$1.$Cho $x,y,z \in N^*$ và $2^x-1=y^z$ và $x>1$. Chứng minh $z=1$.

$2.$Chứng minh rằng $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số với mọi số nguyên dương $n$.

Tìm $x \in Z $ để $ B = x^2 - x +13$ là số chính chính phương

Tìm $n$ để $E=(n^2-15)^2+64$ là số nguyên tố

Đề có sai ko bạn?

Đề mình sửa rồi ạ 

Chứng minh $C$ là số chính phương

\[C = \underbrace {111\ldots 1}_{2n} + \underbrace {444\ldots 4}_n + 1\]

Tìm $p,q$ là các số nguyên tố để $p^q.q^p=(2p+q+1)(2q+p+1)$

Cho $x,y$ là số nguyên và $B=x(x-y)(x+y)(x+2y)+y^4$. Chứng minh $B$ là số chính phương

Cho $a,b>1$ và $|a-b|<1$. Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}<3$

Giải phương trình lượng giác

a) $3tan2x - \frac{3}{cos2x} -2 \frac{1-cotx}{1+cotx}+2cos2x =0$

b) $\frac{(cosx -1)(2cosx -1)}{sinx}=1-sin2x+2cos^2x$

Giải phương trình

$cosx\sqrt{\frac{1}{cosx}-1}+cos3x\sqrt{\frac{1}{cos3x}-1}=1$

Cho các số thực $x,y,z$ không âm đôi một phân biệt. Tìm $Min$ của

$P=(x^2+y^2+z^2)[\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}]$

Bài hình (Nguồn: Thầy Lê Hữu Phước )

Đề thi thử chuyên KHTN lần 4 vòng 1

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $2(x^2+y^2)=1+xy$. Tìm Max và Min của $P=7(x^4+y^4)+4x^2y^2$

Gọi $v\,,w\,\,\,(v< w)$ là 2 nghiệm của phương trình: $2\,u^{2}- 2\,u- 1= 0$

 

 

Khi đó:

 

 

$a^{2}+ b^{2}+ x^{2}+ y^{2}+ b\,x+ ay- \sqrt{3}\,(a\,x- by)$

 

 

$= -\,vw\,[(v\,x+ wy+ a+ b)^{2}+ (-vy+ w\,x- a+ b)^{2}]\geqq 0$

Bạn có thể giải thích kĩ về cách làm của bạn được không ? Mình không hiểu cho lắm   

Cho các số thực $a,b,x,y$ thỏa mãn $ax-by=\sqrt{3}$. Tìm Min của $A=a^2+b^2+x^2+y^2+bx+ay$

Bài 19:

Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} \ge \frac{9}{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}$

 (Sưu tầm)

P/s: bài này đừng giải theo kiểu Iran 1996

Chém tạm bài này vậy

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có

$(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}]\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geq (\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}\geq \frac{9}{4(a^2+b^2+c^2)}$$(Q.E.D)$

P/s: mọi người nên hạn chế post bài mới nên giải thêm các bài toán đã được đăng mà chưa có lời giải để tránh làm loãng Topic

Đạo hàm

Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}$ 

$f^{'}(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x+1}}-\frac{2x-1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}\Rightarrow f^{'}(x)=0$

$\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}=(2x-1)\sqrt{x^{2}-x+1}$

$\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}=(2x-1)\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$$\Leftrightarrow x=0$

(không thỏa mãn). Nên $f^{'}(x)$ vô nghiệm mà $f^{'}(0)=1>0$ nên $f^{'}(x)>0$

Đến đây ta có: $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=1;\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-1$

Vậy để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1<m<1$

Cho mình hỏi làm sao để từ $f(x)$ có thể suy ra được $f'(x)$ vậy ?

Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (2x-1)\sqrt{x+y}=(6-x-y)\sqrt{2-x} & \\ y+3+2\sqrt[3]{12x^2+3xy-18x}=(x-1)^3 & \end{matrix}\right.$

Cho tam giác $ABC$, $G$ là trọng tâm của tam giác, $a,b,c,S$ lần lượt là độ dài các cạnh, diện tích tam giác

CMR

$1.$$cotC-cotAGB=\frac{a^2+b^2+c^2}{6S}$

$2.$$cotA-cotBGC\geq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Tìm $x;y$ biết $\sqrt{8-x^2}+\sqrt{2-y^2}= 6-(x+y)$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng

$(3a^2+1)(3b^2+1)(3c^2+1)\geq 64$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^3-x^2+x+y-2=0 & \\ y^3-y^2+y+2z-3=0 & \\ z^3-z^2+z+3x-4=0 & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^3-x^2+x+y-2=0 & \\ y^3-y^2+y+2z-3=0 & \\ z^3-z^2+z+3x-4=0 & \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng

$$ab+bc+ca\geq 3+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$$