Lâu lâu góp 1 bài cho vui.

Bài 122: Tìm nghiệm nguyên của pt x³-x²y +2x-3y-5=0

Rút y theo x y=$\frac{x^{3}+2x-5}{x^{2}+3}=x-\frac{x+5}{x^{2}+3}$

do x,y nguyên nên x+5 chia hết cho $x^{2}$+3

suy ra $x^{2}$-25 chia hết cho $x^{2}$+3...

Bài 108:Cho p là số nguyên tố, p>3; $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$. Chứng minh rằng $2^{n}-2\vdots n$ (có thể dùng định lý Fermat bé)

n là số tự nhiên vì $4^{2}-1$ chia hết cho 3

xét n-1 = $\frac{4^{p}-4}{3}$

do p nguyên tố lớn hơn 3 nên áp dụng định lí Fecma ta có

$4^{p}-4 \vdots p$ mà .$4^{p}-4 \vdots 2 $  (2,p)=1 nên $4^{p}-4 \vdots 2p$

do (2p,3)=1 nên n-1 chia hết cho 2p

suy ra $2^{n-1}-1 \vdots 2^{2p}-1 =>2^{n}-2 \vdots 2^{2p}-1 \vdots n$

Bài 101 : Tìm các cặp số có 3 chữ số thỏa $\overline{abc}+ \overline{def}$ chia hết cho 498 và $\frac{\overline{abc}}{\overline{def}}$ chia hết cho 5 

Đặt $\frac{\overline{abc}}{\overline{def}}$=k (k nguyên dương) suy ra k chia hết cho 5

k=5 thì abc+def=6def chia hết 498 nên def chia hết 83 suy ra (abc,def)=(166,830)

k>=10 thì abc có 4 chữ số (loại)

Bài 104: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x^{2y^{2}+1}+2x^{2(y^{2}+1)}+x^{2y^{2+3}}-4x^{2(y^{2}+2)}+x^{2y^{2}+5}+10=0$.

xét nếu x chia hết cho 3 thì vt chia 3 dư 1 vô nghiệm

nếu x không chia hết cho 3 thì $x^{2}$ chia 3 dư 1 suy ra vt chia 3 dư 1 vô nghiệm

Vậy pt vô nghiệm

Bài 102: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $1987x^{2}+1988y^{2}=3000-2x^{2}y^{2}$.

 

x=0 không tồn tại y nguyên thỏa mãn

$x^{2}$=1 thì cũng không tồn tại y nguyên thỏa mãn

nếu $x^{2}$ >=4 thì vt>=4.1987=7948>3000>=VP

suy ra pt vô nghiệm 

Bài 38: Tìm tát cả các số tự nhiên $n$ sao cho $(n-1)!$ chia hết cho $n$.

n=1 thỏa mãn và n=4 không thỏa mãn. Xét n>1 và n khác 4

Từ gt suy ra n là 1 hợp số => n=pq trong đó p,q là các số nguyên dương thỏa mãn $2\leq p,q\leq \begin{bmatrix} \frac{n}{2} \end{bmatrix}$

Trường hợp 1: Nếu p khác q thì trong tích (n-1)! chứa cả 2 số p, q nên (n-1)! chia hết n

Trường hợp 2: Nếu p=q thì p,q>2 trong tích (n-1)! chứa cả p,2p nên (n-1)! chia hết cho n

Vâyj n =1 hoặc là hợp số khác 4

Bài 39: Tìm a,b,c nguyên tố thỏa mãn (a+1)(b+2)(c+3)=4abc 

Bài 38: Tìm ba số nguyên tố $p,q,r$ sao cho $p^{q}+q^{p}=r$.

Đây  là bài 12 đã được giải ở trên rồi nhé

Bài 33: Tìm số nguyên tố $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{ab}, \overline{cd}$ là các số nguyên tố và $b^{2}=$\overline{cd}$+b-c$

$\bar{ab}, \bar{cd}$ nguyên tố nên b,d lẻ và khác 5

Do $b^{2}=\bar{cd} +b-c=9c+d+b\geqslant 9+1+1=11 \Rightarrow b>3 th1 b=7 thì 9c+d=42 => d \vdots 3=> d=3 ; 9 d=3 =>c không tồn tại d=9 thì c không tôn tại th1 b=9 => 9c+d=72 => d\vdots 9 =>d=9,c=7,a=1,5,7$

mà $\bar{abcd}$nguyên tố nên là 1979

 

TOPIC xấu đi vì những reply kiểu này đấy. Thay vào đó, các bạn có thể trả lời một bài toán cụ thể rồi sau đó trình bày ý kiến của mình về một cái gì đó ở dưới mà theo cách: P/S giống mình đây.

 

 

Bạn làm loãng TOPIC này ^^ nếu ai làm được thì đã gõ đáp án lên rồi.

Rút kinh nghiệm nhé

 

Bài này đã có người làm rồi bạn không được làm lại. VÀ PHẢI GÕ LATEX

Các lỗi trên mong hai bạn cùng các bạn khác phải rút kinh nghiệm để TOPIC đẹp, chất lượng hơn.

P/S: TOPIC tiếp tục nhận các bài số học các bạn đóng góp. Cảm ơn các bạn nhiều.

 

Mình sẽ rút kinh nghiệm. Cam on bạn Tea Coffee đã góp ý

Còn 1 th khá thú vị là a-2=1 và a+2= 3^k nhưng đáp án của bạn đúng rồi

1= $3^{0}$ mà bạn

$PT<=>x^{3}y^{3}(xy-x^{2}-y)=-216$ xét ước là được.

Để ý $(xy)^{3}$ là ước của $216$ and là một số lập phương

Vẫn còn 10 th bạn T nà ^-^

Bài 22: Tìm số tự nhiên n cho n^2 - 2006n và 3^n + 4 là các số chính phương

 

Đặt $3^{n}+4=a^{2}$ với a là số nguyên dương

suy ra$ 3^{n}$=(a-2)(a+2)

suy ra a-2=$3^{m}$, a+2=$3^{k}$

suy ra 4=$3^{k} -3^{m}$

k tồn tại k,m thỏa mãn hay không tồn tại n thỏa mãn

Mình k chắc đúng k vì chưa sử dụng hết gt

Phải xét 7 chứ nhỉ 

nhưng trường hợp =3 và =9 thì suy ra 3 cái bằng nhau =1 hoặc =3 rồi thử lại

5 cái còn lại giả sử x>=y>=z rồi tìm trực tiếp thôi 

216 có đến 32 ước Tea Coffee a. Có cách nào ngắn hơn k

Bài 21 : 

Giải phương trình trên tập Z+ : a^3 + b^3 + c^3= (a+b+c)^2

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geqslant (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow 3<=a+b+c\leqslant 9$

sau đó xét từng trường hợp a+b+c 

Ta chứng minh: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{6}{x+y+z}\geq \frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{6}{x+2\sqrt{yz}}\Leftrightarrow (\sqrt{y}-\sqrt{z})^{2}(\frac{1}{\sqrt{yz}}-\frac{6}{(x+y+z)(x+2\sqrt{yz})})$

Bạn ơi hình như đây phải là 1/yz-6/... chứ k phải căn yz

Bạn ơi cái dòng đầu tiên sai rồi

cô si dưới mẫu thì bị đổi chiều chứ? cái chỗ 6/x+y+z ấy

Cho $p,q$ là các số nguyên tố. Đặt $A=p^2+3pq+q^2$

a) Tìm $p,q$ để A là số chính phương

b) Tìm $p,q$ để A là lũy thừa của $5$

(nguồn: Star education)

b) Đặt A=$5^{n} (n >=1)$

n=1 không tồn tại p,q thỏa mãn

n>=2 ta có A=$(p-q)^{2}+5pq=5^{n}$

=>$(p-q)^{2}\vdots 5$

=> p-q chia hết cho 5

=>$(p-q)^{2}\vdots 25$

suy ra pq chia hết cho 5 vì n>=2

suy ra 1 trong 2 số bằng 5. giả sử đó là p

mà p-q chia hết cho 5 nên số còn lại cũng =5. vậy p=q=5

Bài 12 

do p,q nguyên tố suy ra r>=4 nên r lẻ

suy ra 1 trong 2 số p hoặc q chẵn. Không mất tính tổng quát giả sử q chẵn mà q nguyên tố nên q=2

ta có $p^{2}+2^{p}=r$ đặt p=2k+1( k là số nguyên dương)

thì $4^{k}.2+(2k+1)^{2}=r$

Nếu p=3 thì r=17 thỏa mãn

Nếu p>3 thì $p^{2}$ chia 3 dư 1 $4^{k}.2$ chia 3 dư 2 suy ra r chia hết cho 3

suy ra r=3 suy ra k tồn tại p thỏa mãn

vậy (p,q,r)=(2,3,17) (3,2,17)

Bạn conankun ơi, hình như bài 1 là suy ra 1-2ab=0 suy ra vô nghiệm luôn chứ

Bài 9:

Xét x,y không âm 

từ hệ phương trình suy ra p(p-1)=2(y-x)(y+x)

Do $y^{2}> x^{2} \Rightarrow y>z (1)$

mà $p^{2}+1=2y^{2}>y^{2}+1 \Rightarrow p^{2}>y^{2} \Rightarrow p>y>x (2)$

từ (1),(2) suy ra 0<y-x)<p suy ra x+y chia hết cho p ( vi p(p-1)=2(y-x)(y+x))

mà x,y<p nên 0<x+y<2p nên x+y=p suy ra 2(y-x)=p-1

suy ra 2(x+y-2x)=p-1

=> 2(p-2x)=p-1

suy ra x=(p+1)/4

suy ra $(\frac{p+1}{4})^{2}=\frac{p+1}{2}$

suy ra p=7 

$18^{4}$ có tận cùng là 76 

76 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng  76 nha

 

2) Cho 

pp là số nguyên tố lớn hơn 33.CMR: 2017−p22017−p2 chia hết cho 2424

3) Giải phương trình nghiệm nguyên dương: x3+y3−9xy=0x3+y3−9xy=0

4) Cho a,b,ca,b,c nguyên dương thỏa mãn a2+b2=c2a2+b2=c2.CMR: abab chia hết cho a+b+ca+b+c

2. do P nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ và không chia hết cho 3 

suy ra $p^{2}$ chia 3, chia 8 dư 1

suy ra 2017- $p^{2}$ chia hết cho 3,8 mà (3,8)=1 nên chia hết cho 24

3. $pt \Leftrightarrow x^{3}+y^{3}=9xy   x^{3}+y^{3} >=xy(x+y) \Rightarrow 9xy>=xy(x+y) \Rightarrow 9>=x+y>=2  vì x,y nguyên dương sau đó xét từng th của x+y$

4. theo gt $(a+b)^{2}-2ab-c^{2}=0 \Rightarrow (a+b+c)(a+b-c)=2ab$

do a+b+c và a+b-c cùng tính chẵn lẻ nên cả 2 cùng chẵn suy ra $\frac{a+b-c}{2}$ nguyên

suy ra $(a+b+c)(\frac{a+b-c}{2})=ab \Rightarrow ab \vdots a+b+c$

https://diendantoanh...-n-thẳng-hàng/ 

lời giải đã được đăng ở đây bạn nhé

Anh ơi cho em hỏi nếu a=b=-4 thì sao ạ?

2n -3 chia chia hêt cho psuy ra 6n -9 chia hết cho p

3n+15 chia hết cho p suy ra 6n + 30 chia hêt cho p

suy ra 6n+30 - 6n +9 chia hết cho p 

suy ra 39 chia hết cho p mà p ngto có 2 chu so nen p=13