1) Thời gian xếp hàng chờ mua vé đường của một chiếc xe ô tô tại một trạm thu lệ phí đường bộ là một biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm F(x) như sau:

 

$F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & & (x\leq 0)\\ kx^{2}+\frac{2}{3}x & &(0< x\leq 3) \\ 1 & & x> 3 \end{matrix}\right.$

 

Tìm hệ số k để f là hàm phân phối xác suất(Bài này mình sử dụng tính chất nhưng vẫn chưa tìm được ra k cụ thể để làm tiếp các phần sau, mọi người giúp mình với)

 

2) Theo tài liệu thống kê về tai nạn giao thông ở môt khu vực thì người ta thấy tỉ lệ x máy bị tai nạn là 0,0055. Một công ty bảo hiểm đề nghị tất cả các chủ xe phải mua bảo hiểm xe máy với số tiền là 30000 đông/1 xe/ 1 năm. và số tiền bảo hiểm trung bình cho một vụ tai nạn là 3 triệu đồng. Hỏi lợi nhuận thu được đối với mỗi hợp đồng Bh là bao nhiêu. (Biết chi phí cho quản lý và các chi phí khác chiếm 30% số tiền bán bảo hiểm

Bài này thiếu dữ kiện là nó có xung khắc hay ko?

bài này đề ladf như vậy cậu ạ. Dữ kiện chỉ có như vậy thôi.

Tính tích phân 

$$I=\int_{1}^{2}\frac{ln[(x+1)^{x+1}(x+2)^{x+2}]}{(x+1)(x+2)}dx$$

Theo chị thì chắc là như này, không biết chuẩn không

 

$I=\int_{1}^{2}\frac{(x+1)ln(x+1)+(x+2)ln(x+2)}{(x+1)(x+2)}dx$

 

$=\int_{1}^{2}\frac{ln(x+1)}{x+2}dx+\int_{1}^{2}\frac{ln(x+2)}{x+1}dx$

 

$=ln4.ln3-ln3.ln2-\int_{1}^{2}\frac{ln(x+2)}{x+1}dx+\int_{1}^{2}\frac{ln(x+2)}{x+1}dx=ln3.ln2$

$1)$

Theo các dữ kiện của đề bài :

Tỷ lệ hs chỉ học đúng 2 thứ tiếng Anh và Đức (không học tiếng Pháp) là $15$% $-5$%$=10$% $\Rightarrow$ đáp án câu $a$ là $\frac{10%}{100%}=0,1$

Tỷ lệ hs chỉ học tiếng Pháp là $40$%$-(20$%$+10$%$)+5$%$=15$% $\Rightarrow$ đáp án câu $b$ là $\frac{15%}{100%}=0,15$

Tỷ lệ hs học cả tiếng Anh và tiếng Pháp là $20$% ; tỷ lệ hs học tiếng Anh là $50$% $\Rightarrow$ đáp án câu $c$ là $\frac{20%}{50%}=0,4$

 

$2)$

$a)$

Gọi $T_{1}$ là biến cố quả thứ nhất là trắng, $D_{1}$ là biến cố quả thứ nhất là đen $P(T_{1})=\frac{a}{a+b}$ ; $P(D_{1})=\frac{b}{a+b}$

$T_{2}$ là biến cố quả thứ hai là trắng.

XS cần tính là $P(T_{2})=P(T_{2}/T_{1})+P(T_{2}/D_{1})=\frac{a}{a+b}.\frac{a-1}{a+b-1}+\frac{b}{a+b}.\frac{a}{a+b-1}=\frac{a}{a+b}$

 

$b)$

Quả nào cũng có thể là quả cuối (nghe giống câu "Ngày nào cũng có thể là ngày cuối" trong phim ấy nhỉ  )

$\Rightarrow$ đáp án câu $b$ là $\frac{a}{a+b}$ (câu $a$ cũng có thể lập luận kiểu này và có cùng đáp án)

 

$3)$

Số cách chọn nhóm $3$ chữ số cuối sao cho chúng khác nhau từng đôi một là $A_{10}^{3}=720$ $\Rightarrow$ XS cần tính là $\frac{1}{720}$

(Người nào không nhớ số điện thoại của bạn mà dám gọi vậy, đúng là vui tính thật  )

 

$4)$

Cách 1 :

Xếp ngẫu nhiên $6$ chữ cái : $6!=720$ cách

Nhưng vì trong đó có $2$ cặp chữ cái giống nhau nên số cách thực sự là $\frac{720}{2^2}=180$ ---> XS cần tính là $\frac{1}{180}$

Cách 2 :

Để xếp được chữ NGHÊNH, em ấy (chưa biết chữ) phải thực hiện $6$ bước : chọn N vào vị trí 1 (tính từ bên trái); chọn G vào vị trí 2; chọn H vào vị trí 3; ... ; chọn H vào vị trí 6.

XS thực hiện đúng từng bước theo thứ tự là $\frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{5}$ ; $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{2}$ ; $1$ $\Rightarrow$ XS cần tính là $\frac{1}{3}.\frac{1}{5}.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.1=\frac{1}{180}$

 

$5)$

Gọi $A$ là biến cố các tập đc xếp theo thứ tự (từ left sang phải hoặc từ right sang trái) ---> $n(A)=2$ ---> XS cần tính là $\frac{2}{12!}$

 

$6)$

Gọi $B$ là biến cố tổng số chấm là $n+1$

$B$ xảy ra khi có $1$ xúc sắc xuất hiện mặt $2$ và $n-1$ xúc sắc kia xuất hiện mặt $1$ ---> $n(B)=C_{n}^{1}=n$

---> XS cần tính là $\frac{n}{6^n}$

MÌNH CẢM ƠN BẠN NHIỀU NHÉ

Mọi người giúp mình mấy bài này với (còn sót lại trong 25 bài tập được giao về nhà của mình). Mình đang cần gấp. Rất mong nhận được phản hồi sớm từ mọi người. (Thứ 4 tới phải làm đủ 25 bài để nộp thầy mà giờ vẫn còn lại mấy bài này chưa nghĩ ra --- ai giỏi xác suất thì giúp mình với nhé. Cảm ơn mọi người)

 

1) Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy I là 2% và của nhà máy II là 1%. Trong một lô sản phẩm gồm 60% sản phẩm của nhà máy I và 40% sản phẩm của nhà máy II. Người ta lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm để kiểm tra.

Giả sử trong 2 sản phẩm lấy ra kiểm tra đều là chính phẩm thì khả năng lấy tiếp ra 2 sản phẩm tốt nữa là bao nhiêu? (Giả thiết rằng trong lô có rất nhiều sản phẩm)

 

2) Một chiếc máy có 3 bộ phận. Xác suất hỏng của các bộ phận trong thời gian làm việc chỉ được cho biết ở 3 mức là 0,2; 0,3 và 0,4. Cuối ngatf làm việc phân xưởng đc thông báo là trong thời gian làm việc có 2 bộ phận bị hỏng. 

a) Tính số trạng thái bị hỏng ở các mức độ khác nhau của ba bộ phận đó.

b) Chọn một trạng thái hỏng của 3 bộ phận đó và tính xác suất để hai bộ phận bị hỏng đó là bộ phận 1 và 2.

 

3) Có 4 lô sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm tương ứng là 10%, 8%, 10%, 15%. Chọn ngẫu nhiên ra một lô, từ đó lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm và thấy đó là phế phẩm

a) Tính xác suất để sản phẩm đó là của loại lô có 10% phế phẩm

b) Nếu đem trả lại sản phẩm đó vào lô vừa được lấy ra nó, lại rút ngẫu nhiên một lần nữa ra một sản phẩm từ lô đó thì lại thấy đó là phế phẩm. Khả năng phế phẩm lần này của lô 2 bằng bao nhiêu?

 c) Giả sử ta lại trả lại sản phẩm đã lấy ra vào chính lô hàng mà ta đã lấy ra nó, sau đó lại lấy ngẫu nhiên ra 1 lô và lại từ lô này lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Khả năng lần này lại lấy đc sản phẩm là phế phẩm bằng bao nhiêu

 

4) Để thi nâng bậc, mỗi công nhân phải bốc thăm một trong 3 loại sản phẩm để gia công và phải gia công đc 3 sản phẩm đó trong một khoảng thời gian qui định. Giả sử một người công nhân tham gia thi nâng bậc lương do trình độ tay nghể, nên mức độ thành thạo khi gia công 3 loại sản phẩm trên là khác nhau, cụ thể tỉ lệ gia công được sản phẩm đạt tiêu chuân tương ứng với từng loại sản hẩm trong 3 sản phẩm đó lần lượt là 0,86; 0,92;0,97 và không đổi. Sau khi thi được biết kết quả là người công nhân đó đã đỗ. Tính xác suất để người công nhân đó đã chọn được đúng loại sản phẩm mà anh ta có khả năng gia công thành thạo nhất.? Biết rằng để thi đỗ thì các sản phẩm phải gia công trong khi thi đều phải là sản phẩm đạt tiêu chuẩn

 

Bài này mình làm nhưng ko ra giống kết quả trong sách. Mọi người giúp mình với.
1. Một lớp sinh viên có 50% học tiếng anh, 40% học tiếng pháp, 30% học tiếng đức, 20% học tiếng anh và pháp, 15% học cả tiếng anh và đức, 10% học tiếng pháp và đức, 5% học cả 3 thứ tiếng. Tìm xác xuất để lấy ngẫu nhiên 1 sinh viên thì:
a) chỉ có sinh viên học tiếng anh và tiếng đức.
b) chỉ có sinh viên học tiếng pháp.
c) học tiếng pháp biết rằng người đó học tiếng anh.
( đáp số lần lượt là: 0.1, 0.15, 0.4)

2. Có a quả cầu trắng và b quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng quả cầu. Tìm xác suất để:
A) quả cầu thứ hai là trắng.
B) quả cầu cuối cùng là trắng.

3. Một người gọi điện thoại cho bạn nhưng quên mất 3 chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng khác nhau. Tìm xác suất để người đó quay số 1 lần đc đúng số điện thoại.

4) một nhi đồng tập xếp chữ. Em có các chữ N,Ê,H,G,H,N. Tìm xác suất để em đó trong khi sắp xếp ngẫu nhiên đc chữ NGHÊNH.

5) trên giá sách có xếp ngẫu nhiên 1 tuyển tập của tác giả X gồm 12 cuốn. Tìm xác suất để các tập đc xếp theo thứ tự từ trái sang phải hoặc từ phải sang trái.

6) gieo n con xúc xắc đối xứng và đồng chất. Tìm xác suất để đc tổng số chấm là n+1.

Bài này tuy nghiệm "xấu" nhưng vẫn có thể "làm đến cùng" !

Đặt $t=x^2\Rightarrow I=\int \frac{t^2-3}{2t\left ( t+1 \right )\left ( t^3-t^2+t+2 \right )}dt$

Đặt $\frac{t^2-3}{2t\left ( t+1 \right )\left ( t^3-t^2+t+2 \right )}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct^2+Dt+E}{t^3-t^2+t+2}$

Dùng phương pháp đồng nhất hệ số $\Rightarrow A=-\frac{3}{4}$ ; $B=\frac{7}{2}$ ; $C=-\frac{11}{4}$ ; $D=\frac{25}{4}$ ; $E=-7$

Đặt $P(t)=t^3-t^2+t+2$.Đa thức $P(t)$ có $1$ nghiệm thực duy nhất, gọi nghiệm thực đó là $\alpha$.Khi đó ta có :

$t^3-t^2+t+2=\left ( t-\alpha \right )\left ( t^2+Jt+K \right )=\left ( t-\alpha \right )\left [ t^2+\left ( \alpha -1 \right )t-\frac{2}{\alpha } \right ]$ (với $J=\alpha -1$ và $K=-\frac{2}{\alpha }$)

Đặt $\frac{Ct^2+Dt+E}{t^3-t^2+t+2}=\frac{F}{t-\alpha }+\frac{Gt+H}{t^2+Jt+K}$

Dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta được $F=\frac{-11\alpha ^3+25\alpha ^2-28\alpha }{8\alpha ^3-4\alpha ^2-8}$ ; $G=\frac{-11\alpha ^3-14\alpha ^2+28\alpha +22}{8\alpha ^3-4\alpha ^2-8}$ ; $H=\frac{28\alpha ^2-3\alpha -25}{4\alpha ^3-2\alpha ^2-4}$

Ta có $\int \frac{Gt+H}{t^2+Jt+K}dt=\int \frac{\frac{G}{2}\left ( 2t+J \right )+H-\frac{GJ}{2}}{t^2+Jt+K}dt=\frac{G}{2}\ln\left | t^2+Jt+K \right |+\left ( H-\frac{GJ}{2} \right )\int \frac{d\left ( t+\frac{J}{2} \right )}{\left ( t+\frac{J}{2} \right )^2+\left ( K-\frac{J^2}{4} \right )}=\frac{G}{2}\ln\left ( t^2+Jt+K \right )+\frac{2H-GJ}{\sqrt{4K-J^2}}\arctan\frac{2t+J}{\sqrt{4K-J^2}}+L$

Trong đó $L$ là hằng số tùy ý và lưu ý rằng vì tam thức $t^2+Jt+K$ vô nghiệm nên $t^2+Jt+K> 0,\forall t$ và $4K-J^2> 0$

Như vậy, thay các giá trị của $A,B,...,G,H,J,K$ và rút gọn, ta có :

$I=-\frac{3}{4}\ln x^2+\frac{7}{2}\ln \left ( x^2+1 \right )-\frac{11\alpha ^3-25\alpha ^2+28\alpha }{8\alpha ^3-4\alpha ^2-8}\ln\left ( x^2-\alpha \right )-\frac{11\alpha ^3+14\alpha ^2-28\alpha -22}{16\alpha ^3-8\alpha ^2-16}\ln\left [ x^4+\left ( \alpha -1 \right )x^2-\frac{2}{\alpha } \right ]+\frac{\left ( \alpha -1 \right )\left ( 11\alpha ^3+14\alpha ^2+84\alpha +78 \right )}{\left ( 8\alpha ^3-4\alpha ^2-8 \right )\sqrt{-\frac{8}{\alpha }-\left ( \alpha -1 \right )^2}}\arctan\frac{2x^2+\alpha -1}{\sqrt{-\frac{8}{\alpha }-\left ( \alpha -1 \right )^2}}+L$

Trong đó $L$ là hằng số tùy ý và $\alpha$ là nghiệm thực duy nhất của $P(t)$ có giá trị là :

$\alpha =\frac{1}{6}\left ( \sqrt[3]{-244+\sqrt{60048}}+\sqrt[3]{-244-\sqrt{60048}}+2 \right )$

(lưu ý $\alpha$ là số âm)

Chỗ này mình  không hiểu. Sao lại đặt được $J=\alpha-1$ và $K=-\frac{2}{\alpha }$

Bạn an tâm vì chương trình chỉ ra những bài có kết quả số đẹp thôi, tức là phân tích mẫu sẽ có nghiệm đẹp, có thể dùng máy tính casio để giải ra 1 nghiệm hoặc tự đoán nghiệm, rồi chia đa thức để tách ra thành nhân tử. Từ đó tách phân thức ban đầu thành ra các phân thức con (dạng của chúng như đã nói ở trên rồi). Việc tìm ra các hệ số của các tử thì chỉ có 1 cách duy nhất là dùng đồng nhất thức. Nhưng mà dùng đồng nhất thức kiểu cải tiến nhé.

Ví dụ :

$\frac{x+2}{x(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$

$\Leftrightarrow x+2\equiv A(x-1)(x^2+1)+Bx(x^2+1)+(Cx+D)x(x-1)$

Đến đây không cần khai triển, cứ để nguyên, rồi thay các giá trị $x$ thích hợp (là các nghiệm triệt tiêu) để tìm ra $A,B,C,D$.

Thay $x=0\Rightarrow 2=-A$

Thay $x=1\Rightarrow 3=2B\Rightarrow B=\frac{3}{2}$

Thay thêm 2 giá trị $x$ nữa để được hpt 2 ần $C,D$ rồi dùng máy tính để giải.

 

Giải pt bậc 2 dùng $\Delta$, bậc 4 thì đặt ẩn phụ luôn đưa được về dạng trùng phương.

Còn PP Cardano (tương tực $\Delta$ pt bậc 2) là để khi giải pt bậc 3 nghiệm xấu (có chứa căn 3 nên đoán ko ra).

Từ bậc 5 trở lên thì ko có công thức nghiệm. Chỉ có thể đoán nghệm, hoặc khảo sát hàm số để biết có nghiệm hay ko thôi, và có bao nhiêu nghiệm.

Chú ý : pt bậc lẻ thì luôn luôn có nghiệm nhé ! (ko biết đẹp hay xấu thôi). Nhưng máy tính Casio luôn tìm giúp được 1 nghiệm

 

Phương pháp hệ số bất định này mình cũng làm nhiều khi còn ở cấp 3 rồi. Phương pháp carnado mình cũng đã tham khảo khi còn học cấp 3 nhưng thấy khó nhớ mà các thầy cô toàn bảo là chưa đc sử dụng. Nhưng dù sao vẫn cảm ơn bạn nhiều nhé.

$\frac{t^2-3}{t(t+1)(t^3-t^2+t+2)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct^2+Dt+E}{t^3-t^2+t+2}$

Dùng pp đồng nhất để tìm $A,B,C,D$.

 

Còn cái mẫu $t^3-t^2+t+2$ dùng pp Cardano giải pt bậc 3 (mời search Google biết thêm chi tiết) để tách thành bậc 1 (nghiệm thực có căn bậc 3) và bậc 2 (VN thực).

Nói chung bài này thuộc dạng tích phân hàm phân thức, ta phân tách thành các phân thức con có mẫu là các nhân tử của mẫu thức ban đầu.

Các mẫu thức con đó có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu là 1 bậc. Dùng pp đồng nhất để tìm ra các hệ số của tử của các phân thức con..

 

Bài này nói chung có cách để làm, nhưng mà số thì không đẹp chút nào.

 

$\frac{t^2-3}{t(t+1)(t^3-t^2+t+2)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct^2+Dt+E}{t^3-t^2+t+2}$

Dùng pp đồng nhất để tìm $A,B,C,D$.

 

Còn cái mẫu $t^3-t^2+t+2$ dùng pp Cardano giải pt bậc 3 (mời search Google biết thêm chi tiết) để tách thành bậc 1 (nghiệm thực có căn bậc 3) và bậc 2 (VN thực).

Nói chung bài này thuộc dạng tích phân hàm phân thức, ta phân tách thành các phân thức con có mẫu là các nhân tử của mẫu thức ban đầu.

Các mẫu thức con đó có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu là 1 bậc. Dùng pp đồng nhất để tìm ra các hệ số của tử của các phân thức con..

 

Bài này nói chung có cách để làm, nhưng mà số thì không đẹp chút nào.

Cho mình hỏi thêm. Ngoài cái cách dùng đồng nhất thức và dùng cái phương pháp Carnado như bạn nói thì còn cách nào khác nữa không. Toán cao cấp cho bên kinh tế bọn mình thầy giáo bảo không được dùng. Chỉ nhưng ai học chuyên sâu về toán mới học đến thôi

đặt $ t = x^{2} $ được đó

Mình thử rồi. Làm đến đây thì tịt.

Đặt: $t=x^2\Rightarrow dt=2x.dx$.

$\Rightarrow \frac{1}{2}\int\frac{t^2-3}{t(t^4+3t+2)} dt=\frac{1}{2}\int \frac{t^2-3}{t(t+1)(t^3-t^2+t+2)}$

Cái biểu thức $t^3-t^2+t+2$ không phân tích được thành nhân tử. Mà mình cũng không biết đồng nhất thức đa thức này kiểu gì?

Có lẽ ý tưởng của bạn là như này.

Đặt: $x=\sqrt{2}.sint\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dx=\sqrt{2}cost.dt & & \\ x^2=2sin^2t & & \\ x^4=4sin^4t & & \end{matrix}\right.$

Từ đó:

$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{2}.sint(\sqrt{4-4sin^4t}+2\sqrt{2}.sint)}{\sqrt{2-2sin^2t}}.\sqrt{2}.costdt=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}sin2t.\sqrt{3-cos2t}.dt+4.\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}sin^2t.dt$

$=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sqrt{3-t}dt+\frac{\pi }{2}-1=\frac{1}{2}\int_{2}^{3}u^{\frac{1}{2}}.du+\frac{\pi }{2}-1=\frac{1}{3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})+\frac{\pi }{2}-1$

đặt x=sint là dx rồi

Đặt thế này hình như là vẫn chưa bỏ được căn thức

Hàm số ngược của tan còn gọi là arctan không còn dùng trong chương trình bạn ạ nên giải chi tiết hơn

 

Hàm số ngược của tan còn gọi là arctan không còn dùng trong chương trình bạn ạ nên giải chi tiết hơn

Không được dùng trong chương trình phổ thông thì em đặt tiếp: $t=\sqrt{3}.tanu\Rightarrow dt=\frac{\sqrt{3}}{cos^2u}du$

Thay vào được tích phân mới:$2.\int \frac{1}{3+3tan^2u}.\frac{\sqrt{3}}{cos^2u}du=\frac{2\sqrt{3}}{3}\int du$. Đơn giản rồi em. Tích phân này chắc em được học rồi.

giúp tớ bài này với 

$\int_{0}^{\pi /2}\frac{1}{2+cosx}dx$

Đặt:$t=tan\frac{x}{2}\Rightarrow dx=\frac{2}{1+t^2}dt$;$cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

Thay vào ta được:

$2\int \frac{1}{3+t^2}dt=\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan\frac{\sqrt{3}}{3}t+C$

Thay cận vào bạn nhé.

Tính tích phân sau

 

$\int_{-1/2}^{0}\frac{\sqrt{3-4x^2-4x}}{4x^2+4x+5}dx$

$=\int \frac{\sqrt{4-(2x+1)^2}}{4+(2x+1)^2}dx$

Đặt: $2x+1=t\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt$. Thu được:

$I=\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{4-t^2}}{t^2+4}dt$$I=\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{4-t^2}}{t^2+4}dt$

Tiếp tục đặt:$t=2.sinu\Rightarrow dt=2cosu.du$. Thu được biểu thức:

$I=\frac{1}{2}\int \frac{cos^2u}{1+sin^2u}du=\frac{1}{2}\int \frac{1+cos2u}{3-cos2u}du$

Tiếp tục đặt: $v=tanu\Rightarrow du=\frac{1}{1+v^2}dv$; $cos2u=\frac{1-v^2}{1+v^2}$

Ta thu được:

$\frac{1}{2}\int \left ( \frac{2}{1+2v^2}-\frac{1}{1+v^2} \right )dv=\frac{1}{2}\int \frac{1}{v^2+\frac{1}{2}}dv-\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+v^2}dv$

$=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{2}arctan\sqrt{2}v-arctanv \right )$

Bạn tự đổi cận để tính. Đáp số: $\frac{1}{2}\left ( \sqrt{2}arctan\frac{\sqrt{6}}{3}-arctan\frac{\sqrt{3}}{3} \right )$

$\int_{0}^{\pi /4} \frac{sinx-\sqrt{2}cosx}{(sinx+cosx)^3}$

$=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{sinx-\sqrt{2}cosx}{2\sqrt{2}sin^3\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )}dx$ (1)

Đặt: $x+\frac{\pi }{4}=t\Rightarrow dx=dt$

$=\int \frac{sin\left ( t-\frac{\pi }{4} \right )-\sqrt{2}cos\left ( t-\frac{\pi }{4} \right )}{2\sqrt{2}sin^3t}dt$

$=\frac{1-\sqrt{2}}{4}\int \frac{1}{sin^2t}dt+\frac{1+\sqrt{2}}{4}\int \frac{d(sint)}{sin^3t}$

$\int_{1}^{2}\frac{2x^{2}-6x-20}{(2x-3)^{2}}dx$

giải hẻm ra TT

biểu thức trong dấu tích phân viết lại thành:

$\frac{1}{2}-\frac{49}{2(2x-3)^2}$

Biểu thức sau sử dụng đổi biến

Cho hàm số $f(x)=sin(2x-x^2).g(x)$ với g(x) là hàm liên tục, nhưng không khả vi tại $x=0$. Hãy tính $f'(0)$

$\int_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }\frac{4sin^{2}x-1}{sinx-\sqrt{3}cosx}$

Viết lại thành

$\frac{1}{2}\int \frac{4sin^2x-1}{sin\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )}dx$

Đặt:$x-\frac{\pi }{3}=t$

Biến đổi thu được:

$\frac{1}{2}\int sintdt+\sqrt{3}\int costdt+\frac{3}{2}\int \frac{cos^2t}{sint}dt-\frac{1}{2sint}dt$. Các tích phân này tính được

$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}(cos^{3}x-2x)tan^{2}xdx$

Biến thành 2 tích phân:

$\int cos^3x.tan^2xdx-2\int x.tan^2xdx$

$=I_{1}-I_{2}$

$I_{1}=\frac{1}{4}\left ( \int cosxdx-\int cos3xdx \right )$

dùng công thức: $\int coskxdx=\frac{sinkx}{k}$

$I_{2}=2\int \frac{x}{cos^2x}dx-2\int xdx$

Tích phân $\int \frac{x}{cos^2x}dx$ sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho ra kết quả $2(x.tanx+ln(cosx))$, còn tích phân còn lại tính được. 

$\int_{\frac{-\pi }{6}}^\frac{\pi }{6}\frac{1-cos\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )}{\sqrt{3}cosx+sinx+2}$

bạn tự chứng minh định lý: nếu f(x) là hàm số chẵn thì:$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$

Tích phân đã cho viết lại thành: $\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}\frac{1-cos\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )}{1+cos\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{1-cos\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )}{1+cos\left ( x-\frac{\pi }{6}\right )}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}tan^2\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\left ( \frac{1}{cos^2\left ( x-\frac{\pi }{6} \right )}-1 \right )dx$. 

Đến đây dễ rồi.

Tính tích phân sau:

$I=\int_{0}^{1}\frac{x^{2}+1}{x^{4}-x^{2}+1}dx$

Tách tích phân ban đầu ra thành 2 tích phân sau:

$=\frac{1}{2}\left ( \int_{0}^{1}\left ( \frac{1}{x^2-\sqrt{3}x+1} +\frac{1}{x^2+\sqrt{3}x+1}\right ) \right )dx$

$=\frac{1}{2}\left ( \int_{0}^{1}\frac{1}{\left ( x-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\frac{1}{4}}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{\left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\frac{1}{4}}dx \right )$

Đến đây áp dụng công thức sau để làm tiếp:

$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$

Đổi biến $2t=x$ đưa về tích phân $\int te^{t}dt = \int t de^{t} = t .e^{t} - \int e^{t}dt = e^{t}(t-1)$

Thực ra tất cả bước bạn làm mình đều đã làm. Để mình làm lại cho bạn nhìn nhá.

$I=\int_{-\infty }^{0}xe^{2x}dx=-\lim_{t\rightarrow -\infty }\int_{0}^{t}xe^{2x}dx=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\lim_{t\rightarrow -\infty }te^{2t}$

Kết quả của tích phân này là $-\frac{1}{4}$, mình đang bí ở giới hạn $\lim_{t\rightarrow -\infty }te^{2t}$ (vì vẫn chưa được khử được dạng vô định của nó, bạn giúp mình với)

Mà hơn nữa, bài này mình thấy không quá phức tạp đến mức phải đổi biến bạn ạ.

$\int_{-\infty }^{0}xe^{2x}dx$

 

$\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)cos\frac{x}{x^2-5x+6}$