Let $S=\{1,2,3,\ldots,2012\}.$ We want to partition $S$ into two disjoint sets such that both sets do not contain two different numbers whose sum is a power of $2.$ Find the number of such partitions

Tìm tất cả các sô nguyên dương n sao cho tồn tại n số nguyên dương liên tiếp có tổng là một số chính phương.

Viết 2017 số trên bảng: $-\frac{1008}{1008},-\frac{1007}{1008},...,-\frac{1}{1008},0,\frac{1}{1008},\frac{2}{1008},...,\frac{1007}{1008},\frac{1008}{1008}$

Chúng ta thực hiện quy trình sau: Xóa hai số bất kì trên bảng x, y, sau đó viết thêm số x+7xy+y. Sau 2016 bước còn lại một số. Hỏi số đó là gì? (HOMC 2017)

Viết 2017 số trên bảng: $-\frac{1008}{1008},-\frac{1007}{1008},...,-\frac{1}{1008},0,\frac{1}{1008},\frac{2}{1008},...,\frac{1007}{1008},\frac{1008}{1008}$

Chúng ta thực hiện quy trình sau: Xóa hai số bất kì trên bảng x, y, sau đó viết thêm số x+7xy+y. Sau 2016 bước còn lại một số. Hỏi số đó là gì? (HOMC 2017)

Cho x, y, z $\in [0;2]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=$\frac{1}{8}.(2-x)(2-y)(4-z)+\frac{x}{y+z+2}+\frac{y}{z+x+2}+\frac{z}{x+y+2}$

Cho hai đường tròn (O), (O') có tiếp tuyến chung ngoài AB. AB cắt OO' tại G. Một đường thẳng qua G cắt  (O), (O') tại E, F và D, CKhi đó ta có AB²=FD.EC(Giả sử bán kính đường tron O lớn hơn bán kính đường tròn O' và C, D, E, F theo thứ tự)

Trong mặt phẳng có các hình tam giác trong đó bất kì bốn tam giác nào cũng có đỉnh chung. Chứng minh rằng tất cả các tam giác như vậy đều có một đỉnh chung

Một bộ bách khoa từ điển gồm 10 quyển, chúng được sắp trên giá hoặc là vào đúng thứ tự của nó được ghi trên giá sách hoặc là chỗ bên cạnh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp đặt như vậy có thể được

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a²+b²+c²+abc=4. CMR:

                                                   $a+b+c\leq 3$

$I$ thuộc đường tròn dường kính $OK$.

Bài này hỏi thêm vài ý:

c) Chứng minh rằng $N,I,C$ thẳng hàng

d)  giao của tiếp tuyến tại $C,D$ của $(O)$ chạy trên một dường cố định khi $M$ di dộng trên $D$.

e) $OM$ cắt $(O)$ tại $P$, $PN$ cắt $MA,MB$ tại $R,S$. Chứng minh $BR,AS,NI$ đồng quy.

Giải câu d, e đi, mình chưa có ý tưởng.

Với m, n là các số nguyên dương, và a là số nguyên dương khác 1 thì $gcd(a^{m}-1,a^{n}-1)=a^{gcd(m,n)}-1$

Cho hai số nguyên dương a, b sao cho 0<a²+b²-2017ab<2017. CMR:

     a²+b²-2017ab là số chính phương.

Tìm số tự nhiên $n$ de: $5^n+n^2+88$ là số chính phương.

Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc AB, AC lần lượt tại M, N. Vẽ đường trung bình DE song song AB. Đường phân giác góc B cắt DE tại P. CMR: M, N, P thẳng hàng.

Đề hấp dẫn.

Với mọi x thuộc R, x thuộc (2,1; 5,4) suy ra x thuộc (2;6) đúng hay sai, vì sao?

Cho các số dương a, b, x, y thỏa mãn xy=ax+by. CMR:

                          $x+y\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}$

Một tam giác có độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 3 và số đo diện tích cũng là số tự nhiên. CMR: Tồn tại một đường cao của tam giác chia tam giác đó thành hai tam giác nhỏ mà độ dài các cạnh của hai tam giác nhỏ cũng là số nguyên.

Nếu một tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên thì số đo diện tích có thể là số chính phương hay không?

Cho điểm A cố định thuộc (O; R). Hai dây cung thay đổi AB, AC thỏa mãn AB.AC=3R^2. CM:

a) BC tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.

b) Xác định vị trí các dây AB, AC để diện tích tam giác ABC đạt Max.

Lời giải câu c bài Hình của thầy Nguyễn Lê Phước

   

 

 

Spoiler

Nhìn lời giải chất quá ạ

Sao khong mo duoc.

Tim cac so thuc x thoa man $x+\sqrt{2018} , \frac{7}{x}-\sqrt{2018}$ la cac so nguyen.

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{2}-xy=2 & & \\ & &x^{3}=x+y\end{matrix}\right.$

Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thay đổi trên cạnh BC sao cho $\angle BAD=\angle CAE$ (D nằm giữa B, E). Gọi K là hình chiếu của B trên AD, L là hình chiếu của C trên AE. Gọi M là trung điểm BC. CMR: đường tròn ngoại tiếp $\Delta MKL$ luôn đi qua một điểm cố định.