GPT :

1. $x^6 - 2x^5 + x^4 - 7x^3 +x^2 - 2x +1 =0$

2. $x^5+5x^4+3x^3-13x^2-24x-36=0$

3. $3x^5+4x^4-6x^3-7x^2+2x+2=0$

4.$x^4-11x^2+12x=0$

5. $x^4+3x-6x^2+6x+1=0$

6. $x^4+2x^2+10x+4=5x^3$

7. $15x^4+11x^3-78x^2-71x-9$

8. $6(x+1)^4=17x^3+52x^2+37x+30=0$

1. Cho một cái bánh rán hình tam giác đều cạnh 2 cm trên đó rắc 5 hạt vừng. CMR tồn tại 2 hạt vừng cách nhau một khoảng không vượt quá 1cm

2. Giao ngẫu nhiên 101 điểm vào trong một hình vuông có cạnh bằng 1. CMR luôn có 5 điểm nằm trong cùng một hình tròn bán kính $\frac{1}{7}$

3. Chứng minh rằng trong một dạy bất kỳ 100 số nguyên dương không nhất thiết sắp thứ tự, luôn tồn tại hoặc một số chia hết cho 100, hoặc một số số liên tiếp có tổng chia hết cho 100.

1. Cho n thuộc N. Đặt $A_{n}=7^{7^{...^{7}}}$ (n số 7)
CMR với mọi n thuộc N , $n\geq 2$ , $A_{n}+17\vdots 20$

2. Cho n thuộc N* , CMR $2^{3^{n}}$ chia hết $3^{n+1}$ và không chia hết $3^{n+2}$

Giả sử tồn tại n để 4n^2+1 chia hết cho 12.
 

13 nha... hic hic mình hỏi lại đề rồi ạ..

Xét số n có dạng n=5k+1 và n=5k-1 ( k>0 và k là số tự nhiên).

vì sao lại là 2 dạng này ạ ?...

Bạn ơi câu 1 hình như là chia hết cho 13 chứ.

12 ạ.. :"<

1. CMR tồn tại vô hạn số tự nhiên N để $(4n^2+1)\vdots 5$ hoặc $(4n^2+1)\vdots 12$

2. Tồn tại hay không số tự nhiên n mà $n^2 + n + 1 \vdots 1995$

3. Tìm $n \in \mathbb{N}*$ để $(n^2 + 1) \vdots (n+1)$

4. Cho $a,b,c \in \mathbb{N}$ và $(a^3 + b^3 + c^3)\vdots 9$ .CMR trong 3 số a,b,c có ít nhất 1 số chia hết cho 3

5. Tồn tại hay không số k mà 1995k + 3 là lập phương của một số tự nhiên

6. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn $2x^2 + y^2 = 1909$

7. Tìm nghiệm nguyên của hệ $\left\{\begin{matrix} xyz+xy+xz=1995-x\\ xyz+yx+yz=1995-y\\ xyz+zx+zy=1995-z\end{matrix}\right.$

8. Tìm nghiệm nguyên của pt $x^3 + 2y^3 =4z^3$

9. CMR trong 9 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 1 số nguyên tố cùng nhau với tất cả số còn lại

10. CMR trong 5 số tự nhiên liên tiếp có một số nguyên tố cùng nhau với các số còn lại

Cho 2 tam giác ABC và A'B'C'. AB giao A'B' tại M, AC giao A'C' tại N, BC giao B'C' tại P. 

Chứng minh M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi AA', BB', CC' song song với nhau hoặc đồng quy.

Cho a,b,c là 3 số thực không âm và thỏa mãn a+b+c = 1

CMR $\sqrt{5a+4} + \sqrt{5b+4} + \sqrt{5c+4} \geq 7$

Cho $a^2 + b^2 \vdots ab$ .

Tính $A=\frac{a^2+b^2}{2ab}$ 

Cho tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến, M là điểm thay đổi trên AD. Gọi N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, AC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PD.

1. Xác định vị trí của M để tam giác ABH có diện tích lớn nhất.

2. Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.

Hình: 

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3.

CMR $\frac{a^{2}(b+1)}{a+b+ab}+\frac{b^{2}(c+1)}{b+c+bc}+\frac{c^{2}(a+1)}{c+a+ca}\geq 2$

Ta có

$\frac{x}{x^2+1}-\frac{18x}{25}-\frac{3}{50}=\frac{-(4x+3)(3x-1)^2}{50(x^2+1)}\leq 0$

Suy ra

$\frac{x}{x^2+1}\leq\frac{18x}{25}+\frac{3}{50}$

Tương tự, rồi cộng lại có

$\sum\frac{x}{x^2+1}\leq\sum(\frac{18x}{25}+\frac{3}{50})=\frac{18}{25}\sum x+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}$

Dấu $"="$ xảy ra khi

$x=y=z=\frac{1}{3}$

Vậy ...

hướng suy nghĩ của lời giải này là gì ? có vẻ thiếu tự nhiên

Cho x,y,z > 0 và x+y+z=1

Tìm GTLN $\frac{x}{1+x^2} + \frac{y}{1+y^2} + \frac{z}{1+z^2}$

$(1)\Leftrightarrow 2y^3+y=2(\sqrt{1-x})^3+\sqrt{1-x}$

Vì sao ạ ?

Giải hpt
1. $\left\{\begin{matrix} x^3-6x^2+12x-7=y\\ -x^3+9x^2-19x+11=y^3\end{matrix}\right.$
 

2. $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2016\\ x^2+y^2+z^2=2016^2\\ x^3+y^3+z^3=2016^3\end{matrix}\right.$

3. $\left\{\begin{matrix} x^5+xy^4=y^{10}+y^6\\ \sqrt{4x+5}+\sqrt{y^2+8}=6\end{matrix}\right.$

4. $\left\{\begin{matrix} 2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}\\ \sqrt{2y^2+1}+y=4+\sqrt{x+4}\end{matrix}\right.$

Cho a, b ,c ,d là các số thực thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} ac-a-c=b^2-2b\\ bd-b-d=c^2-2c\end{matrix}\right.$

$b, c\neq 1$
CMR $ad+b+c=bc+a+d$

GPT $|x-2011|^{2011}+|x-2012|^{2012} = 1$

GPT $\sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}+\sqrt{x^{2}+x+\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2}(2x^3+x^2+2x+1)$

câu 1, 2 là trong đề thi chuyên toán TP HCM năm 2007 - 2008 và đã có ở đây

Câu 2 ( 1b ở link ) cách giải không xảy ra dấu đẳng thức

1, CMR với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có BĐT $x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\geq x(y+z+t)$
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

2. CMR với mọi số thực a , b khác 0 luôn có BĐT $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+4\geq 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$
3.Với số thực a,b không âm thỏa mãn $a^2 + b^2 =4$ , tìm GTLN của $M = \frac{ab}{a+b+2}$

Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác

CMR $b^{2}x^{2}+(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}x + c^{2} = 0$ vô nghiệm

GPT $\frac{2x}{3x^{2}-5x+2}+\frac{13x}{3x^{2}+x+2} = 6$

Cho x thuộc R thỏa mãn x > 1. CM

$\frac{x^{4}+1}{x^{3}-x}\geq 2\sqrt{2}$

CM

1. $2(a^{4}+b^{4})\geq ab^{3}+a^{3}b+2a^{2}b^{2}$   $\forall a,b$

2. $\sqrt{a^{2}-b^{2}}+\sqrt{2ab-b^{2}}> a$ với $a>b>0$