mãn: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ đồng thời 2 điều kiện sau

 (1) $f(x) =\sqrt{\frac{x}{3}}+2017, \forall x\in \left [ 0;3 \right )$ 

 (2) $f(x+3)=4f(x)-6, \forall x \in \mathbb{R}.$

Cho ba số thực dương x,y,x thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx=6$

Tìm giá trị lớn nhất của

A=$\frac{x^{5}}{y^{3}}+\frac{y^{5}}{z^{3}}+\frac{z^{5}}{x^{3}}-12ln\left ( x+y+z \right )-\frac{22}{x+y+z}+\frac{6}{xy+yz+zx}$

Chú ý tiêu đề

phương trình trên hay nhưng dưới còn hay hơn!