Cho $\Delta ABC$.

Lấy trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt các điểm C₁, A₁,B₁ sao cho 

$\frac{A_{1}B}{A_{1}C}=\frac{B_{1}C}{B_{1}A}=\frac{C_{1}A}{C_{1}B}=k$ (k>o)

Lấy trên các cạnh B₁C₁,C₁A₁,A₁B₁ lần lượt là các điểm A₂, B₂, C_{2 sao cho} 

$\frac{A_{2}B_{1}}{A_{2}C_{1}}=\frac{B_{2}C_{1}}{B_{2}A_{1}}=\frac{C_{2}A_{1}}{C_{2}B_{1}}=\frac{1}{k}$

a) Chứng minh rằng AA₂, BB₂, CC₂ đồng quy

b) Định k để $S_{A_{2}B_{2}C_{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất

1) Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq\left ( \frac{a+2b}{3} \right )^{4}+\left ( \frac{b+2c}{3} \right )^{4}+\left ( \frac{c+2a}{3} \right )^{4}$

2) Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{a^{10}+b^{10}}{a^{6}+b^{6}}}+\sqrt{\frac{b^{10}+c^{10}}{b^{6}+c^{6}}}+\sqrt{\frac{c^{10}+a^{10}}{c^{6}+a^{6}}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$.

Các bạn có thể chứng minh bằng BĐT Holder được không?

tại sao $\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}{2(ab+bc+cd+da+bd+ac)}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{3}$

Cho a,b,c,d>0 thỏa ab+bc+cd+da=1.

Chứng minh rằng: 

$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{c+d+a}+\frac{c^{3}}{d+a+b}+\frac{d^{3}}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}$

1) Tìm tất cả các hàm f:N*→N* thỏa: f(n)+f(n+1)+f(f(0))=3n+1 ,∀n∈N

2) Tìm tất cả các hàm f:Z→Z thỏa: 

$f(x^{3}+y^{3}+z^{3})=f^{3}(x)+f^{3}(y)+f^{3}(z), \forall x,y,z\epsilon Z$

1) Tìm tất cả các hàm f : N*→N* thỏa:

f(n)+f(n+1)+f(f(0))=3n+1 ,∀n∈N

2) Tìm tất cả các hàm f: Z→Z thỏa: 

$f(x^{3}+y^{3}+z^{3})=f^{3}(x)+f^{3}(y)+f^{3}(z)$, $\forall x,y,z \epsilon Z$

1)Cho a,b,c>0. CMR:

$\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{c^{3}}+\frac{c^{3}}{a^{3}}\geq\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}$

2) Cho x,y,z>0 thỏa xy+yz+zx=xyz. CMR:

$\frac{x^{4}+y^{4}}{xy(x^{3}+y^{3})}+\frac{y^{4}+z^{4}}{yz(y^{3}+z^{3})}+\frac{z^{4}+x^{4}}{zx(z^{3}+x^{3})}\geq 1$

Cho a₁, a₂,...,a_n > 0 và thỏa $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}+1}=1$.

Chứng minh rằng: $a_{1}.a_{2}...a_{n}\geq (n-1)^{n}$.

Cho a₁, a₂,...,a_n  > 0. và thỏa $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}+1}=1$

Chứng minh rằng: $a_{1}.a_{2}...a_{n}\geq (n-1)^{n}$