Tìm GTLN của biểu thức P = $\frac{2(2ab+ac+bc)}{1+2a+b+3c}+\frac{8-b}{b+c+b(a+c)+8}+\frac{b}{\sqrt{12a^2+3b^2+27c^2}+8}$

Với $0\leqslant a\leqslant 1; 0\leqslant b\leq 2; 0\leqslant c\leqslant 3$

Tìm GTLN, GLNN của biểu thức:

1) $\frac{\sqrt{5-4x}-\sqrt{1+x}}{\sqrt{5-4x}+2\sqrt{1+x}+6}$

2) $9x\sqrt{1+x^2}+13x\sqrt{1-x^2}$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp đường tròn tâm I, các tiếp tuyến với đường tròn tại A và C cắt tiếp tuyến có tiếp điểm B tại các điểm tương ứng M(-4;1) và N. Đường cao BH của tam giác ABC có phương trình x-y-1=0 ( H thuộc AC ). Biết rằng K(3;-1) thuộc đường thẳng NH, hãy viết phương trình đường thẳng AC

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} 2x^2-2xy-y^2=2 & & \\ 2x^{3}-3x^2 - 3xy^2-y^3+1=0& & \end{matrix}\right.$

Với a,b,c là ba số dương. Tìm GTLN

$P=\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}-\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy+1}} & & \\ \sqrt{(2x-2)(y+5)}+\sqrt{(2y-2)(x+2)}-3(\sqrt{y+5}+\sqrt{x+2})=3 & & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực dương a,b,c mà abc=1. Chứng minh rằng :$\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leqslant 1$

Cho x,y,z >0 chứng minh rằng: $(1+x)(1+y)(1+z)\geqslant (1+\sqrt[3]{xyz})^3$

Cho x,y,z là ba số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

$[(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3].[\frac{1}{(x-y)^3)}+\frac{1}{(y-z)^3}+\frac{1}{(z-x)^3}]\leqslant \frac{-45}{4}$

Cho tam giác ABC không đều. Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC. AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm D khác A. Chứng minh rằng: $\angle AIO \geqslant 90$ độ <=> 2sinA $\geqslant$ sinB + sinC

x,y,z là 3 số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{\left ( y+z-x \right )^2}{(y+z)^2+x^2}+\frac{\left ( x+z-y \right )^2}{(x+z)^2+y^2}+\frac{\left ( x+y-z \right )^2}{(x+y)^2+z^2}$

Ta luôn có: $\sqrt{2(x+y)} \geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y$

từ pt1 bạn đó suy ra 1 điều hiển nhiên mà 

$2=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{y+3x}})\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y})\frac{4}{\sqrt{x+3y}+\sqrt{y+3x}}\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y})\frac{4}{\sqrt{2(x+3y+y+3x)}}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}}$

<=> $\sqrt{2(x+y)}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}<=>x=y$

Từ (2) => $x^2+2x+9=4\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3y}$

x=1 là nghiệm, chắc trục căn =))

dòng thứ 3 từ bất đẳng thức sao lại tương đương x=y được.

$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\frac{1}{\sqrt{x+3y}}+\frac{1}{\sqrt{y+3x}})=2 & & \\ x^2+2y+9=4\sqrt{x+3}+\sqrt{19-3y} & & \end{matrix}\right.$

Cho tập hợp X={1;2;3;...;2019}. Chứng minh rằng với ba phần tử khác nhau thuộc X luôn tìm được trong chúng hai số a,b mà $\left [ \sqrt[5]{a} -\sqrt[5]{b}\right ]=0$ với $\left ( \sqrt[5]{x} \right )^5 =x$ với mọi x thuộc R

Tìm hai số nguyên dương x,y thỏa mãn $5^{x}-3^{y}=2$.

Ta có: $\frac{1+a}{1-a}=\frac{(a+b+c+a)}{(a+b+c)-a}=\frac{2a}{b+c}+1$.

Vì vậy, bất đẳng thức đã cho tương đương: $\sum \frac{2a}{b}-\frac{2a}{b+c}\ge 3\iff \sum \frac{ac}{b(b+c)}\ge \frac{3}{2}$.

Thật vậy: Ta có $\sum \frac{ac}{b(b+c)}=\sum \frac{a^2c^2}{abc(b+c)}\ge \frac{(ab+bc+ca)^2}{abc[2(a+b+c)]}=\frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc}\ge \frac{3}{2}(1)$.

Ta có $(1)$ luôn đúng vì $(ab+bc+ca)^2\ge 3abc(a+b+c)\iff \sum (ab-bc)^2\ge 0$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

cảm ơn anh 

 Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\le 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$           

a,b,c>0. a+b+c = 1                                             

$\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leqslant 2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )$

$\frac{1+a}{1-a} + \frac{1+b}{1-b} +\frac{1+c}{1-c} \leq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

a,b,c dương . a+b+c=1

$\frac{1+a}{1-a} + \frac{1+b}{1-b} + \frac{1+c}{1-c} \leq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c} + \frac{c}{a} )$

Bài 3 : Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn $\sum \frac{1}{a}=1$.CMR : $\sum \frac{a^2}{a+bc}\geq \frac{\sum a}{4}$

------------------------------------------

$\sum \frac{a^2}{a+bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+ab+bc+ac}\geq \frac{a+b+c}{4}<=>3(a+b+c)\geq ab+bc+ac$

Ta chứng minh điều đó . Ta có $(a+b+c)=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

Nên $3(a+b+c)\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq ab+bc+ac$(đfcm)

Dấu bằng xảy ra : $a=b=c=3$

có phải bị ngược dấu ở dòng 3 k

bài 1 : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} \geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} \geq \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

$\frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)} \geq \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$

Cộng 3 vế ta có : 

 $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq \frac{(a+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac} +  \frac{(a+b)^2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}  + \frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac}$ = 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} + \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ $\geq$ 2 . 

Mà :  $\frac{c^{2}}{c(a+b+c)} +  \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} +  \frac{b^2}{b(a+b+c)}$ = $\frac{c}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} +  \frac{c^{2}}{c(a+b+c)} + \frac{a^{2}}{a(a+b+c)} + \frac{b^2}{b(a+b+c)}$  $\geq$ 2 

<=> $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ + 1 $\geq$ 2 

<=>  $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} +\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2}+ac+a^{2}} $ $\geq$1

Cách này mình không nhớ nguồn ở đâu nhưng xin phép tác giả cho mình post lại cảm ơn ạ . 

Cảm ơn bạn nhiều nha.

a,b,c thuộc R

a^2+b^2+c^2 =1

a,b,c>0