Có 5 câu hỏi và 5 câu trả lời đúng cho 5 câu hỏi đó. Ghép ngẫu nhiên  một câu hỏi với một câu trả lời. Tính xác xuất để ghép đúng ít nhất 2 câu trả lời đúng?

Mong mọi người giúp đỡ mình!

Luôn chọn đc bạn ạ, xét các TH ra là đc!

Theo mình nghĩ như thế này không bít có đúng không.

Gọi Số Vật là 5, Số Hộp là 3 (những số dư của phép chia một số cho 3 là 0,1,2)

Ta sắp số vật vào trong 3 hộp (những số dư của phép chia một số cho 3 là 0,1,2)

Nếu không có hộp nào rỗng thì => 3 số được chọn ra từ mỗi hộp sẽ có tổng chia hết cho 3

Nếu có một hộp rỗng thì , lúc này ta sẽ xếp 5 vật vào 2 hộp => theo nguyên lý Dirichlet thì có một hộp sẽ chứa  (5/2) = 3 số, và 3 số này có tổng chia hết cho 3.

Trong số 5 người có thể chọn ra được 3 người mà có tổng số tuổi thọ của họ là một số chia hết cho 3 hay không? Hãy chứng minh.

Mong các bạn giúp đỡ mình!

Có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bó gồm 7 bông hồng mà trong đó số bông hồng đỏ nhiều hơn số bông hồng vàng ?

Mong các bạn giúp đỡ mình!

Xin phép tài lanh..

Bạn nhân cách hóa cụm dân cư thì cụm này bắt tay với $5$ cụm khác. Số cái bắt tay cũng là số các con đường:$C_{6}^{2}$ .

hihi cám ơn bạn , mình thích mấy người tài lanh lém

Mỗi cụm dân cư có 2 đường mòn và 3 đường lớn (tổng cộng 5 đường) nối với các cụm dân cư khác (1)

Hai cụm dân cư bất kỳ nối với nhau bằng 1 đường duy nhất (2)

Từ (2) suy ra nếu mỗi cụm dân cư nối với các cụm khác bằng $n$ đường (không phân biệt đường lớn hay đường mòn) thì sẽ có $n+1$ cụm dân cư.

Từ (1) suy ra $n=5$

Vậy số cụm dân cư là $n+1=5+1=6$

Tổng số đường trên đảo là $C_{6}^{2}=15$ (đường)

Số đường mòn bằng $\frac{2}{3}$ số đường lớn $\Rightarrow$ có $6$ đường mòn và $9$ đường lớn.

Cám ơn bạn đã giải đáp ! mà bạn ơi tại sao mình phải lấy $C_{6}^{2}$ để tính tổng số đường vậy bạn?

Có 6 cụm dân cư,12 đường mòn và 18 đường lớn.

cám ơn bạn đã giải đáp! mà bạn ơi có thể giải thích làm sao mình có kết quả đó không bạn?

Trên một hòn đảo có các cụm dân cư. Mỗi cụm dân cư có 2 đường mòn và 3 đường lớn đi ra nối với các cụm dân cư khác. Hai cụm dân cư bất kỳ được nối với nhau bằng một đường duy nhất. Vậy trên đảo có bao nhiêu cụm dân cư và bao nhiêu đường mỗi loại ?

Mong mọi người giúp đỡ mình!

CM: $(a^{k}+b^{k}).(a+b)\leq 2(a^{k+1}+b^{k+1})$ (a,b>0)

Ko mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b$

$(a^{k}+b^{k}).(a+b)=a^{k+1}+b^{k+1}+a^{k}b+b^{k}a$

Cần CM:$a^{k}b+b^{k}a\leq a^{k+1}+b^{k+1}\Leftrightarrow b^{k}(a-b)\leq a^{k}(a-b)$ (đúng)

Áp dụng cho bài trên, dung quy nạp nên cần CM

$a^{n+1}+b^{n+1}\geq 2.(\frac{3}{2})^{n+1}$

Ta có: $2.(a^{n+1}+b^{n+1})\geq (a^{n}+b^{n}).3\geq 6.(\frac{3}{2})^{n}=(\frac{ 3}{2})^{n+1}.4$

$\Rightarrow$ đpcm

Cám ơn bạn đã giải đáp cho mình!

VP chia hết cho 2 nên VT chia hết cho 2. Xét 2 TH sau:

-TH1: x;y là số lẻ; z là số chẵn

    è VT chia 4 dư 2 còn VP chia hết cho 4 è Vô lí

-TH2: x;y;z đều chia hết cho 2

    Đặt x=2a; y=2b; z=2c

 è $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 4abc$

 Tương tự như trên à x;y;z  chia hết cho $2^{k}$

 è x=y=z=0

Cám ơn bạn giải đáp!

Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2xyz$ ?

Ngoài ra cho mình hỏi có phương pháp chung nào để giải mấy bài tìm nghiệm nguyên của phương trình hay không?

Xin mọi người giúp đỡ !

 

$x^{2}+y^{2}$ chia cho 4 thì số dư là 0, 1, 2. là đúng. Còn $x^{2}-y^{2}$ chia cho 4 dư 3 là sai

 

um

Với a,b>0 , a+b=3, Bằng  quy nạp chứng minh  $a^{n}+b^{n} \geq 2(\frac{3}{2})^{n}, n\geq 1$ ? 

Ngoài ra cho mình hỏi làm sao biết $(a^{k}+b^{k}).(a+b) \leq 2.(a^{k+1}+b^{k+1})$ , có công thức hay phương pháp biến đổi gì ở chổ này không?

Mong các bạn giúp đỡ mình!

- Xét x chia hết cho 4 nghĩa là x = 4k (k nguyên) thì $x^{2}=16k^{2}$ chia cho 4 dư 0

- Xét x chia cho 4 dư 1 nghĩa là x = 4k + 1 thì $x^{2}=16k^{2}+8k+1$ chia cho 4 dư 1

- Xét x chia cho 4 dư 2 nghĩa là x = 4k + 2 thì $x^{2}=16k^{2}+16k+4$ chia cho 4 dư 0

- Xét x chia cho 4 dư 3 nghĩa là x = 4k + 3 thì $x^{2}=16k^{2}+24k+9$ chia cho 4 dư 1

Do đó $x^{2}-y^{2}$ chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1 thôi. Không thể dư là 3

Trước tiên mình xin cám ơn bạn đã giải đáp! Mà bạn ơi mình cũng nghĩ giống bạn vậy đó, nhưng mà trong lời giải của thầy mình lại có ghi thêm số dư là 3 nữa ! Ngoài ra ông còn nói là khi $x^{2}+y^{2}$ chia cho 4 thì số dư là 0,1,2.

Mình cũng có lên mạng đọc thì có vài bài viết cũng ghi giống vậy, bạn coi thử trang 2 của slide bài này xem http://doc.edu.vn/ta...m-nguyen-53186/ ?

CMR: với mọi số nguyên x, dư của phép chia $x^{^{2}}$ cho 4 chỉ có thể  là 0 hoặc 1? 

Ngoài ra cho mình hỏi tại sao số dư của $x^{2}-y^{2}$ cho 4 chỉ có thể là 0,1,3 , mà không phải là 0 và 1 thôi ?. Làm sao mình biết nó có dư 3  ? 

Mong mọi người giúp đỡ mình !

Câu $1$ :

Gọi số người được xếp vào phòng A và phòng B là $x_{A}$ và $x_{B}$.

+ Số cách xếp tùy ý $12$ người vào $4$ phòng là $M=4^{12}$ cách.

+ Số cách xếp sao cho $x_{A}=1$ là $N=12.3^{11}$ cách

   ($12$ cách chọn người vào A ; $3^{11}$ cách xếp $11$ người còn lại vào B,C,D)

+ Số cách xếp sao cho $x_{B}=0$ là $P=3^{12}$

+ Số cách xếp sao cho $x_{A}=1$ và $x_{B}=0$ là $Q=12.2^{11}$ cách

   ($12$ cách chọn người vào A ; $2^{11}$ cách xếp $11$ người còn lại vào C,D)

$\Rightarrow$ đáp án là $R=M-N-P+Q=4^{12}-5.3^{12}+12.2^{11}$

 

Câu $2$ :

 

        (Tối nay nếu rảnh sẽ giải)

Cám ơn bạn đã giải đáp!

Thí dụ câu $2$ nhé...

Xây dựng hàm sinh:

$f(x)=(x^{3}+x^{4}+x^{5})^{4}=x^{12}(1+x+x^{2})^{4}=x^{12}(\frac{1-x^{3}}{1-x})^{4}=x^{12}(1-x^{3})^{4}\frac{1}{(1-x)^{4}}$

mà:

$(1-x^{3})^{4}=1-4x^{3}+6x^{6}-4x^{9}+x^{12} $

$\frac{1}{(1-x)^{4}}=\sum_{k=0}^{\infty }C_{k+3}^{k}x^{k}=1+C_{4}^{1}x+C_{5}^{2}x^{2}+...+C_{k+3}^{k}x^{k}+...$

Số cách chia quà chính là hệ số của $x^{18}$ hay hệ số của $x^{6}$ trong $2$ thừa số ở $RHS$.

Số cách chia là:

$C_{9}^{6}-4C_{6}^{3}+6=84-80+6=10$

Cám ơn bạn đã giải đáp!

Trong đoạn $\left [ 1,10000 \right ]$ ta đặt:

$A$: tập các số chẵn

$B$: tập các số tận cùng bằng $0$

$A$: tập các số chia hết cho $7$

Ta có:

$\left | A \right |= \frac{10000}{2} =5000$

$\left | B \right |= \frac{5000}{5}=1000$

$\left | C \right |=\left \lfloor \frac{10000}{7} \right \rfloor=1428$

$\left |A \cap B \right |=1000$

$\left |A \cap C \right |=\left \lfloor \frac{10000}{14} \right \rfloor=714$

$\left |B \cap C \right |=\left \lfloor \frac{10000}{70} \right \rfloor=142$

$\left |A \cap B \cap C \right |=142$

Theo nguyên lý bù trừ ta được số các số thỏa y/c:

$\left | A\cup B\cup C \right |=5000+1000+1428-(1000+714+142)+142=5714$

Cám ơn bạn đã giải đáp cho mình!

Chắc phải dùng PP đếm nâng cao...

là sao bạn ?

Câu 1: Xếp 12 người vào 4 phòng sao cho phòng A không có hoặc có ít nhất là 2 người, phòng B có ít nhất 1 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Câu 2: Có bao nhiêu cách phân phối 18 món quà cho bốn người ,trong đó mỗi người nhận được ít nhất 3 món quà nhưng không quá 5 món quà ? (Dạng đề thấy giống bài toán đếm kẹo nhưng cách giải thì khác) 

Mong mọi người giúp đỡ mình

Giả sử 6 hộp là khác nhau.

a) Bỏ trước vào mỗi hộp 1 quả bóng, ta có pt:

x₁+x₂+....+x₆=2  với x_i nguyên không âm.

Sô cách xếp cũng là số nghiệm của pt: $C_{7}^{5}=21$

 

b) TH tổng quát

Số cách sắp xếp m quả bóng khác nhau vào n chiếc hộp khác nhau , sao cho mỗi chiếc hộp chứa ít nhất 1 quả bóng lá:

$\sum_{k=0}^{n}(=1)^{k}.C_{n}^{k}.(n-k)^{m}$

Với $m=8$ và $n=6$ ta có số cách sắp xếp:

$1679616-390625+983040-131220+3840-6+1=2144646$

Cám ơn bạn đã giải đáp cho mình!

Ta có:

$n(n+1)...(2n-1)=\frac{1.3.5...(2n-1).2.4.6...(2n-2)}{1.2.3...(n-1)}=\frac{1.3.5...(2n-1).2^{n-1}.1.2.3...(n-1)}{1.2.3...(n-1)}=1.3.5...(2n-1).2^{n-1}$

$Đpcm$

Cám ơn bạn đã giải đáp cho mình! mà bạn ơi chỗ n(n+1)...(2n-1) bạn dùng cách gì để biến đổi ra $\frac{1.3.5...(2n-1).2.4.6...(2n-2)}{1.2.3...(n-1))}$ ? 

Theo mình, số các số là số tổ hợp: $C_{9}^{4}=126$

Mỗi tổ hợp đảm bảo duy nhất 1 số có   $a<b<c<d$

 

a<b<c<d

Bạn ơi nhưng mà mình nghĩ lấy ra 4 số từ 9 số phải có thứ tự chứ vì a#b,b#c, c#d, a#d nên mình nghĩ là ${A}_{9}^{4}$ =3024 cách ? 

Với mọi số nguyên  $n\geq 1$, chứng minh rằng  n(n+1)....(2n-1) chia hết cho $2^{n-1}$ ?

Mong các bạn giúp đỡ mình!

Nếu giả sử 5 quyển văn là giống hệt nhau thì chỉ có duy nhất 1 cách để tặng 5 quyển đó cho 5 học sinh khác nhau (đây là tình huống giả định không liên quan tới bài)

Um, Mình hiểu rùi