Cho $x + y = 1$, $x;y >0$

Tìm min của $P = 1/xy + 1/x^2 + y^2$

cách làm cũng tương tự thôi bạn

uk cảm ơn bạn : )

Cho $a;b;c;d$ dương thỏa 

$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} + \frac{1}{d+1}  \geq 3$

CMR: $abcd \leq \frac{1}{81}$

Cho 2 số nguyên dương $x;y$ thỏa $x + y = 2013$

Tìm $GTNN$ và $GTLN$ của $P = x( x^2 + y ) + y( y^2 + x )$

Tìm $min$ của :

$A=x^{2}+y^{2}+xy-3x-3y+1996$

Từ điều kiện cho suy ra  $\frac{a}{a\dotplus 1}\geq \frac{1}{b\dotplus 1}\dotplus \frac{1}{c\dotplus 1}\dotplus \frac{1}{1\dotplus d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\left ( 1\dotplus b \right )\left ( 1\dotplus c \right )\left ( 1\dotplus d \right )}}$

Làm tương tự  xong nhân hết vào suy ra điều cần chứng minh

mình ghi lộn đề nka bạn; đề mình đã fix mong bạn thông cảm : (

$cmr \frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq \frac{(x+y+z)^3}{3^3}$

Áp dụng trực tiếp BĐT Holder; ta có :

$\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}=\frac{(x^{3}+y^{3}+z^{3})(1+1+1)(1+1+1)}{3^{3}}\geq \frac{(x+y+z)^{3}}{3^{3}}$

Tương tự với dạng tổng quát 

Bài 1 :
Cho 2 đường tròn $O_1;O_2$ cắt nhau tại $A;B$ có bán kính lần lượt là $1;\sqrt{2}$. Đoạn nối  tâm $O_1O_2=2$. Dây $AC$ thuộc đường tròn $(O_2)$. Tìm độ dài $AC$ sao cho trung điểm của $AC$ nằm trên đường tròn $(O_1)$

Bài 2 :

Cho đường tròn $(O;R)$ có đường kính $AB$ cố định, đường kính $CD$ di động. $BC;BD$ cắt tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ lần lượt tại $E;F$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle ODF;\triangle OCE$ căt nhau tại $G;G\neq O$. Chứng minh $A;B;G$ thẳng hàng

Cho hình vuông $ABCD$ có đường thẳng $d$ di động luôn cắt $AD; BC$ lần lượt tại $E;F$. Chứng minh rằng: nếu đường thẳng $d$ di động thì tổng bình phương của các khoảng cách từ $A;B;C;D$ tới  đường thẳng $d$ là 1 hằng số

$Cho △ABC vuông tại A có $\widehat{B}$=$20^{\circ}$, phân giác trong BI, vẽ $\widehat{ACH}= 30^{\circ}$ về phía trong tam giác ( H thuộc cạnh AB ). Tính $\widehat{CHI}$

Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A}=45^{\circ}$, $BD,CE$ là 2 đường cao, $H$ là trực tâm, $I$ là trung điểm $DE$. Chứng minh: $HI$ đi qua trọng tâm $\triangle ABC$

Đóng góp 2 bài vậy !!

Bài 150 : Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Tìm $GTNN$ của : 
$$Q=\sum \sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}$$
Bài 151 : Cho : $x+y+z=3$; $0\leq x;y;z\leq 2$. Tìm $GTNN;GTLN$ của :
$$A=x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$$

Bài này nhìn số má trâu bò quá!     

 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

 

$Q\geqslant 3\left [ \sqrt[12]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} +\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\right ]$

 

$=3\left [ \sqrt[12]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}+\frac{1}{\sqrt[4]{8}}.\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \right ]+3(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$

 

 Cô si cho biểu thức thứ nhất

 

Biếu thức $(1)$ $\geqslant 2\sqrt[24]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{512abc}}\geqslant 2.\sqrt[24]{\frac{1}{64}}=2.\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$

 

Biểu thức $(2)$ $(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geqslant (1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}-\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$

 

Cộng vế suy ra $Q\geqslant 3(\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+\sqrt{2})$

 

P/s: bài này cồng kềnh tốn bao nhiêu t/g, mà lại còn k biết có đúng k nữa 

Đây là lời giải của mình
Áp dụng BĐT AM-GM
$\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\frac{1}{2}\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}}\sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq \frac{3}{2.\sqrt[4]{2}}$
Chứng minh tương tự với các BĐT còn lại !
Ta xét :
$(1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}})(\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}})\geq (1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}})(\sum \sqrt{\frac{2\sqrt{bc}}{a}})\geq (1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}})(3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{8abc}{abc}}})\geq (1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}}).3\sqrt{2}$
Cộng tất cả vế theo vế thì ta sẽ được :
$\Rightarrow Q\geq \frac{9}{2.\sqrt[4]{2}}+(1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}}).3\sqrt{2}=3(\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+\sqrt{2})$
Dấu $"="$ xảy ra : $\Leftrightarrow a=b=c$
 

Cho $3x^2 + 5y^2=345$

Tìm $x;y$ nguyên ?

1)x²-16/7x-15/7
2)x²+40/7x-9
 

1/

$x^{2}-\frac{16}{7}x-\frac{15}{7}=(x^{2}-3x)+(\frac{5}{7}x-\frac{15}{7})=(x-3)(x+\frac{5}{7})$

2/ Tương tự 1/

$\Rightarrow x^{2}+\frac{40}{7}-9=(x-\frac{9}{7})(x+7)$

Mọi người giúp em mấy bài này với, em mới học lớp 8 thôi:

c/$x^8+98x^4+1$

d/$x^8+14x^4+1$

c/

$x^{8}+98x^{4}+1=x^{8}+98x^{4}+2401-2400=(x^{4}+49)^{2}-2400=(x^{4}+49-20\sqrt{6})(x^{4}+49+20\sqrt{6})$

d/ Tương tự câu c

Mình Đề nghị mấy bài phân tích này làm ra từng bước cho rõ chữ viết kết quả thì đã có phần mềm đây

Huhuhu Mấy bạn nỡ nào nói mình như vậy T.T

Đây là cách nháp của mình, mấy bạn có thể áp dụng kết quả để trình bày ngắn gọn hơn :

$gt\Rightarrow (x+1)(x^{8}-x^{7}-x^{5}+x^{3}+x-1)= (x+1)(x-1)(x^{7}-x^{4}-x^{3}-1)=(x+1)^{2}(x-1)(x^{6}-x^{5}+x^{4}-2x^{3}+x^{2}-x+1)=(x+1)^{2}(x-1)^{2}(x^{5}+x^{3}-x^{2}-1)=(x+1)^{2}(x-1)^{3}(x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1)$

Cho 2 số nguyên dương $x;y$ thỏa $x + y = 2013$

Tìm $GTNN$ và $GTLN$ của $P = x( x^2 + y ) + y( y^2 + x )$

 

Bài 2 : Chứng minh :

$\frac{n}{12}+ \frac{n^{2}}{8}+\frac{n^{3}}{24}$ là số nguyên  với n chẵn . 

Bài 2 :

$gt\Rightarrow \frac{2n+3n^{2}+n^{3}}{24}= \frac{n(n+1)(n+2)}{24}$

Do $n$ chẵn nên $n$ và $n+2$ là 2 số chẵn liên tiếp 

$\Rightarrow n(n+2)(n+1)\vdots 8$

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3

$\Rightarrow n(n+2)(n+1)\vdots 3$

$\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots 24$

$\Rightarrow \frac{n}{12}+\frac{n^{2}}{8}+\frac{n^{3}}{24}$ là số nguyên $(đpcm)$

 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

$\fbox{1}. \ \ (x^2+y^2+z^2)^3+2(xy+yz+xz)^3-3(x^2+y^2+z^2) \\ \fbox{2}. \ \ x^9 -x^7-x^6-x^5+x^4+x^3+x^2-1 \\ \fbox{3}. \ \ x^9-x^7-x^6-x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \\ \fbox{4}. \ \ (x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5 \\ \fbox{5}. \ \ bc(a+d)b-c) - ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-d)$

 

Câu 2 ra : $(x+1)^{2}(x-1)^{3}(x^{4}+x^{3}+2x^{2}+x+1)!?$

Làm từng bước đi bạn

Mình làm trâu bò đó bạn !!?? Được không !? @@!

À có kết quả trên rồi thì có thể giải ngắn gọn hơn bằng cách sử dụng HĐT

Mọi người giúp em mấy bài này với, em mới học lớp 8 thôi:

 

 

f/$3(x^4+x^2+1)-(x^2+x+1)^2$

 

f. $3(x^{4}+x^{2}+1)-(x^{2}+x+1)^{2}=(x^{2}+x+1)(3x^{2}-3x+3-x^{2}-x-1)=(x^{2}+x+1)(2x^{2}-4x+2)=2(x^{2}+x+1)(x-1)^{2}$

Cho ABC trên tia dối tia AB,BC,CA lần lượt vẽ các đoạn thẳng AD,BE,CF sao cho BD = CE = AF. CMR : Nếu tam giác DEF đều thì tam giác ABC đều