Cho hình vuông $ABCD$ có đường thẳng $d$ di động luôn cắt $AD; BC$ lần lượt tại $E;F$. Chứng minh rằng: nếu đường thẳng $d$ di động thì tổng bình phương của các khoảng cách từ $A;B;C;D$ tới  đường thẳng $d$ là 1 hằng số

$Cho △ABC vuông tại A có $\widehat{B}$=$20^{\circ}$, phân giác trong BI, vẽ $\widehat{ACH}= 30^{\circ}$ về phía trong tam giác ( H thuộc cạnh AB ). Tính $\widehat{CHI}$

Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A}=45^{\circ}$, $BD,CE$ là 2 đường cao, $H$ là trực tâm, $I$ là trung điểm $DE$. Chứng minh: $HI$ đi qua trọng tâm $\triangle ABC$

Bài 1 :
Cho 2 đường tròn $O_1;O_2$ cắt nhau tại $A;B$ có bán kính lần lượt là $1;\sqrt{2}$. Đoạn nối  tâm $O_1O_2=2$. Dây $AC$ thuộc đường tròn $(O_2)$. Tìm độ dài $AC$ sao cho trung điểm của $AC$ nằm trên đường tròn $(O_1)$

Bài 2 :

Cho đường tròn $(O;R)$ có đường kính $AB$ cố định, đường kính $CD$ di động. $BC;BD$ cắt tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ lần lượt tại $E;F$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle ODF;\triangle OCE$ căt nhau tại $G;G\neq O$. Chứng minh $A;B;G$ thẳng hàng

Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A}=45^{\circ}$, $BD,CE$ là 2 đường cao, $H$ là trực tâm, $I$ là trung điểm $DE$. Chứng minh: $HI$ đi qua trọng tâm $\triangle ABC$

Cho ABC trên tia dối tia AB,BC,CA lần lượt vẽ các đoạn thẳng AD,BE,CF sao cho BD = CE = AF. CMR : Nếu tam giác DEF đều thì tam giác ABC đều

Đặt $S_{CDE}=2k=>S_{BDE}=5k$ và $S_{BEC}=6k$ do $\frac{CD}{BD}=2/5$

Vì $\frac{DE}{DA}=1/3$ nên $S_{ECA}=4k$

Dễ dàng cm được $\frac{AM}{BM}=\frac{S_{CEA}}{S_{BCE}}=4/6=2/3$ (từ A;B hạ vuông góc xuống CM)

bạn nhầm ở chỗ là $S_{BEC}=6k$ phải là $7k$ nhá nên kết quả cuối là $4/7$ nha bạn 

Cho hình vuông $ABCD$ có đường thẳng $d$ di động luôn cắt $AD; BC$ lần lượt tại $E;F$. Chứng minh rằng: nếu đường thẳng $d$ di động thì tổng bình phương của các khoảng cách từ $A;B;C;D$ tới  đường thẳng $d$ là 1 hằng số

Cho tam giác $ABC$ lấy $D$ trên $BC$ sao cho $\frac{DC}{BC}=\frac{2}{7}$. Trên $AD$ lần lượt lấy $G;E$ sao cho $AG=GE=ED$ , $CE$ cắt $AB$ tại $M$. Tính tỉ số $\frac{AM}{MB}$

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B}=20^{\circ}$, phân giác trong $BI$, vẽ $\widehat{ACH}=30^{\circ}$ ( $H$ thuộc cạnh $AB$ ). Tính $\widehat{CHI}$ ?

Cho Δ ABC có các góc nhỏ hơn 120∘. Vẽ ở phía ngoài ΔABC các tam giác đều ABD, ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng:

a) ∠BMC = 120∘                                b) ∠AMB = 120∘

Các bạn giúp mình câu b nha, câu a mình làm đc rùi, mình không biết viết kí hiệu toán học, chỉ copy vs paste thôi nên chữ nó thế

 

 

 

 

Bạn xem lời giải ở đây nhé..!!!http://diendantoanho...h-∠amb-120circ/

Từ điều kiện cho suy ra  $\frac{a}{a\dotplus 1}\geq \frac{1}{b\dotplus 1}\dotplus \frac{1}{c\dotplus 1}\dotplus \frac{1}{1\dotplus d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{\left ( 1\dotplus b \right )\left ( 1\dotplus c \right )\left ( 1\dotplus d \right )}}$

Làm tương tự  xong nhân hết vào suy ra điều cần chứng minh

mình ghi lộn đề nka bạn; đề mình đã fix mong bạn thông cảm : (

cách làm cũng tương tự thôi bạn

uk cảm ơn bạn : )

Cho 2 số nguyên dương $x;y$ thỏa $x + y = 2013$

Tìm $GTNN$ và $GTLN$ của $P = x( x^2 + y ) + y( y^2 + x )$

Tìm $min$ của :

$A=x^{2}+y^{2}+xy-3x-3y+1996$

$cmr \frac{x^3+y^3+z^3}{3}\geq \frac{(x+y+z)^3}{3^3}$

Áp dụng trực tiếp BĐT Holder; ta có :

$\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}=\frac{(x^{3}+y^{3}+z^{3})(1+1+1)(1+1+1)}{3^{3}}\geq \frac{(x+y+z)^{3}}{3^{3}}$

Tương tự với dạng tổng quát 

Cho $x + y = 1$, $x;y >0$

Tìm min của $P = 1/xy + 1/x^2 + y^2$

Cho $a;b;c;d$ dương thỏa 

$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} + \frac{1}{d+1}  \geq 3$

CMR: $abcd \leq \frac{1}{81}$

Cho $3x^2 + 5y^2=345$

Tìm $x;y$ nguyên ?

Chưa ai làm ra bài 102 hả...???
---------------------------------
@binhmetric: Mọi người và bạn nữa sẽ rất vui nếu bạn tham gia giải quyết nó. Và 1 ai đó sẽ nói đáp lại bạn khi bạn đứng ngoài và nói vọng vào. Chắc bạn biết là ai rồi chứ. @_^

152. Cho góc nhọn xOy, A là 1 điểm nằm trong góc đó. Tìm trên Ox, Oy 2 điểm B, C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất?

157.Cho ABC trên tia dối tia AB,BC,CA lần lượt vẽ các đoạn thẳng AD,BE,CF sao cho BD = CE = AF. CMR : Nếu tam giác DEF đều thì tam giác ABC đều

Bài 101
CMR: nếu 1 lục giác có các góc bằng nhau thì hiệu các cạnh đối diện bằng nhau
Bài 102: Lục giác ABCDEF có số đo các góc là 1 số nguyên và góc A - góc B = góc B - góc C = góc C - góc D = góc D - góc E = góc E - góc F. Giá trị lớn nhất của góc A có thể bằng bao nhiêu?
_
Chú ý ghi số bài nhé bạn .

158/Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B}=20^{\circ}$, phân giác trong $BI$, vẽ $\widehat{ACH}=30^{\circ}$ về phía trong tam giác ( $H$ thuộc cạnh $AB$ ). Tính $\widehat{CHI}$ ?

Bài này nhìn số má trâu bò quá!     

 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

 

$Q\geqslant 3\left [ \sqrt[12]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} +\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\right ]$

 

$=3\left [ \sqrt[12]{\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}+\frac{1}{\sqrt[4]{8}}.\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}} \right ]+3(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$

 

 Cô si cho biểu thức thứ nhất

 

Biếu thức $(1)$ $\geqslant 2\sqrt[24]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{512abc}}\geqslant 2.\sqrt[24]{\frac{1}{64}}=2.\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$

 

Biểu thức $(2)$ $(1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geqslant (1-\frac{1}{\sqrt[4]{8}})\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}-\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$

 

Cộng vế suy ra $Q\geqslant 3(\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+\sqrt{2})$

 

P/s: bài này cồng kềnh tốn bao nhiêu t/g, mà lại còn k biết có đúng k nữa 

Đây là lời giải của mình
Áp dụng BĐT AM-GM
$\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\frac{1}{2}\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}}\sqrt{\frac{b+c}{a}}\geq \frac{3}{2.\sqrt[4]{2}}$
Chứng minh tương tự với các BĐT còn lại !
Ta xét :
$(1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}})(\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}})\geq (1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}})(\sum \sqrt{\frac{2\sqrt{bc}}{a}})\geq (1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}})(3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{8abc}{abc}}})\geq (1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}}).3\sqrt{2}$
Cộng tất cả vế theo vế thì ta sẽ được :
$\Rightarrow Q\geq \frac{9}{2.\sqrt[4]{2}}+(1-\frac{1}{2\sqrt[4]{2^{3}}}).3\sqrt{2}=3(\sqrt[4]{\frac{1}{2}}+\sqrt{2})$
Dấu $"="$ xảy ra : $\Leftrightarrow a=b=c$