-Để  $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là số chính phương thì  $4x^{3}+4x^{2}+4x+1\geq 0 <=> x\geq 0$

-Nhận thấy $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là số lẻ $=>$ Nếu $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là bình phương của 1 số thì nó là bình phương của 1 số lẻ

-Giả sử $4x^{3}+4x^{2}+4x+1 = (2m+1)^{2}$

   $<=> 4x^{3}+(2x+1)^2=(2m+1)^2$

   $<=>x^{3}=(m-x)(m+x+1)$

-Nhận thấy $x=0$ thỏa mãn đề bài.

-Xét $x \neq 0$, vì $x\epsilon Z$ nên ta có hệ sau:

$\left\{\begin{matrix}m-x=x &  & \\m+x+1=x^2 &  & \end{matrix}\right.$ ( hệ này không có nghiệm nguyên)

hoặc

$\left\{\begin{matrix}m-x=x^2 &  & \\m+x+1=x &  & \end{matrix}\right.$ ( hệ này cũng không có nghiệm nguyên)

Vậy số nguyên $x$ thỏa mãn đề bài là $x=0$.

 

Không đúng bạn à.

Như bạn đã có cái này

''$<=>x^{3}=(m-x)(m+x+1)$''

nhưng không thể suy ra chỉ có 2 hệ

Ví dụ: $x^{3}=2^{3}.3^{3}$ dẫn đến $2^{3}.3^{3}=(m-x)(m+x+1)$ thì có thể có trường hợp sau $m-x=3,m+x+1=2^{3}.3^{2}$

Ý mình ở đây là bạn chưa biết các ước của x.

Tìm số nguyên x để $4x^{3}+4x^{2}+4x+1$ là số chính phương.

Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh rằng:

$\frac{3(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 2$

Cho $a,b,c>0$.  Chứng minh rằng:

$(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$

$\widehat{ACH}=\widehat{ABM}=\widehat{ACM},AC\perp HM\Rightarrow $ AC là đường trung trực của HM

Nên AH=AM

Vẽ đường kính AG.

$AH^{2}=AM^{2}=AK.AG$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) $=AK.2AO$

$\Delta ABC$ cân tại A, đường cao AH nên AH là phân giác của $\widehat{BAC}$

$\widehat{OAF}=\widehat{BAH}$ (vì cùng phụ với $\widehat{CAH}$)

$\widehat{OAE}=\widehat{CAH}$ (vì cùng phụ với $\widehat{OAC}$)

Do đó $\widehat{OAF}=\widehat{OAE}$.

Có OF=OE (=R), OA: cạnh chung

Nên $\Delta OAF=\Delta OAE$ (c.g.c)

Vậy AE=AF

Cho B= $\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-2\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+2\sqrt{2}}}$. B có phải là số tự nhiên không?

B= $\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-2\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+2\sqrt{2}}}$

$= \frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}.\sqrt{17+2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}.\sqrt{17-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-2\sqrt{2}}.\sqrt{17+2\sqrt{2}}}$

$= \frac{\sqrt{43-28\sqrt{2}}-\sqrt{43+28\sqrt{2}}}{\sqrt{17^{2}-8}}<0$

Vậy B không là sô tự nhiên

Tính giá trị biểu thức: $M=\sqrt{\left | 12\sqrt{5}-29 \right |}+\sqrt{25+4\sqrt{21}}-\sqrt{12\sqrt{5}+29}-\sqrt{25-4\sqrt{21}}$

$M=\sqrt{\left | 12\sqrt{5}-29 \right |}+\sqrt{25+4\sqrt{21}}-\sqrt{12\sqrt{5}+29}-\sqrt{25-4\sqrt{21}}$

$=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}-2.2\sqrt{5}.3+3^{2}}+\sqrt{(\sqrt{21})^{2}+2.\sqrt{21}.2+2^{2}}-\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+2.2\sqrt{5}.3+3^{2}}-\sqrt{(\sqrt{21})^{2}+2.\sqrt{21}.2-2^{2}}$

$= (2\sqrt{5}-3)+(\sqrt{21}+2)-(2\sqrt{5}+3)-(\sqrt{21}-2)=-2$

Cho $A=\sqrt{3-\sqrt{5}}.(3+\sqrt{5}).(\sqrt{10}-\sqrt{2})$. chứng minh rằng A là số tự nhiên.

$A=\sqrt{3-\sqrt{5}}.(3+\sqrt{5}).(\sqrt{10}-\sqrt{2})$

      = $(\sqrt{3-\sqrt{5}}.\sqrt{3+\sqrt{5}})\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{2}.(\sqrt{5}-1)$

    =$\sqrt{9-5}.\sqrt{6+2\sqrt{5}}(\sqrt{5}-1)$

    =$2.(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)$

    =$2.(5-1)=8$ là số tự nhiên

Do x,y không thể cùng <0 (vì x+y=2) nên ta xét các TH:

TH1: x>0, y>0.

$x^{5}+y^{5}=\frac{x^{6}}{x}+\frac{y^{6}}{y}\geq \frac{(x^{3}+y^{3})^{2}}{x+y}=\frac{(x^{3}+y^{3})^{2}}{2}$

$x^{3}+y^{3}=\frac{x^{4}}{x}+\frac{y^{4}}{y}\geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{x+y}\doteq\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2}$

$x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}=2$

Nên $x^{5}+y^{5}\geq 2$

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1

TH2: x=0, y=2 hoặc x=2, y=0 thì $x^{5}+y^{5}=32>2$

TH3: 1 trong 2 số x,y âm. Giả sử y<0

x+y=2 nên x=2-y

Khi đó $x^{5}+y^{5}=(2-y)^{5}+y^{5}=32-80y+80y^{2}-40y^{3}+10y^{4}>32>2$

Đặt $x+y=a,y+z=b,z+x=c$. Ta có: $x=\dfrac{a+c-b}{2},y=\dfrac{a+b-c}{2},z=\dfrac{b+c-a}{2}$ do đó BĐT tương đương $\sum\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc} \leq 2$(đúng)

sao cái bđt tương đương đó lại đúng vậy bạn?

Cho x, y, z>0. CMR:

$\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{z+x}{x+2y+z}+\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq 2$

 Cho $\bigtriangleup ABC$. Lấy A', B', C' tương ứng trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: $min\left \{ S_{AB'C'} , S_{BC'A'}, S_{CA'B'}\right \}\leq \frac{S}{4}$ với S là diện tích $\bigtriangleup ABC$.

1.Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca$\leq$ 3abc. Chứng minh rằng:

                   $a+b+c\leq a^3+b^3+c^3$

2.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+2=abc.Chứng minh rằng:

                   $1/\sqrt{1+a} + 1/\sqrt{1+b} + 1/\sqrt{1+c} \leq \sqrt{3}$.

Thanks.

1/ $3abc\geq ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\Rightarrow abc\geq 1$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=\frac{a^{4}}{a}+\frac{b^{4}}{b}+\frac{c^{4}}{c}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a+b+c}=\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{a+b+c}\geq a+b+c$ 

Chỉ giúp mình với các bạn! Cám ơn nhiều!

Chứng minh: 

a) Hàm số $$y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 1}}$ đồng biến trên khoảng (-oo; 1) và (1; +oo) 

b) Hàm số y = |x - 1| + 2x đồng biến trên R

b/ _ Với $x\geq 1$ thì y=3x-1

      Lấy $x_{1}< x_{2}$ thì $y_1=3x_1-1<3x_2-1=y_2$ nên hàm số đồng biến trên R.

    _ Với x<1 thì làm tương tự

Chỉ giúp mình với các bạn! Cám ơn nhiều!

Chứng minh: 

a) Hàm số $y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 1}}$ đồng biến trên khoảng (-oo; 1) và (1; +oo) 

b) Hàm số y = |x - 1| + 2x đồng biến trên R

a/ $\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}} =\frac{ \frac{{{x_{2}^2}-x_{2}-1}}{{x_{2}-1}}-\frac{{{x_{1}^2}-x_{1}-1}}{{x_{1}-1}}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{\frac{(x_{2}^{2}-2x_{2}+1)+(x_2-1)-1}{x_{2}-1}-\frac{(x_{1}^{2}-2x_{1}+1)+(x_{1}-1)-1}{x_{1}-1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{x_{2}-x_{1}+\frac{x_{2}-x_{1}}{(x_{2}-1)(x_{1}-1)}}{x_{2}-x_{1}}=1+\frac{1}{(x_{2}-1)(x_{1}-1)}$

+ Với $x\in (-\infty;1)\Rightarrow (x_{2}-1)(x_{1}-1) > 0\Rightarrow \frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}> 0$

   nên hàm số đồng biến

+ Với $x\in (1;+\infty )$ ...(tương tự)

 Cho 3 số x, y, z thỏa mãn $(x-y+z)^{2}+2xy-8xz+2yz<0$ và $5x-4y+5z<0$. Chứng minh rằng: $2017x-2016y+2017z<0$

Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn $a> 0$ và $(b-1)^{2}-4ac<0$. Chứng minh rằng 3 bất đẳng thức $ax^{2}+bx+c\leq y$, $ay^{2}+by+c\leq z$, $az^{2}+bz+c\leq x$ không thể cùng đúng.

Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

Cho a,b,c,x là các số thực thỏa mãn: a²+b²+c²+x=15 và a+b+c+x=7. Chứng minh rằng: 2x²-7x+2<0

Hình như phải là  a²+b²+c²+x²=15  thì phải.

$15-x^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{(7-x)^{2}}{3}$ $\Rightarrow$đpcm

Cho $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}, a_{7}$ là các số không âm, trong đó $a_{1}= a_{7}=0$. Chứng minh tồn tại i, $2\leq i\leq 6$ sao cho $a_{i+1}+a_{i-1}\leq a_{i}\sqrt{3}$.

thầy ơi, làm thế nào để xóa nét thừa của đường vuông góc vậy?

bạn tạo giao điểm (chân đường vuông góc ấy), nháy chuột phải, chọn xóa, rồi dùng đoạn thẳng nối lại

Giải phương trình nghiệm nguyên

a)$2x^{2} + 3xy -2y^{2} = 7$

b)$x^{2}-xy=6x-5y-8$

b/ (x-y-1)(x-5) = -3

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thì 3 bất đẳng thức sau không thể cùng đúng

$\left | a \right |< \left | b-c \right |$

$\left | b \right |< \left | c-a \right |$

$\left | c \right |< \left | a-b \right |$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{4}{a^{2}+7}$

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c},...$

$\sum \frac{1}{a+b}\geq \sum \frac{2}{a+2b+c}$

$\sum \frac{4}{a^{2}+7}= \sum \frac{4}{(2a^{2}+2)+(b^{2}+1)+(c^{2}+1)}\leq \sum \frac{4}{4a+2b+c}=\sum \frac{2}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+b}$