Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$. Cạnh góc vuông là $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Từ đỉnh $M$ vẽ góc $45^{\circ}$, các cạnh của góc này cắt một hoặc hai cạnh của tam giác tại $E$ và $F$. Xác định vị trí của $E$ và $F$ sao cho diện tích $\Delta MEF$ là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo $a$.
Lời giải.
Ta sẽ chứng minh $S_{MEF}\leq \frac{1}{4}S_{ABC}$.
Thật vậy, hạ $MH$ vuông góc với $AB$ và trên $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $MD$ vuông góc với $MF$.
Mặt khác vì $MA$ vuông góc với $MB$ nên $\widehat{AMF}=\widehat{BMD}$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $MA=MB$ và $\widehat{MBD}=\widehat{MAF}=45^{\circ}$
Từ các điều trên suy ra hai tam giác $AMF$ và $BMD$ bằng nhau, suy ra $AF=BD$ và $MD=MF$.
Mặt khác $\widehat{EMF}=45^{\circ}$ mà $\widehat{DMF}=90^{\circ}$ nên $\widehat{DME}=\widehat{EMF}=45^{\circ}$
Suy ra hai tam giác $EMF$ và $DME$ bằng nhau nên $DE=DF$.
Ta có $AB=AE+BD+DE=AE+AF+DE>EF+DE=2DE\Leftrightarrow DE<\frac{AB}{2}\Leftrightarrow MH.\frac{DE}{2}<MH.\frac{AB}{4}\Leftrightarrow S_{EMF}=S_{DME}\leq \frac{S_{AMB}}{2}=\frac{S_{ABC}}{4}$
$\LaTeX$ diễn đàn bị sao mà mấy nay mình gõ công thức không hiện, bạn chịu khó mở bảng công thức lên xem nhé.