Dấu bằng xảy ra khi 2 cái đó cùng âm hoặc cùng dương chứ anh?Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}=\frac{13}{16}+x-y$
$\left\{\begin{matrix} y+\frac{1}{x}=\frac{13}{16}+x-y\\ x^{2}+y^{2}=\frac{97}{36}\\ x<0,y>0 \end{matrix}\right.$
donghaidhtt nội dung
Có 514 mục bởi donghaidhtt (Tìm giới hạn từ 16-05-2020)
#336965 $ \left\{\begin{array}{l}| y+...
Đã gửi bởi
on 17-07-2012 - 19:30
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
#335837 $ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}}+3x{y^{2}}=-49\...
Đã gửi bởi
on 15-07-2012 - 00:42
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
$ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}}+3x{y^{2}}=-49(1)\\ {x^{2}}-8xy+{y^{2}}= 8y-17x(2)\end{array}\right. $
Một cách giải:
$(2)\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+17x=8y(x+1)$
$\Rightarrow (x^{2}+y^{2}+17x)^{2}=(8y(x+1))^{2}$
$\Rightarrow 9x^{2}.(x^{2}+y^{2}+17x)^{2}=9x^{2}.(8y(x+1))^{2}$
$\Leftrightarrow (3x^{3}+3xy^{2}+51x^{2})^{2}=192.x(x+1)^{2}.3xy^{2}$
$\Leftrightarrow (3x^{3}+(-49-x^{3})+51x^{2})^{2}=-(49+x^{3}).192.x(x+1)^{2}$
$\Leftrightarrow (2x^{3}+51x^{2}-49)^{2}=-192x(x+1)^{2}(x^{3}+49)$
$\Leftrightarrow (x+1)^{2}(2x^{2}+49x-49)^{2}=-192x(x+1)^{2}(x^{3}+49)$
$\Leftrightarrow (x+1)^{2}(196x^{4}+196x^{3}+2205x^{2}+4606x+2401)=0$
$\Leftrightarrow (x+1)^{4}(4x^{2}-4x+49)=0$
$\Leftrightarrow x=-1$
Đây là một cách làm từ mathlinks.ro, mọi người đưa ra nhận xét và tồng quát lên nhé.
Tiếp tục cách khác.
Một bài tương tự cho cách trên:
$ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}}+5x{y^{2}}+42 = 0\\ 2{x^{2}}-5xy-5{y^{2}}+x+10y-35 = 0\end{array}\right. $
#335416 $ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}}+3x{y^{2}}=-49\...
Đã gửi bởi
on 13-07-2012 - 22:44
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài hệ này là VMO 2010.
$ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}}+3x{y^{2}}=-49\\ {x^{2}}-8xy+{y^{2}}= 8y-17x\end{array}\right. $
Ko biết đã có chưa?
Bài này mình biết 1 vài cách giải nhưng lời giải không đc tự nhiên lắm. Đăng lên xem có ai có cách nào hay không.
$ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}}+3x{y^{2}}=-49\\ {x^{2}}-8xy+{y^{2}}= 8y-17x\end{array}\right. $
Ko biết đã có chưa?
Bài này mình biết 1 vài cách giải nhưng lời giải không đc tự nhiên lắm. Đăng lên xem có ai có cách nào hay không.
#321925 $ \left\{\begin{matrix} xy(x+y)=6\\ yz(y+z)=12...
Đã gửi bởi
on 03-06-2012 - 05:59
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ $ \left\{\begin{matrix} xy(x+y)=6\\ yz(y+z)=12\\ zx(z+x)=30 \end{matrix}\right.$
#323442 $ \sqrt[3]{162x^{3}+2}+\sqrt{27x^{2}-9x+1}=1$
Đã gửi bởi
on 08-06-2012 - 19:32
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
bài này hình như chưa ai giải, mình đăng lên lại mọi người giải xem sao:
$ \sqrt[3]{162x^{3}+2}+\sqrt{27x^{2}-9x+1}=1$
$ \sqrt[3]{162x^{3}+2}+\sqrt{27x^{2}-9x+1}=1$
#323282 $ \sqrt{x^2+2}+\sqrt{y^2+3}=\dfrac{7}{2}$ và $x...
Đã gửi bởi
on 08-06-2012 - 00:04
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
$ (2)\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}-y$
$(1)\Leftrightarrow \sqrt{(\frac{3}{2}-y)^{2}+2}+\sqrt{y^{2}+3}=\frac{7}{2}\Leftrightarrow \frac{9}{4}-3y+y^{2}+2=\frac{49}{4}-7\sqrt{y^{2}+3}+y^{2}+3$
$ \Leftrightarrow 7\sqrt{y^{2}+3}=3y+11\Leftrightarrow 49(y^{2}+3)=9y^{2}+66y+121$
$ \Leftrightarrow 40y^{2}-66y+26=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{13}{20}\Leftrightarrow x=\frac{17}{20} \end{bmatrix}$
vậy hệ có 2 nghiệm...
$(1)\Leftrightarrow \sqrt{(\frac{3}{2}-y)^{2}+2}+\sqrt{y^{2}+3}=\frac{7}{2}\Leftrightarrow \frac{9}{4}-3y+y^{2}+2=\frac{49}{4}-7\sqrt{y^{2}+3}+y^{2}+3$
$ \Leftrightarrow 7\sqrt{y^{2}+3}=3y+11\Leftrightarrow 49(y^{2}+3)=9y^{2}+66y+121$
$ \Leftrightarrow 40y^{2}-66y+26=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{13}{20}\Leftrightarrow x=\frac{17}{20} \end{bmatrix}$
vậy hệ có 2 nghiệm...
#334858 $$ \begin{cases} \sqrt{x-y}+\sqrt{x-2}=2 \...
Đã gửi bởi
on 12-07-2012 - 16:04
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài toán. Giải hệ phương trình $$ \begin{cases}
\sqrt{x-y}+\sqrt{x-2}=2 \\
\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy\left( x-y \right)}+\sqrt{xy-{{y}^{2}}}=2\sqrt{2}\left( x-y-1 \right)
\end{cases}\quad ( x,y\in \mathbb{R} ) $$
Xin đăng thêm một cách giải cho bài này:
Đặt $t=x-y$.
PT 1 cho ta $4\ge t\ge 0$
Vế phải của pt 2 cần để có nghĩa: $t\ge 1$
Chú ý rằng $x-y\ge 0$ nên $y\ge 0$ để $\sqrt{xy-y^2}$ có nghĩa
PT 1: $x=6+t-4\sqrt t$, $y=6-4\sqrt t$ nên $\sqrt{xy-y^2}=\sqrt{t(6-4\sqrt t)}$
PT 2 được viết lại $\sqrt{x^2+y^2-txy}-t=(2\sqrt 2-1)t-2\sqrt 2-\sqrt{t(6-4\sqrt t)}$
+Nếu $t>2$, từ đó $xy\ge 0$, $x^2+y^2-txy<(x-y)^2$ ta có được $LHS <0$
Nếu $t<2$, tương tự $x^2+y^2-txy>(x-y)^2$ ta có được $LHS >0$
Nếu $t=2$, $LHS=0$
+Hàm $f(x)=x^2(6-4x)$ giảm when $x\ge 1$ nên $-\sqrt{t(6-4\sqrt t)}$ tăng khi $t\ge 1$ (đạo hàm là ra $f(x)=x^2(6-4x)$ giảm )
Nên $RHS$ là hàm tăng của $t$ nên :
Nếu $t>2$, $RHS>(2\sqrt 2-1)2-2\sqrt 2-\sqrt{2(6-4\sqrt 2)}=0$
Tương tự nếu $t<2$, $RHS<0$
Nếu $t=2$, có $RHS=0$
Từ đó có nghiệm duy nhất $t=2$
Suy ra $x=6+t-4\sqrt t=8-4\sqrt 2$ và $y=6-4\sqrt t=6-4\sqrt 2$ là nghiệm.
Đáp số : $\boxed{(x,y)=(8-4\sqrt 2,6-4\sqrt 2)}$
Định đăng đề bài nhưng đã có, lời giải này của bạn PCO (Paris, France)
Nguồn: http://www.artofprob...p?f=36&t=481253
#378245 $$\begin{cases} \dfrac{2x^2+4y^2}...
Đã gửi bởi
on 17-12-2012 - 13:23
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ pt:
$$\begin{cases} \dfrac{2x^2+4y^2}{xy}=4\sqrt{ (\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{x})(x+y)}-1\\ \sqrt{(x+1)^2+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} \end{cases}$$
$$\begin{cases} \dfrac{2x^2+4y^2}{xy}=4\sqrt{ (\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{x})(x+y)}-1\\ \sqrt{(x+1)^2+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} \end{cases}$$
#338750 $$\dfrac{3+\sqrt{x}}{x^2+x\...
Đã gửi bởi
on 22-07-2012 - 00:02
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Điều kiện:
$x\geq 0$
Đặt:
$a=2;b=\sqrt{x}+1;c=x+1;d=x\sqrt{x}+1;e=x^{2}+1$; ta có đc: $a,b,c,d,e> 0$
pt trở thành:
$\frac{a+b}{c+d+e}+\frac{b+c}{d+e+a}+\frac{c+d}{e+a+b}+\frac{d+e}{a+b+c}+\frac{c+a}{b+c+d}=\frac{10}{3}$
Cộng 2 vế cho 5:
$(a+b+c+d+e)(\frac{1}{c+d+e}+\frac{1}{d+e+a}+\frac{1}{e+a+b}+\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d})=\frac{25}{3}$
Tới đây dùng coossi 2 lần cho 5 số:
$(a+b+c+d+e)= \frac{1}{3}((c+d+e)+(d+e+a)+(e+a+b)+(a+b+c)+(b+c+d))\geq \frac{5}{3}\sqrt[5]{A}$
$(\frac{1}{c+d+e}+\frac{1}{d+e+a}+\frac{1}{e+a+b}+\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d})\geq \frac{5}{\sqrt[5]{A}}$
Dấu bằng xảy ra khi:
$a=b=c=d=e\Leftrightarrow x=1$
Vậy 1 là nghiệm
$x\geq 0$
Đặt:
$a=2;b=\sqrt{x}+1;c=x+1;d=x\sqrt{x}+1;e=x^{2}+1$; ta có đc: $a,b,c,d,e> 0$
pt trở thành:
$\frac{a+b}{c+d+e}+\frac{b+c}{d+e+a}+\frac{c+d}{e+a+b}+\frac{d+e}{a+b+c}+\frac{c+a}{b+c+d}=\frac{10}{3}$
Cộng 2 vế cho 5:
$(a+b+c+d+e)(\frac{1}{c+d+e}+\frac{1}{d+e+a}+\frac{1}{e+a+b}+\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d})=\frac{25}{3}$
Tới đây dùng coossi 2 lần cho 5 số:
$(a+b+c+d+e)= \frac{1}{3}((c+d+e)+(d+e+a)+(e+a+b)+(a+b+c)+(b+c+d))\geq \frac{5}{3}\sqrt[5]{A}$
$(\frac{1}{c+d+e}+\frac{1}{d+e+a}+\frac{1}{e+a+b}+\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+d})\geq \frac{5}{\sqrt[5]{A}}$
Dấu bằng xảy ra khi:
$a=b=c=d=e\Leftrightarrow x=1$
Vậy 1 là nghiệm
#325450 $$\left\{\begin{matrix} x-2y=\frac{x}{y}+7...
Đã gửi bởi
on 15-06-2012 - 14:05
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
$(2)\Leftrightarrow x(x-2y)=6y\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{6}{x-2y}(3)$
thay $(3)$ vào $(1)$ ta có $(x-2y)=\frac{6}{x-2y}+7$ giải pt bậc 2
số lẻ quá bạn ơi
thay $(3)$ vào $(1)$ ta có $(x-2y)=\frac{6}{x-2y}+7$ giải pt bậc 2
số lẻ quá bạn ơi
#325485 $\begin{Bmatrix} x^{2}-6x-2y=15\\ (x^{2}-3x)y=-2(z+3)...
Đã gửi bởi
on 15-06-2012 - 16:34
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Tìm x,y,z thuộc Z thỏa mãn:
$\begin{Bmatrix} x^{2}-6x-2y=15\\ (x^{2}-3x)y=-2(z+3)\\ x^{2}y^{2}+2y+12\leq 4z \end{Bmatrix}$
$\begin{Bmatrix} x^{2}-6x-2y=15\\ (x^{2}-3x)y=-2(z+3)\\ x^{2}y^{2}+2y+12\leq 4z \end{Bmatrix}$
#384439 $-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-...
Đã gửi bởi
on 07-01-2013 - 17:42
trong
Bất đẳng thức và cực trị
Cách 1:Chứng minh rằng $-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}(1)$ $\forall a,b$
Nhận xét: $(a+b)^2+(1-ab)^2=a^2+b^2+1+a^2b^2=(1+a^2)(1+b^2)$
Do đó: $|xy |\leq \frac{y^2+x^2}{2}$ với $x=a+b,y=1-ab$
Cách 2:
Đặt $a=\tan \alpha , b=\tan \beta$,Với $\alpha,\beta \in (\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2})$
$(1)\Leftrightarrow \dfrac{-1}{2}\leq \dfrac{(\tan\alpha+\tan\beta)(1-\tan\alpha.\tan\beta)}{(1+\tan^2\alpha)(1+\tan^2\beta)}\leq\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{-1}{2}\leq \dfrac{\sin(\alpha+\beta).\cos^2\alpha.\cos^2\beta}{\cos \alpha.\cos\beta}.\dfrac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha.\cos\beta}\leq\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow-1\leq2\sin(\alpha+\beta).\cos(\alpha+\beta)\leq1$
$\Leftrightarrow-1\leq \sin(2(\alpha+\beta))\leq1$
#403749 $-x^2+3x+\sqrt[4]{2-x^4}=3$
Đã gửi bởi
on 10-03-2013 - 19:02
trong
Đại số
Bài 2: Giải phương trình: $-x^2+3x+\sqrt[4]{2-x^4}=3$
ĐK: $x^{4}\leq 2$
$-x^2+3x+\sqrt[4]{2-x^4}=3\Leftrightarrow \sqrt[4]{2-x^4}=x^2-3x+3$
Dùng bất đẳng thức AM-GM: $\sqrt[4]{2-x^4}=\sqrt[4]{(2-x^4).1.1.1}\leq \dfrac{2-x^4+1+1+1}{4}=\dfrac{5-x^4}{4}$
Cần chứng minh: $x^2-3x+3\geq \dfrac{5-x^4}{4}\Leftrightarrow x^4+4x^2-12x+7\geq 0\Leftrightarrow (x-1)^2.(x^2+2x+7)\geq 0$
Luôn đúng.
Dấu bằng xảy ra: $\left\{\begin{matrix} 2-x^4=1\\ x=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1$
#444151 (SBC) vuông với (ADH)
Đã gửi bởi
on 19-08-2013 - 21:50
trong
Hình học không gian
BC vuông $AM$
Mà $AM$ thuộc $mp(ADH)$ $\Rightarrow$ $mp(SBC)$ vuông góc $mp(ADH)$ (đpcm)
Mình nghĩ là cái này bị sai? Bạn giải thích rõ hơn được không?
#394156 [Giải trí]Cặp đôi hoàn hảo VMF 2013
Đã gửi bởi
on 06-02-2013 - 23:30
trong
Góc giao lưu
có nên tạo nick ảo để bình chọn cho bằng bạn bằng bè ko nhỉ? 
#394751 [Giải trí]Cặp đôi hoàn hảo VMF 2013
Đã gửi bởi
on 08-02-2013 - 10:05
trong
Góc giao lưu
Định rũ bé Trinh thi mà bị Hải lấy trước
#394152 [Giải trí]Cặp đôi hoàn hảo VMF 2013
Đã gửi bởi
on 06-02-2013 - 23:22
trong
Góc giao lưu
Mình xin đính chính tên nhéCho mình đăng kí dự thi với, dù chưa đc bên đối diện chấp thuận cứ đăng lên đã (kiểu như gạo nấu thành cơm) không từ chối đc
X X X - Nguyễn Đông Hải
Rất mong đc Like quá trời luôn! ^^
Tô Kiều Trinh vs Nguyễn Đông Hải
#394753 [Giải trí]Cặp đôi hoàn hảo VMF 2013
Đã gửi bởi
on 08-02-2013 - 10:08
trong
Góc giao lưu
cho em với nữa anh nhá, giao lưu cho vuiGì đâu ghê a
cái này gọi là tinh thần giao lưu kết bạn mà a
#393724 [Giải trí]Cặp đôi hoàn hảo VMF 2013
Đã gửi bởi
on 06-02-2013 - 11:44
trong
Góc giao lưu
Bạn mà mình gửi ảnh được không?.Mình mai mối cho, nếu thắng thì nhớ đến mình nhé.
OK bạn ^^ Không biết bạn ấy có chịu ko đây?
Cho mình cái link Facebook hay Yh đi
#393703 [Giải trí]Cặp đôi hoàn hảo VMF 2013
Đã gửi bởi
on 06-02-2013 - 11:07
trong
Góc giao lưu
Có ai bắt cặp không cho mình thi với! F.A khổ quá!
#393734 [Giải trí]Cặp đôi hoàn hảo VMF 2013
Đã gửi bởi
on 06-02-2013 - 12:08
trong
Góc giao lưu
Cho mình đăng kí dự thi với
Tô Kiều Trinh - Nguyễn Đông Hải
Rất mong đc Like quá trời luôn! ^^
Tô Kiều Trinh - Nguyễn Đông Hải
Rất mong đc Like quá trời luôn! ^^
#393727 [Giải trí]Cặp đôi hoàn hảo VMF 2013
Đã gửi bởi
on 06-02-2013 - 11:46
trong
Góc giao lưu
À mà có bức nào rõ của bạn ấy đăng lên với, bức kia mờ quá ^^
#336243 [TOPIC] Nhiều cách giải cho một bài toán. Bạn chọn cách nào?
Đã gửi bởi
on 16-07-2012 - 02:06
trong
Các dạng toán THPT khác
Bài toán: Giải hệ:
\[\left\{\begin{matrix}
x+y-\sqrt{xy}=3\\
\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4
\end{matrix}\right.\]
Lời giải:
Điều kiện: \[\left\{\begin{matrix}
x\geq -1\\
y\geq -1\\
xy\geq 0
\end{matrix}\right.\]
Nhận thấy: \[(1)\Leftrightarrow x+y=3+\sqrt{xy}\geq 3\]
và kết hợp điều kiện ta có \[x,y\geq 0\]
Cách 1:
Đặt $S=x+y\geq 0$ và $P=xy\geq 0$
\[(2)\Leftrightarrow x+y+2+2\sqrt{xy+(x+y)+1}=16\Leftrightarrow 2\sqrt{P+S+1}=14-S\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
4(P+S+1)=S^{2}-28S+196\\
0\leq
S\leq 14\end{matrix}\right.(*)\]
\[(1)\Leftrightarrow \sqrt{P}=S-3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
P=S^{2}-6S+9\\
S\geq
3\end{matrix}\right.(**)\]
Thay $(**)$ vào $(*)$: \[3S^{2}+8S-156=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
S=6\\
S=\frac{-26}{3}
\end{bmatrix}\Leftrightarrow S=6\]
Thỏa mãn điều kiện \[3\leq S\leq 14\]
Từ đó $P=9$ nên $x=y=3$
Cách 2:
AM-GM: \[x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 3+\sqrt{xy}\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow \sqrt{xy}\leq 3(*)\]
CS: \[16=(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1})^{2}\leq (x+y+2).2=(5+\sqrt{xy}).2\Leftrightarrow \sqrt{xy}\geq 3(**)\]
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có $\sqrt{xy}=3$
Từ đó được $x+y=6$ và $xy=9$ nên $x=y=3$
Cách 3:
AM-GM: $(2)\Leftrightarrow 4=\frac{\sqrt{(x+1)4}}{2}+\frac{\sqrt{(y+1)4}}{2}\leq \frac{x+y+10}{4}\Rightarrow x+y\geq 6(*)$
AM-GM: $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow 3=x+y-\sqrt{xy}\geq (x+y)-\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow x+y\leq 6(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ có $x+y=6$ nên $xy=9$ Từ đó $x=y=3$
Cách 4-5:
\[(2)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2+\sqrt{y+1}-2=0\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{y-3}{\sqrt{y+1}+2}=0\]
Từ $(1)$ có: \[x-3=\sqrt{xy}-y=\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})\]
và \[y-3=\sqrt{xy}-x=\sqrt{x}(\sqrt{y}-\sqrt{x})\]
Nên thay vào có:
\[\begin{bmatrix}
\sqrt{x}=\sqrt{y} \\
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}
\end{bmatrix}\]
+ $\sqrt{x}=\sqrt{y}$ dễ có $x=y=3$
+ \[\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}\](*)
Xét $(*)$ có 2 cách:
Cách 4:
$\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}$
$\Leftrightarrow
2(\sqrt{x}-\sqrt{y})+\sqrt{x}\sqrt{x+1}-\sqrt{y}\sqrt{y+1}=0$
$\Leftrightarrow 2(\sqrt{x}-\sqrt{y})+\dfrac{x^{2}+x-y^{2}-y}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}+\sqrt{y}\sqrt{y+1}}=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
\sqrt{x}=\sqrt{y}\\
2+\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x+y+1)}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}+\sqrt{y}\sqrt{y+1}}=0\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y}$
Cách 5:
+Nếu $x>y>0$
\[\left\{\begin{matrix}
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}<\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{y+1}+2} \\
\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}>\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{y+1}+2}\\
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}
\end{matrix}\right.\]
Vô nghiệm
+ Nếu $0<x<y$
\[\left\{\begin{matrix}
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}>\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+2} \\
\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}<\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+2}\\
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}
\end{matrix}\right.\]
Vô nghiệm
+ Nếu $x=y$ thỏa
Vậy $x=y=3$
Cách 6:
Đặt: \[\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+1}=m+2\geq 0\\
\sqrt{y+1}=n+2\geq 0
\end{matrix}\right.\]
Từ pt $(2)$ ta có $m+n=0$
Và \[\left\{\begin{matrix}
x=m^{2}+4m+3\\
y=n^{2}+4n+3
\end{matrix}\right.\]
chú ý $m+n=0$:
\[(1)\Leftrightarrow m^{2}+n^{2}+4(m+n)+6-\sqrt{(m^{2}+4m+3)(n^{2}+4n+3)}=3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
mn\leq \dfrac{3}{2}\\\
3m^{2}n^{2}=22mn
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow mn=0\]
nên $m=n=0$ từ đó $x=y=3$
Cách 7:
Đặt: \[\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+1}=m\geq 0\\
\sqrt{y+1}=n\geq 0
\end{matrix}\right.\]
Từ đó
\[\left\{\begin{matrix}
x=m^{2}-1\\
y=n^{2}-1
\end{matrix}\right.\]
Cách làm tương tự, với $m+n=4$ thay vào pt $(1)$
Có được mn=4
Nên $x=y=2$
Cách 8:
Lê Mậu Úy
$(1).2-(2).4\Leftrightarrow
2x+2y-2\sqrt{xy}-6-4\sqrt{x+1}-4\sqrt{y+1}+16=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}+(\sqrt{x+1}-2)^{2}+(\sqrt{y+1}-2)^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}=\sqrt{y}\\
\sqrt{x+1}=2\\
\sqrt{y+1}=2
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=y=3$
Cách 9:
Đặt $y=kx$
\[(1)\Leftrightarrow (k+1)x-x\sqrt{k}=3\]
\[(2)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{kx+1}=4\Leftrightarrow x(k+1)+2+2\sqrt{(x+1)(k+1)}=16\]
Thay \[(k+1)x=x\sqrt{k}+3\] vào:
$3+x\sqrt{k}+2+2\sqrt{kx^{2}+4+x\sqrt{k}}=16$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
11\geq x\sqrt{k}\geq 0\\
3(x\sqrt{k})^{2}+26x\sqrt{k}-105=0
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x\sqrt{k}=3$
$\Leftrightarrow k=\frac{9}{x^{2}}$
$\Leftrightarrow xy=9$
$\Leftrightarrow x+y=6\Rightarrow x=y=3$
P/S: Bài này chắc còn có các cách khác nữa, tạm thời chừng này đã
Cách 1-2-3 em nhớ có thấy trên diễn đàn rồi nhưng không nhớ tên, đành đánh máy lại. Mấy cách kia tối ni hi sinh giấc ngủ để làm và đánh Latex.
Trong đó cách 8 là cách hay và ngắn nhất của bạn em
\[\left\{\begin{matrix}
x+y-\sqrt{xy}=3\\
\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4
\end{matrix}\right.\]
Lời giải:
Điều kiện: \[\left\{\begin{matrix}
x\geq -1\\
y\geq -1\\
xy\geq 0
\end{matrix}\right.\]
Nhận thấy: \[(1)\Leftrightarrow x+y=3+\sqrt{xy}\geq 3\]
và kết hợp điều kiện ta có \[x,y\geq 0\]
Cách 1:
Đặt $S=x+y\geq 0$ và $P=xy\geq 0$
\[(2)\Leftrightarrow x+y+2+2\sqrt{xy+(x+y)+1}=16\Leftrightarrow 2\sqrt{P+S+1}=14-S\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
4(P+S+1)=S^{2}-28S+196\\
0\leq
S\leq 14\end{matrix}\right.(*)\]
\[(1)\Leftrightarrow \sqrt{P}=S-3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
P=S^{2}-6S+9\\
S\geq
3\end{matrix}\right.(**)\]
Thay $(**)$ vào $(*)$: \[3S^{2}+8S-156=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
S=6\\
S=\frac{-26}{3}
\end{bmatrix}\Leftrightarrow S=6\]
Thỏa mãn điều kiện \[3\leq S\leq 14\]
Từ đó $P=9$ nên $x=y=3$
Cách 2:
AM-GM: \[x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 3+\sqrt{xy}\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow \sqrt{xy}\leq 3(*)\]
CS: \[16=(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1})^{2}\leq (x+y+2).2=(5+\sqrt{xy}).2\Leftrightarrow \sqrt{xy}\geq 3(**)\]
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có $\sqrt{xy}=3$
Từ đó được $x+y=6$ và $xy=9$ nên $x=y=3$
Cách 3:
AM-GM: $(2)\Leftrightarrow 4=\frac{\sqrt{(x+1)4}}{2}+\frac{\sqrt{(y+1)4}}{2}\leq \frac{x+y+10}{4}\Rightarrow x+y\geq 6(*)$
AM-GM: $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow 3=x+y-\sqrt{xy}\geq (x+y)-\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow x+y\leq 6(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ có $x+y=6$ nên $xy=9$ Từ đó $x=y=3$
Cách 4-5:
\[(2)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-2+\sqrt{y+1}-2=0\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{y-3}{\sqrt{y+1}+2}=0\]
Từ $(1)$ có: \[x-3=\sqrt{xy}-y=\sqrt{y}(\sqrt{x}-\sqrt{y})\]
và \[y-3=\sqrt{xy}-x=\sqrt{x}(\sqrt{y}-\sqrt{x})\]
Nên thay vào có:
\[\begin{bmatrix}
\sqrt{x}=\sqrt{y} \\
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}
\end{bmatrix}\]
+ $\sqrt{x}=\sqrt{y}$ dễ có $x=y=3$
+ \[\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}\](*)
Xét $(*)$ có 2 cách:
Cách 4:
$\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}$
$\Leftrightarrow
2(\sqrt{x}-\sqrt{y})+\sqrt{x}\sqrt{x+1}-\sqrt{y}\sqrt{y+1}=0$
$\Leftrightarrow 2(\sqrt{x}-\sqrt{y})+\dfrac{x^{2}+x-y^{2}-y}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}+\sqrt{y}\sqrt{y+1}}=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
\sqrt{x}=\sqrt{y}\\
2+\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x+y+1)}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}+\sqrt{y}\sqrt{y+1}}=0\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y}$
Cách 5:
+Nếu $x>y>0$
\[\left\{\begin{matrix}
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}<\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{y+1}+2} \\
\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}>\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{y+1}+2}\\
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}
\end{matrix}\right.\]
Vô nghiệm
+ Nếu $0<x<y$
\[\left\{\begin{matrix}
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}>\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+2} \\
\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}<\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+2}\\
\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x+1}+2}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y+1}+2}
\end{matrix}\right.\]
Vô nghiệm
+ Nếu $x=y$ thỏa
Vậy $x=y=3$
Cách 6:
Đặt: \[\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+1}=m+2\geq 0\\
\sqrt{y+1}=n+2\geq 0
\end{matrix}\right.\]
Từ pt $(2)$ ta có $m+n=0$
Và \[\left\{\begin{matrix}
x=m^{2}+4m+3\\
y=n^{2}+4n+3
\end{matrix}\right.\]
chú ý $m+n=0$:
\[(1)\Leftrightarrow m^{2}+n^{2}+4(m+n)+6-\sqrt{(m^{2}+4m+3)(n^{2}+4n+3)}=3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
mn\leq \dfrac{3}{2}\\\
3m^{2}n^{2}=22mn
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow mn=0\]
nên $m=n=0$ từ đó $x=y=3$
Cách 7:
Đặt: \[\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+1}=m\geq 0\\
\sqrt{y+1}=n\geq 0
\end{matrix}\right.\]
Từ đó
\[\left\{\begin{matrix}
x=m^{2}-1\\
y=n^{2}-1
\end{matrix}\right.\]
Cách làm tương tự, với $m+n=4$ thay vào pt $(1)$
Có được mn=4
Nên $x=y=2$
Cách 8:
Lê Mậu Úy
$(1).2-(2).4\Leftrightarrow
2x+2y-2\sqrt{xy}-6-4\sqrt{x+1}-4\sqrt{y+1}+16=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}+(\sqrt{x+1}-2)^{2}+(\sqrt{y+1}-2)^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}=\sqrt{y}\\
\sqrt{x+1}=2\\
\sqrt{y+1}=2
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=y=3$
Cách 9:
Đặt $y=kx$
\[(1)\Leftrightarrow (k+1)x-x\sqrt{k}=3\]
\[(2)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+\sqrt{kx+1}=4\Leftrightarrow x(k+1)+2+2\sqrt{(x+1)(k+1)}=16\]
Thay \[(k+1)x=x\sqrt{k}+3\] vào:
$3+x\sqrt{k}+2+2\sqrt{kx^{2}+4+x\sqrt{k}}=16$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
11\geq x\sqrt{k}\geq 0\\
3(x\sqrt{k})^{2}+26x\sqrt{k}-105=0
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x\sqrt{k}=3$
$\Leftrightarrow k=\frac{9}{x^{2}}$
$\Leftrightarrow xy=9$
$\Leftrightarrow x+y=6\Rightarrow x=y=3$
P/S: Bài này chắc còn có các cách khác nữa, tạm thời chừng này đã
Cách 1-2-3 em nhớ có thấy trên diễn đàn rồi nhưng không nhớ tên, đành đánh máy lại. Mấy cách kia tối ni hi sinh giấc ngủ để làm và đánh Latex.
Trong đó cách 8 là cách hay và ngắn nhất của bạn em
#334158 [TOPIC] Nhiều cách giải cho một bài toán. Bạn chọn cách nào?
Đã gửi bởi
on 10-07-2012 - 21:26
trong
Các dạng toán THPT khác
Bài toán:
Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=4(1)\\ x^{3}-y^{3}=8(2) \end{matrix}\right.$
Lời giải:
Cách 1:
$(2)\Leftrightarrow x^{3}=8+y^{3}$
$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{8+y^{3}}$
$\Leftrightarrow x^{2}=\sqrt[3]{(8+y^{3})^{2}}(*)$
Thay $(*)$ vào $(1)$ ta có $(1)\Leftrightarrow \sqrt[3]{(8+y^{3})^{2}}-y^{2}=4$
$\Leftrightarrow (8+y^{3})^{2}=(4+y^{2})^{3}$
$\Leftrightarrow 12y^{4}-16y^{3}+48y^{2}=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0\\ 3y^{2}-4y+12=0 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow y=0$
$\Leftrightarrow x=2$
Loại trường hợp $3y^{2}-4y+12=0$ vì $\Delta ^{'}=-32<0$
Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(2;0)$
Cách 2:
Nhẩm nghiệm thấy $(x;y)=(2;0)$ nên ta đặt: $y=kx$
Hệ pt được viết lại:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}(1-k^{2})=4\\ x^{3}(1-k^{3})=8 \end{matrix}\right.$
Nhận thấy $x=0;y=0$ không phải là nghiệm.
Nhận thấy $k=1$ thì hệ vô nghiệm.
Nên ta xét $x\neq 0;k\neq 1$
Hệ: $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (1-k^{2})^{3}=\frac{64}{x^{6}}(3)\\ (1-k^{3})^{2}=\frac{64}{x^{6}}(4) \end{matrix}\right.$
Lấy $(3)-(4):2k^{6}-3k^{4}-2k^{3}+3k^{2}=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} k^{2}=0\\ (k-1)^{2}(2k^{2}+4k+3)=0 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow k=0$
$\Leftrightarrow y=0$
$y=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}=4\\ x^{3}=8 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=2$
Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(2;0)$
Cách 3:
$(1)\Leftrightarrow x^{2}=(y+2)^{2}-4y$
Nhận thấy $y=-2$ không thỏa mãn để hệ có nghiệm nên: $(1)\Leftrightarrow x^{2}=(y+2)^{2}-4y$
$\Leftrightarrow \frac{3}{2}x^{2}(y+2)=\frac{3}{2}(y+3)^{3}-6y(y+2)(*)$
$(2)\Leftrightarrow x^{3}=(y+2)^{3}-6y(y+2)(**)$
$(*)-(**):x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}(y+2)+\frac{(y+2)^{3}}{2}=0$
$\Leftrightarrow 2x^{3}-3x^{2}(y+2)+(y+2)^{3}=0$
$\Leftrightarrow 2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2}(2a+b)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y+2\\ 2x=-(y+2) \end{bmatrix}$
Thay lần lượt vào $(1)$: $x=y+2\Leftrightarrow x=2\wedge y=0$
$2x=-(y+2)\Leftrightarrow 3y^{2}-4y+12=0$ vô nghiệm do $\Delta ^{'}=-32< 0$
Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(2;0)$
Cách 4:
Lời giải của bạn Haruki bên onluyentoan.vn
nên $S=2$ $\Rightarrow$ $P = 0$ $\Rightarrow$ $(x;y)=(2;0)$ là thỏa mãn điều kiện và hệ phương trình.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $(x;y)=(2;0)$.
Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=4(1)\\ x^{3}-y^{3}=8(2) \end{matrix}\right.$
Lời giải:
Cách 1:
$(2)\Leftrightarrow x^{3}=8+y^{3}$
$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{8+y^{3}}$
$\Leftrightarrow x^{2}=\sqrt[3]{(8+y^{3})^{2}}(*)$
Thay $(*)$ vào $(1)$ ta có $(1)\Leftrightarrow \sqrt[3]{(8+y^{3})^{2}}-y^{2}=4$
$\Leftrightarrow (8+y^{3})^{2}=(4+y^{2})^{3}$
$\Leftrightarrow 12y^{4}-16y^{3}+48y^{2}=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0\\ 3y^{2}-4y+12=0 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow y=0$
$\Leftrightarrow x=2$
Loại trường hợp $3y^{2}-4y+12=0$ vì $\Delta ^{'}=-32<0$
Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(2;0)$
Cách 2:
Nhẩm nghiệm thấy $(x;y)=(2;0)$ nên ta đặt: $y=kx$
Hệ pt được viết lại:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}(1-k^{2})=4\\ x^{3}(1-k^{3})=8 \end{matrix}\right.$
Nhận thấy $x=0;y=0$ không phải là nghiệm.
Nhận thấy $k=1$ thì hệ vô nghiệm.
Nên ta xét $x\neq 0;k\neq 1$
Hệ: $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (1-k^{2})^{3}=\frac{64}{x^{6}}(3)\\ (1-k^{3})^{2}=\frac{64}{x^{6}}(4) \end{matrix}\right.$
Lấy $(3)-(4):2k^{6}-3k^{4}-2k^{3}+3k^{2}=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} k^{2}=0\\ (k-1)^{2}(2k^{2}+4k+3)=0 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow k=0$
$\Leftrightarrow y=0$
$y=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}=4\\ x^{3}=8 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=2$
Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(2;0)$
Cách 3:
$(1)\Leftrightarrow x^{2}=(y+2)^{2}-4y$
Nhận thấy $y=-2$ không thỏa mãn để hệ có nghiệm nên: $(1)\Leftrightarrow x^{2}=(y+2)^{2}-4y$
$\Leftrightarrow \frac{3}{2}x^{2}(y+2)=\frac{3}{2}(y+3)^{3}-6y(y+2)(*)$
$(2)\Leftrightarrow x^{3}=(y+2)^{3}-6y(y+2)(**)$
$(*)-(**):x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}(y+2)+\frac{(y+2)^{3}}{2}=0$
$\Leftrightarrow 2x^{3}-3x^{2}(y+2)+(y+2)^{3}=0$
$\Leftrightarrow 2a^{3}-3a^{2}b+b^{3}=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{2}(2a+b)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y+2\\ 2x=-(y+2) \end{bmatrix}$
Thay lần lượt vào $(1)$: $x=y+2\Leftrightarrow x=2\wedge y=0$
$2x=-(y+2)\Leftrightarrow 3y^{2}-4y+12=0$ vô nghiệm do $\Delta ^{'}=-32< 0$
Vậy hệ có nghiệm: $(x;y)=(2;0)$
Cách 4:
Lời giải của bạn Haruki bên onluyentoan.vn
Mình cũng có một cách!
Hệ phương trình đã cho có thể viết lại thành:
$$\left\{\begin{matrix}
(x-y)(x+y)=4 (1)\\(x-y)(x^2 + xy + y^2)=8 (2)
\end{matrix}\right.$$
Ta nhận thấy: $x\neq \pm y$.
Đặt $S= x+y$ và $P=xy$ với $S^2 \geq 4P$. Khi đó lấy (2) chia (1) ta suy ra được: $P=S^2 - 2S$.
Mặt khác:
Từ (2) suy ra được: $x > y$ do $x^2 + xy + y^2 >0$. Nhờ đó từ (1) ta tiếp tục có $x>-y$ .
$\Rightarrow$ $x> |y|$.
Do đó ta có: $(x-y)^{2}=8S-3S^{2}\Leftrightarrow x-y=\sqrt{8S-3S^2}$. Từ đó kết hợp với (1) suy ra được:
$$\sqrt{8S-3S^2}.S=4 \Leftrightarrow (S-2)^2 (3S^2 +4S +4) =0.$$
Vì $3S^2 +4S +4>0$
nên $S=2$ $\Rightarrow$ $P = 0$ $\Rightarrow$ $(x;y)=(2;0)$ là thỏa mãn điều kiện và hệ phương trình.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $(x;y)=(2;0)$.
#331839 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối A, A1
Đã gửi bởi
on 04-07-2012 - 14:34
trong
Thi TS ĐH
Em làm câu này:Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ có $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CN=2ND$. Giả sử $M\left ( \frac{11}{2};\frac{1}{2} \right )$ và đường thẳng $AN$ có phương trình $2x-y-3=0$. tìm tọa độ điểm $A$
kẻ $MK\perp AN;K\in AN$
$tan(\widehat{DAN}+\widehat{MAB})=\frac{tan\widehat{DAN}+\widehat{MAB}}{1-tan\widehat{DAN}.tan\widehat{MAB}}= \frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}=1$
$\Rightarrow \widehat{DAN}+\widehat{MAB}=45^{\circ}\Rightarrow \widehat{KAM}=45^{\circ}$
Nên tam giác $AKM$ vuông cân tại K.
Từ đây giải hệ $\left\{\begin{matrix} A\in d\\ AK=MK=d(M,d) \end{matrix}\right.$
Em không có máy tính nên không thể làm tiếp
