Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $H,I,K$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC$.

a) Chứng minh rằng: $\left( HIK \right)//\left( ABCD \right).$

            b) Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $KD$, $N$ là giao điểm của $DH$ và $CI.$ Chứng minh rằng: $\left( SMN \right)//\left( HIK \right).$

Câu b) khó quá!!!

Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3} S$. Với $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác và $S$ là diện tích của tam giác đó.

Mình nghĩ Ban quản trị nên thêm mục diễn dàn về Tin học, đặc biệt là lập trình Pascal. Vì có nhiều người là Toán Tin, cần lắm việc thảo luận những bài tập khó về Pascal đấy. Thanks!

 

Bạn quy đồng kiểu gì mà được cái dấu = cuối cùng vậy? giúp cho trót luôn bạn! Thanks!

 

Dấu đó là dấu $\le$ mới đúng bạn ơi! Vì áp dụng (*) mà!

Mình sửa lại rồi, có hiểu k bạn

Thôi, hiểu rồi, thì ra áp dụng trong dấu căn chứ không phải ở ngoài. Rối thật!!!!

Sửa lại r mà @@

Không sao, chỗ đó nhìn vẫn hiểu!

Theo(**) ta có $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}$

Nên áp dụng (*) ta có $\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \sqrt{\frac{\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}}{2}}=$\frac{2}{\sqrt{1+ab}}$ suy ra đpcm

Bạn quy đồng kiểu gì mà được cái dấu = cuối cùng vậy? giúp cho trót luôn bạn! Thanks!

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{2}$

suy ra $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq \sqrt{\frac{a+b}{2}}$ (*)

abc=1 , c$\geq$1 nên ab$\leq 1$

Ta cần CM

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$ (**)

Tương đương $\frac{2+a+b}{(1+a)(1+b)}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Tương đương $2+2\sqrt{ab} + (a+b)+(a+b)\sqrt{ab}\leq 2+2(a+b)+2ab$

<=>$(1-\sqrt{ab})2\sqrt{ab}+(a+b)(-1+\sqrt{ab})\leq 0$

<=>$(-1+\sqrt{ab})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\leq 0$ (đúng vì $1-\sqrt{ab}\leq 0$)

Áp dụng (*)(**) cho bài suy ra đpcm

Vẫn chưa hiểu cái (*) (**) kết hợp nhau như thế nào? Nhìn không ra ta!

Mới tìm ra nè, cho nó chạy để lại vết. Mà thấy nó sao sao ấy, không biết làm thế đúng không nữa!

Cho $a,b,c>0; abc=1; c\ge 1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}} \le \dfrac{2}{\sqrt{1+ab}}$.

Chứng minh sao mấy anh chị?

Cho $a,b,c,x,y,z>0$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$.
Chứng minh sao mấy anh chị?

Bài 1:Ta dự đoán rằng điểm rơi của bài toán khi x=2, khi đó $\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$ , ta sẽ ghép như sau :

$A=\frac{1}{a}+\frac{a}{4}+\frac{7a}{4}\geq 2+\frac{7.2}{4}=5.5$. Dấu đẳng thức xay ra khi $x=2$

Bài 3:Ta dự đoán điểm rơi của bài toán khi $a=3$ và $b=11$. Ta sẽ dùng AM-GM như sau:

$P=\frac{1}{24}.8a.3b\leq \frac{1}{24}.\frac{(8a+3b)^{2}}{4}=\frac{\left [ 3(a+b)+5b \right ]^{2}}{96}=\frac{(33+5a)^{2}}{96}\leq \frac{(33+5.3)^{2}}{96}=24$

Vậy $MaxP =24$ khi $a=3$ và $b=11$

Bài 5: Ta dự đoán điểm rơi của bài toán khi $a=2$ và $b=1$, Theo AM-GM thì

$x^{3}+4=\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{3}}{2}+4\geq 3x^{2}$

$y^{6}+2=y^{6}+1+1\geq 3y^{2}$

Từ đó có $P\geq 9$

Đẳng thức xảy ra khi $x=2$ và $y=1$

Câu 3 hình như có gì đó không hợp lý, $a=3, b=11$ thì $a+b=11$ sao mà được hả bạn. Mình nghĩ có lẽ đề cho $a+b=14$ thì phải.

Các bác cho em hỏi cách để vẽ đường xoắn ốc (để minh họa cho số vòng quay của góc lượng giác) bằng phần mềm geogebra với ạ

 

 

Tôi cũng bó tay, ai cao tay giúp dùm đi

Hai đường thẳng  $\Delta_1:y=a_1x+b_1; \Delta_2: y=a_2 x + b_2$ có hệ số góc $a_1=\tan \alpha$ và $a_2=\tan\beta$, với $\alpha$ và $\beta$ là hai góc tạo bởi véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ với trục hoành.

Khi đó, $a_1.a_2=\tan\alpha.\tan\beta=\tan\alpha.\tan(180^\circ-(90^\circ-\alpha))=\tan\alpha.\tan(90^\circ+\alpha)=\tan\alpha.(-\cot\alpha)=-1$.

Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập được một số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong đó phải có mặt số 0 và số 1.

Mình vẽ hình rồi, mà không biết đưa lên bằng cách nào nữa. Có link hướng dẫn up hình lên đây không cho mình đi.

Câu b, Bài 2. Không thể chứng minh được. Nếu CE vuông với (ABC) thì CE vuông với AC. Mà DC vuông với AC rồi (do DC vuông với (ABC)) Trong cùng mặt phẳng (CDA) mà có 2 đường thằng khác nhau cùng vuông góc với một đường thẳng đó là DC và CE cùng vuông với AC.

Cái đề bó tay.

Còn câu 1, không thể tính được cái diện tích đáy.

Hình bài 1 đây nè!

(dvtt)