Cho đường tròn tâm O. Điểm A cố định, đường kính MN thay đổi.AM và AN cắt đtron` tâm O lần lượt tại B và C. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua một điểm cố định khác A

sao bạn lại có cái này v

 

 :$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

Đặt $a = \dfrac{x^2+x+1}{x};  b = \dfrac{x^2-x+1}{x}$

$a-b=2$

 

\[ \begin{array}{l} ptrinh` hàm  \Leftrightarrow f(a) + f(b) = a^2  + b^2  - 2(a - b) + 8 = a^2  + b^2  + 4 \\   \Leftrightarrow f(a) + f(a - 2) = a^2  + (a - 2)^2  + 4 \\   \Leftrightarrow h(a) =  - h(a - 2) = h(a - 4) = ............... = c \\    \Rightarrow f(a) - a^2  - 2 = c \\   \Rightarrow f(a) = a^2  + c + 2 \\   \Rightarrow f(x) = x^2  + c + 2 \\ \end{array}\]

 

?? mò thế thôi chứ nghĩ sai hết rồi

$(f(x)-f(y)).(f^2(x)-f^2(y))=(x-y).[f(f^2(x))-f(f^2(y))]$
$f(1)=2013 \wedge   f(0)=0$
 

mình làm thế này sai chỗ nào vậy?

 

chia 2 vế ta ra :

\[
\begin{array}{l}
 \frac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{{x - y}} = \frac{{f\left( {f^2 \left( x \right)} \right) - f\left( {f^2 \left( y \right)} \right)}}{{f^2 \left( x \right) - f^2 \left( y \right)}} = ... = \frac{{f\left( {f^{2n} \left( x \right)} \right) - f\left( {f^{2n} \left( y \right)} \right)}}{{f^{2n} \left( x \right) - f^{2n} \left( y \right)}} = c \\
  \Rightarrow f\left( x \right) = cx \\
 \end{array}
\]
Mà $f(1)=c.2013=2013 \Rightarrow c=2013$

vậy $f(x)=2013x$

tìm hàm số f, g xác định trên R thỏa mãn :

2f(x) - g(x-y) = f(y) + y                                                    x,y thuộc R

( f(x) - 2011 )( g(x) - 2011 ) >= x+1

Cho $x=y=0$ có $f(0)=(f(0))^2-f(0)+1 \Rightarrow f(0)=1$ ( sai là do $f(0)=1$ nên không thể kết luận $f(x)=1$ )

Cho $y=1$ có $f(x)=f(1)f(x)-f(x+1)+1 \Rightarrow f(x+1)=f(x)+1$  bằng qui nạp dễ dàng chứng minh $f(x+k)=f(x)+k$

Hay $f(x)=x+f(0)=x+1$ Vậy hàm thỏa mãn là $f(x)=x+1$. Thử lại thấy thỏa

--------------

Mình nhớ là quy nạp chỉ dành cho số tự nhiên thôi mà bạn, còn phần hữu tỉ nữa 

Tìm tất cả hàm số f : Q->Q thỏa $f(1)=2$ và $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$, $\forall x,y \in \mathbb{Q}$

 

Bài nầy mình làm thế này:

Cho $x=0$ có $f(0)=f(0).f(x)-f(x)+1$ 

 $\Rightarrow f(x)=1$???

Cho mình hỏi mình sai chỗ nào ?? Thank trước

cho mình hỏi cái này nữa . Có một số bài giải phương trình hàm có phần chứng minh bằng quy nạp một số cái như $f(x)=nx^2$ với $n=f(1)$. Tại sao lại biết mà chứng minh như vậy ?

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+y=3 & \\x^2+2xy-5y^2-5x+13y=6 & \end{matrix}\right.$

Bài giải: Nhân 3 vào phương trình đầu rồi trừ theo vế với phương trình sau ta được:
$$2{x^2} + 8{y^2} - 8xy + 5x - 10y = 3 \Leftrightarrow 2{(x - 2y)^2} + 5(x - 2y) - 3 = 0 $$

$$\Leftrightarrow (x - 2y + 3)(2x - 4y - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2y = - 3\\2x - 4y = 1\end{array} \right.$$

Đến đây, thế từng trường hợp rồi thay vào phương trình ban đầu là xong.

nếu áp dụng phương pháp t cho bài này thì rất khó
biến đổi ra là (t-5)y^2-(2xt-t-2x-13)y+x^2-5x-6+tx^2-3t
nếu dùng Delta thì biến đổi ra rất khó do b = 2xt-t-2x-13, có 4 cái lận
nếu làm như vậy thì rất mất thời gian..
Mod có thể hướng dẫn cách tính ra bằng 3 cho mình được không.
Thank nhiều