Cho các số thực không âm thoả mãn $z\geq y\geq x$, xy+yz+zx> 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$2\sqrt{\frac{x}{y+z}}+2\sqrt{\frac{y}{x+z}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}$.

 

 

Bài này cầng chứng minh bổ đề $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}\geq \sqrt{\frac{x+y}{z}}$ nhưng mình không biết xuất phát từ đâu tìm ra bổ đề đó. Mong mọi người giúp !!!1

sử dụng BDT cosi: $\sqrt{x(y+z)}\leq \frac{x+y+z}{2}\Rightarrow 1\geq 2\frac{\sqrt{x(y+z)}}{x+y+z}$

nhân cả 2 vế cho: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

tương tự trên: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}\geq \frac{2(x+y)}{(x+y)+z}\geq \frac{2(x+y)}{2\sqrt{(x+y)z}}\doteq \sqrt{\frac{x+y}{z}}$

 

 

 

$\frac{x^{2}-4x^{2}z^{2}+4xz+1}{x^{2}+z^{2}+x^{2}z^{2}+1}\leq \frac{4}{3}$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-2z \right )^{2}+\left ( 4xz-1 \right )^{2}\geq 0$

 

$\Rightarrow P\leq \frac{10}{3}$

vấn đề là ở đây rất khó để nhận ra được cực trị của biểu thức bạn chứng minh nếu không dự đoán được kết quả. nên nếu không biết trước lời giải khó co thể chứng minh theo cách này

ai có thể giải bài này bằng cách khác không chứ việc xử lý $\frac{3}{z^2+1}$ hơi khó làm

$xyz+x-y+z=0 \Leftrightarrow y=\frac{x+z}{1-xz}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1-xz}{x+z}$

biểu thức dưới mẫu số dạng $1+x^2$

đặt $x=tan\frac{a}{2}$, $\frac{1}{y}=tan\frac{b}{2}$, $z=tan\frac{c}{2}$

$y=\frac{x+z}{1-xz}\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1-xz}{x+z}\Leftrightarrow tan\frac{b}{2}=\frac{1-tan\frac{a}{2}tan\frac{c}{2}}{tan\frac{a}{2}+tan\frac{c}{2}}=cot(\frac{a}{2}+\frac{c}{2})\Leftrightarrow \frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow a+b+c=\pi$

$P=2cos^{2}\frac{a}{2}-2sin^{2}\frac{b}{2}+3cos^{2}\frac{c}{2}=1+cos{a}-(1-cos{b})+3cos^{2}\frac{c}{2}=2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}+3cos^{2}\frac{c}{2}=3-3sin^{2}\frac{c}{2}+2sin\frac{c}{2}cos\frac{a-b}{2}$

$P=3+\frac{1}{3}3cos^{2}\frac{a-b}{2}-3(sin\frac{c}{2}-\frac{1}{3}cos(\frac{a-b}{2}))^2\leq \frac{10}{3}$

dấu "=" xảy ra khi $cos\frac{a-b}{2}=1$ và $sin\frac{c}{2}-\frac{1}{3}cos\frac{a-b}{2}=0$

$\Leftrightarrow a=b$ và$sin\frac{c}{2}=\frac{1}{3}$$\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}}, y=\sqrt{2}, z=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Cho x,y.z là các số dương sao cho: xyz+x-y+z=0.Tìm GTLN $P=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{z^2+1}$

@Mod : chú ý cách đặt tiêu đề

xem lại đề bài mới biết mình nhầm. mấy ngày nay cứ đi tìm giá trị nhỏ nhất .Trong khi đầu bài đúng là tìm giá trị lớn nhất.2```! nghĩ vỡ đầu mà không làm nổi hoá ra nhầm đề.    

Cho $x,y,z$ là các số thực và $x^2+y^2+z^2=3$

  Tìm GTNN : $P= \sqrt{3x^2+7y}+\sqrt{3x^2+7z}+\sqrt{5y+5z}$

@Mod : Chú ý cách đặt tiêu đề và viêt hoa đầu dòng

Chào các bạn !

 

Như tiêu đề, topic này lập ra để tổng hợp, sưu tầm tất cả các đề thi thử đại học trong một vài năm gần đây.

 

Nguồn có thể là đề thi thử của các trường, các diễn đàn, hoặc đề dự bị của bộ.

 

Hi vọng đây sẽ là nguồn tài liệu quý báu dành cho các bạn.

 

Một vài quy định nhỏ trong topic

 

+/ Viết hoa đầu dòng. Sử dụng font chữ Arial hoặc Times New Roman.

+/ Không sử dụng font chữ quá to.

+/ Gõ Latex đầy đủ, trình bày sáng sủa. Quote đề bài.

+/ Đề bài phải ghi rõ nguồn.

+/ Lời giải không quá tắt, hạn chế sử dụng $\sum$....

+/ Khuyến khích các bài toán giải bằng phương pháp đạo hàm, các bất đẳng thức quen thuộc (thông dụng nhất trong đề thi đại học hiện nay).

+/ Không sử dụng các phương pháp không được dùng trong thi đại học.

 

Chúc các bạn học tốt. 

 

Cảm ơn các bạn.

 

_____

 

Mở màn bằng một bài của trường chuyên Hà Tĩnh.

 

Bài 1. Cho $x;y;z \in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức

 

$$(1+xyz)\left ( \frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \right )$$

 

Thi thử A - Chuyên Hà Tĩnh - 2012

$\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}\geq \frac{(1+1+1)^2}{3+x^3+y^3+z^3}\geq \frac{9}{3+3xyz}=\frac{3}{1+xyz

                                                                          BDT cộng mẫu số                                                  côsi

Sai đề không bạn 2 cái này giống nhau à?

viết nhầm biểu thức thứ 2 là 7z đó bạn

Cho $x^2+y^2+z^2=3$.GTNN.$P=\sqrt{3x^2+7y}+\sqrt{3x^2+7z}+\sqrt{5y+5z}$

cho các số thực x , y ,z thoả mãn x² + y² + z²  =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P= $\dpi{120} \sqrt{3x^2 + 7y} + \sqrt{3x^2 + 7z} + \sqrt{5y+5z}$