CMR $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz+1\geq 2(xy+yz+xz)$ với x,y,z là các số dương

Cho $a,b,c$ là các số tự nhiên thỏa $a+2b+3c=100$. Tìm GTLN của $M=abc$
(Nếu có thể thì tim GTNN của M luôn)

bài 1 ta có thể đưa về dạng tổng quát cho n số rùi chạy về 4 số
còn bài 2 ta cm 1 số bên VT bé hơn 1 số bên VP là ra thôi

nếu ta lấy $a=b=2$ và $c=0$ thì bđt trên k đúng rùi

Cho x,y,z là các số dương thỏa xyz=1. CMR:
$\sum \dfrac{1}{(x+1)^{2}+y^{2}+1}\leqslant \dfrac{1}{2}$

Bạn đặt công thức toán giửa cặp thẻ $ $

Bài này trước hết ta CM bđt sau $a^2+b^2+c^2 \ge 3(a^2b+b^2c+c^2a)$ (Bđt này CM bằng cách nhân vế trái của bđt với a+b+c rồi dùng Cauchy 2 số) (1)

Tiếp theo ta dùng Cauchy 2 số cho $\dfrac{a^2}{b}$ vs 9a²b ta sẽ được $\dfrac{a^2}{b}+9a^2b \ge 6a^2$. Tương tự như thế ta sẽ thu được VT+ 9(a²b+b²c+c²a) $\ge 6(a^2+b^2+c^2)$ (2)
Thế (1) ta sẽ được đpcm
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1/3$

P/s: Cảm ơn anh ongtroi đã sửa giúp!

Cho $a,b,c \in \left( {0;1} \right)$. CMR $\sqrt {abc} + \sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le 1$
Giải:
Do $a,b,c \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow 1 - a,1 - b,1 - c$ là những số dương.
Áp dụng BĐT Côsi ta có

$\sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} \le \dfrac{{1 - a + 1 - b + 1 - c}}{3} = 1 - \dfrac{{a + b + c}}{3}$

Mặt khác:

$\dfrac{{a + b + c}}{3} \ge \dfrac{{3\sqrt[3]{{abc}}}}{3} = \sqrt[3]{{abc}} \Rightarrow 1 - \dfrac{{a + b + c}}{3} \le 1 - \sqrt[3]{{abc}} \le 1 - \sqrt {abc} $

Vậy $VT \le \sqrt {abc} + 1 - \sqrt {abc} = 1$ (đpcm)

Cái này là căn bậc 2 sao bạn dùng AM-GM 3 số được bạn

Bài này điểm rơi của nó là $a = b = c = \dfrac{1}{3}$ hoặc $a = b = c = \dfrac{2}{3}$

Theo em thì ta có thể chia đoạn đường trên làm 4 chặng với 3 chặng đầu dài 333 km và chặng cuối dài 1 km
Sau khi đi chặng 1 thì để lại nơi tập kết giữa 2 chặng 334 quả rồi quay về lấy thêm cho đủ 1000 quả rồi đi tiếp cho đến khi nào hết số quả
Tương tự như những chặn còn lại
Không biết đúng k nữa

Tìm số nguyên tố P sao cho $P = {n^n} + 1$ với $n \in {N^*}$ và P có không quá 19 chữ số

bài này có rất nhiều nghiệm nên bạn có thể nói rõ đề hơn được ko

Cho A= $(2^{9})^{1945} $ và $ S(A) = a; S(a) = b; S(b) = c.$ Tìm c ?
Trong đó S(m) là kí hiệu tổng các chữ số của m

Ta có (2^9)^1945 = (8^3)^1945 < 10^5835 nên số chữ số của A k quá 5835 số
Ta có a < 9 * 5835 = 52515 nên b < 5 + 4*9 = 41 và c < 4 + 1*9 =13
Mà ta lại có A đông dư 8 (mod 9) nên c cũng phải đồng dư 8 (mod 9)
Từ đó ta có được c = 8

Ch0 x, y là 2 số thực. Tìm Min:
A=|1-x+y|+|1+x-y|+|x+y+2|

bài này bạn thử dùng bất đẳng thức sau |a|+|b| |a+b| vs dấu = xả ra ab 0
và |a|+|b| 0

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{a+b+c} $
Tính $ P = \dfrac{3}{4} +( a^{8}- b^{8})( b^{9}+ c^{9}) ( c^{10}- a^{10} ) $

bài này thì bạn chuyển :frac{1}{a+b+c} qua bên VT rùi thực hiện phép cộng giữa :frac{1}{a} vs :frac{1}{b} và phép trừ giữa :frac{1}{c} vs :frac{1}{a+b+c} thì sẽ xuất hiện nhân tử chung rùi sau đó phân tích thêm 1 tí là ra thui

đề thế này hả bạn, gpt :
$ \dfrac{(x-1)^2}{x^2}+\dfrac{(x-1)^2}{(x-2)^2}=\dfrac{40}{9} $

bài này bạn đặt ẩn phụ để tính
Đặt a = (x-1)^2
rồi chuyển qua rùi tính tiếp

Tìm số tự nhiên n sao cho n^2 + 10n + 1964 là số chính phương

theo tôi bài này giải như sau:
Ta có n^{2} + 10n + 1964 = k^{2} (k Z)
(n+5)^{2} +1939 = k^{2}
Từ đó chuyển qua rùi phân tích 1939 thành nhân tử rồi dùng đòng nhất các thừa số thì ok thui

Mấy anh cho em biết tìm Min Max bằng cách lập delta được ko
Cảm ơn mấy anh nhiều

giup' em bai` nay` voi'

Giai? pt

(6x+7)^{2}(3x+4)(x+1)=6

Ta có a + b +...+n chia hết cho 3

Vậy ta có thể suy ra được là a^{3k} + b^{3k} +...+ n^{3k} chia hết cho 3 ko

Chứng minh giùm em luôn (nếu có thể)

co' ai biet' cong thuc tinh "r" cua duong` tron` noi. tiep' trong tam giac' ko?

Theo em thì nó sẽ ko bao giờ gặp nhau

em cũng chỉ mới tính qua hình cũng chỉ có 8 cái

vậy mấy anh tính cả tam giác ABC chua?

CMR 1+1=2

Ta có :sqrt{1^3+2^3+3^3} =1+2+3
Ta lũy thừa tất cả lên 2
Từ đo suy ra ta có 1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2