$A(a;0), B(0;b)$ $a,b> 0$

Phương trình đường thẳng $AB$:

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ $

$M$ thuộc $AB$: 

$$\frac{9}{a}+\frac{4}{b}=1$$

a) $$\frac{9}{a}+\frac{4}{b}\geq \frac{12}{ab}$$

b) $$(a+b)\left ( \frac{9}{a}+\frac{4}{b} \right )\geq 5^{2}$$

Đến đây rồi làm sao nữa bạn

• $xy=1$ thế vào pt còn lại đưa về phương trình bậc bốn: $y^{4}-2y^{2}+1=0$
• $x^{2}+2^{2}=2 (3)$ Nhân hai về của (3) với 2y rồi lấy pt đầu của hệ trừ vế theo vế ta được: $(x-y)(3xy-y^{2}-2)=0$ 

Giải phương trình:

$2^{x+1}-4^{x}=x-1$

Khảo sát tính hội tụ của dãy số sau:

$x_1=\frac{1}{2};x_{n+1}=(1-x_n)^2$

Chứng minh các dãy số sau hội tụ và tìm giới hạn của chúng:

1. $x_1=a (a> -1); x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}$

2. $x_1> 0; x_{n+1}=\frac{a}{x_n}+b (a,b> 0)$

Giải các phương trình sau: 

1. $-x^{2}+3x+\sqrt[4]{2-x^{4}}-3=0$

2. $2x^{2}+\sqrt{1-x}+2x\sqrt{1-x^{2}}=1$

Cho $x,y,z> 0$ và $x+y+z=3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P=\frac{x}{x^{2}+4y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{y^{2}+4z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{z^{2}+4x^{2}+y^{2}}$$

Giải phương trình: $8x^{2}-8x+3=8x\sqrt{2x^{2}-3x+1}$

 Phương trình đã cho tương đương với:

$8x^{2}-12x+4+4x-1=4x\sqrt{8x^{2}-12x+4}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{8x^{2}-12x+4}-4x+1)(\sqrt{8x^{2}-12x+4}-1)=0$

$\Leftrightarrow ...$

Tập nghiệm: $S=\left \{ \frac{-1+\sqrt{7}}{4} ;\frac{3\pm \sqrt{3}}{4}\right \}$

Giải pt:

$2007^{x}+2007^{x^{2}}=2006^{x}+2008^{x^{2}}$

1. Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh:

$\sum a^{2}b^{2}(a-b)^{2}\geq (a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}$

2. Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh:

$\sum \frac{a^{2}}{b}+\frac{81}{4}\sum \frac{a^{2}b}{(2a+b)^{2}}\geq \frac{13}{4}(a+b+c)$

Cách khác:

ĐK: $x\geq -1; y\geq 1$

Hệ đã cho tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x-y+2}{\sqrt{x+1}-\sqrt{y-1}}=4 & \\ \frac{x-y+2}{\sqrt{x+6}-\sqrt{y+4}}=6 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2\left ( \sqrt{x+1} -\sqrt{y-1}\right )=3\left ( \sqrt{x+6} -\sqrt{y+4}\right )$

$\Rightarrow 2\left ( \sqrt{x+1} -(4-\sqrt{x+1})\right )=3\left ( \sqrt{x+6} -(6-\sqrt{x+6})\right )$

$\Rightarrow 2\sqrt{x+1}+5=3\sqrt{x+6}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=3\Rightarrow y=5$

Tính các tích phân:

1. $I_1=\int_{0}^{1}\frac{xe^{x}}{(x+1)^{2}}dx$

2. $I_2=\int_{0}^{2}\frac{x^{2}e^{x}}{(x+2)^{2}}dx$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \ln \sqrt{x} -\ln \sqrt{y}=\frac{1}{2}(xy+1)(y-x)& \\ x^{2}+y^{2}=1 & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:

$(x+1)\ln (x+2)-2x=0$

Tính nguyên hàm sau 

            $I=\int \frac{(2x^3+1)dx}{\sqrt[3]{(x^3+1)^2}}$

$I_4=\int \frac{2(x^{3}+1)-1}{\sqrt[3]{(x^{3}+1)^{2}}}dx= 2\int \sqrt[3]{x^{3}+1}dx-\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x^{3}+1})^{2}}$

Đặt $t=\sqrt[3]{x^{3}+1}$ thì $dt=\frac{dx}{3\sqrt[3]{(x^{3}+1)^{2}}}=\frac{dx}{3t^{2}}$

$\Rightarrow I=2\int t.3t^{2}dt-3\int dt= \frac{3}{2}t^{4}-3t+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{(x^{3}+1)^{4}}-3\sqrt[3]{x^{3}+1}+C$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{sinxdx}{5sinx.cos^{2}x+2cosx}$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan xdx}{5\sin x\cos x+2}= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan xdx}{\frac{5}{2}\sin 2x+2}$

Đặt $t=\tan x$ thì $dt=\frac{dx}{\cos ^{2}x}\Rightarrow dx=\frac{dt}{t^{2}+1}$

Khi $x=0$ thì $t=0$, khi $x=\frac{\pi}{4}$ thì $t=1$

Mặt khác: $\sin 2x=\frac{2t}{t^{2}+1}$

Do đó:

$I=\int_{0}^{1}\frac{tdt}{(t^{2}+1)\left ( \frac{5t}{t^{2}+1} +2\right )}= \int_{0}^{1}\frac{tdt}{2t^{2}+5t+2}$

$=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{4t+5-5}{2t^{2}+5t+2}dt=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\frac{d\left ( 2t^{2} +5t+2\right )}{2t^{2}+5t+2}-\frac{5}{4}\int_{0}^{1}\frac{dt}{2t^{2}+5t+2}=...=\frac{1}{4}\ln 9-\frac{1}{4}\ln 2+\frac{5}{12}\ln \frac{1}{2}$

Tìm nguyên hàm $I=\int \frac{\sin x \cos 2x}{\cos 5x}dx$

$I=\frac{1}{4}\int \frac{2\sin x\cos x\cos 2xd\left ( 2x \right )}{\cos x\cos 5x}= \frac{1}{2}\int\frac{\sin 2x\cos 2xd\left ( 2x \right )}{\cos 4x+\cos 6x}= -\frac{1}{2}\int \frac{\cos 2xd\left ( \cos 2x \right )}{2\cos ^{2}x-1+4\cos ^{3}2x-3\cos 2x}$

Đặt $t=\cos 2x$ thì:

$I=-\frac{1}{2}\int \frac{tdt}{4t^{3}+2t^{2}-3t-1}=-\frac{1}{8}\int \left ( -\frac{4}{5} . \frac{dt}{t+1}+\frac{2}{5}\frac{dt}{t-\frac{1+\sqrt{5}}{4}}+ \frac{2}{5}\frac{dt}{t-\frac{1-\sqrt{5}}{4}}\right )$

$=\frac{1}{10}\ln \left | t+1 \right |-\frac{1}{20}\ln \left ( t^{2}+\frac{1}{2} t+\frac{1}{4}\right )+C= \frac{1}{10}\ln \left | \cos 2x+1 \right |-\frac{1}{20}\ln \left ( \cos ^{2} 2x+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}\right )+C$

Tính nguyên hàm sau:

$I=\int x\tan^{2} xdx$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\sqrt{\frac{ab}{(1-a)(1-b)}}+\sqrt{\frac{bc}{(1-b)(1-c)}}+\sqrt{\frac{ca}{(1-c)(1-a)}}\leq \frac{3}{2}$$

$M(-1-t;1+t;5+t)$

$\Rightarrow MA=\sqrt{3t^{2}+12t+26}$

$MB=\sqrt{3t^{2}+20t+36}$

$\Rightarrow MA+MB=\sqrt{3}\left ( \sqrt{(-t-2)^{2}+\frac{14}{3}}+ \sqrt{(t+\frac{10}{3})^{2}+\frac{8}{9}}\right )$

Sử dụng bất đẳng thức: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq\sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

Ta được

$MA+MB=\sqrt{3}\left ( \sqrt{(-t-2)^{2}+\frac{14}{3}}+ \sqrt{(t+\frac{10}{3})^{2}+\frac{8}{9}}\right )$$\geq \sqrt{3}.\sqrt{(-t-2+t+\frac{10}{3})^{2}+(\sqrt{\frac{14}{2}}+^{2}\sqrt{\frac{8}{9}})}= \sqrt{3}.\frac{\sqrt{66+8\sqrt{21}}}{3}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Leftrightarrow t=...\Rightarrow M =...$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương sao cho $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{xy+x}+\frac{1}{yz+y}+\frac{1}{zx+z}$

Tính các nguyên hàm sau:

1. $I_1=\int \frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}dx$

2. $I_2=\int \frac{dx}{\sin ^{3}x\cos ^{3}x}$

3. $I_3=\int \frac{2\cos x-3\sin x}{2\sin x-3\cos x+1}dx$

Hè Hè cách khác nè anh SOYA264  :

ĐK: $x,y\neq 0$

Phương trình đã cho tương đương với:

$$\left\{\begin{matrix} 10+\frac{2x+3y}{xy} =2x+2y& \\ 124-\frac{4x^{2}+9y^{2}}{x^{2}y^{2}}=4x^{2}+9y^{2} & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-\frac{3}{x})+(3y-\frac{2}{y})=10 & \\ (4x^{2}+\frac{9}{x^{2}})+(9y^{2}+\frac{4}{y^{2}})=124 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-\frac{3}{x})+(3y-\frac{2}{y})=10 & \\ (2x-\frac{3}{x})^{2}+(3y-\frac{2}{y})^{2}=100 & \end{matrix}\right.$$

Đặt $a=2x-\frac{3}{x}; b=3y-\frac{2}{y}$

Hệ trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} a+b=10 & \\ a^{2}+b^{2}=100 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=10 & \\ ab=0 & \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=10 & \\ b=0 & \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} a=0 & \\ b=10 & \end{matrix}\right.$$

Giải ra được nghiệm:

$$(\frac{5\pm \sqrt{21}}{2},\pm \frac{\sqrt{6}}{3});(\pm \frac{\sqrt{6}}{3};\frac{5\pm \sqrt{21}}{2})$$

Đề bài là tìm gía trị lớn nhất, mình nhầm một chút. Đã sửa lại.