Xét tính tăng giảm của dãy số $U_n=\frac{2-n}{\sqrt{n}}$

Xét hiệu: $u_{n}-u_{n+1}=\frac{2-n}{\sqrt{n}}-\frac{1-n}{\sqrt{n+1}}=\frac{(2-n)\sqrt{n+1}-(1-n)\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}> 0$(vì $(2-n)\sqrt{n+1}> (1-n)\sqrt{n}$)

$\Rightarrow$ Dãy số giảm

Thêm hai bài nữa

3,

Mọi người cho mình hỏi tại sao lại không dùng được trình soạn thảo công thức toán vậy?

Máy mình cũng bị nek, sao không gõ được Latex vậy nhỉ?

Hai bài 79 và 80: vpvn và PlanBbyFESN đã cho lời giải đúng. Mình xin tiếp tục:

Bài 81: Cho các số thực thỏa mãn: $x,y,z>0$ và thỏa mãn: $x=y+z+xyz$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2+1)}+\frac{2z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$P=\frac{z(z+xyz+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z(x-y+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z\left [ (x-y).1+2\sqrt{xy}.z \right ]}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{z\sqrt{\left [ (x-y)^{2}+4xy \right ](1+z^{2})}}{(x+y)(1+z^{2})}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}\left ( 1-\frac{z^{2}}{z^{2}+1} \right )=\frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{2z^{3}}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

Khảo sát hàm số $f(t)=3t-2t^{3}$ với $0\leq t=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow P\leq f(t)\leq \sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}+1, y=\sqrt{2}-1, z=1$

Bài 6: Xét các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2\le 3y$. Tìm GTNN của: 

$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.

Ta có: $(x+1)^{2}\leq 2(x^{2}+1), (z+3)^{2}\leq 4(z^{2}+3)$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{2}{z^{2}+3}=\frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{4}{2(z^{2}+3)}\geq \frac{9}{2(x^{2}+z^{2})+8}\geq \frac{9}{2(3y-y^{2})+8}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{2(3y-y^{2})+8}+\frac{4}{(y+2)^{2}}$

Ta chứng minh: $\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{9}{2(3y-y^{2})+8}\geq 1$

$\Leftrightarrow (y-2)^{2}(2y^{2}+9y+10)\geq 0$(luôn đúng)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=z=1, y=2$

Và tiếp theo là hai bài sau:

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $3(a^2+b^2+c^2)+4abc\ge 13$.

Theo nguyên tắc Đi-rích-lê thì tồn tại 2 số cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1.

Giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1\Leftrightarrow abc\geq c(a+b)-c=c(3-c)-c=2c-c^{2}$

Do đó ta có:

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc\geq \frac{3}{2}(a+b)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{3}{2}(3-c)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{(c-1)^{2}+26}{2}\geq 13$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 18: Cho $x,y,z$ là ba số thực thỏa mãn: $2x+3y+z=40$. Tìm GTNN của biểu thức:

$S=2\sqrt{x^2+1}+3\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+36}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki ta có:

$S=\sqrt{4x^{2}+4}+\sqrt{9y^{2}+144}+\sqrt{z^{2}+36}\geq \sqrt{(2x+3y+z)^{2}+(2+12+6)^{2}}=20\sqrt{5}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=2, y=8, z=12$

Tiếp theo: 

Bài 30*: Giả sử $x,y,z\ge 0$ thỏa mãn: $x+y+z=3$. Hãy tìm GTNN của biểu thức: $P=x^4+8y^4+64z^4$

Giả định $x=a, y=b, z=c$

Áp dụng AM-GM ta có:

$x^{4}+a^{4}+a^{4}+a^{4}\geq 4xa^{3}$

$8(y^{4}+b^{4}+b^{4}+b^{4})\geq 32yb^{3}$

$64(z^{4}+c^{4}+c^{4}+c^{4})\geq 256zc^{3}$

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

$P\geq 4xa^{3}+32yb^{3}+256zc^{3}-3a^{4}-24b^{4}-192c^{4}$

Ta tìm $a,b,c$ thoả mãn hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} &a+b+c=3 \\ &4a^{3}=32b^{3}=256z^{3} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &a=\frac{12}{7} & \\ &b=\frac{6}{7} & \\ &c=\frac{3}{7} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P\geq \frac{5184}{343}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=\frac{12}{7}, y=\frac{6}{7}, z=\frac{3}{7}$

Bài 2: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh rằng: $(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\le 5(y+z)^3$

Một cách gải khác cho bài toán 2.

Đặt $a=x+y, b=y+z, c=z+x(a,b,c>0)$

Từ gt$\Rightarrow b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca$

Ta có: $b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca\geq 2ca-ca=ca$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca=(c+a)^{2}-3ca\geq (c+a)^{2}-\frac{3}{4}(c+a)^{2}=\frac{1}{4}(c+a)^{2}\Leftrightarrow c+a\leq 2b$

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$a^{3}+c^{3}+3abc\leq 5b^{3}$

$\Leftrightarrow b(c+a-2b)+3(ca-b^{2})\leq 0$(luôn đúng)

Ta có đpcm.

đề nghị chủ topic thống kê lại những bài làm rồi và chưa làm đi nào

Bạn có thể xem ở trang 16

Bài 70 : Giải pt : $\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{2x-9}=\sqrt[3]{4x-3}$ 

Đặt $\sqrt[3]{3x+1}=a, \sqrt[3]{5-x}=b, \sqrt[3]{2x-9}=c$

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=4x-3$

Khi đó ta có:

$a+b+c=\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}+2abc)=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

Đến đây dễ rồi

Dạng tổng quát ta làm tương tự thôi

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

 

Bài 480: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1} \\ &x+1=\sqrt{17-4y-16x} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Cách khác cho bài toán này.

Áp dụng AM-GM ta có:

$3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1}\leq \frac{1-y^{2}-6y-1}{2}$

$\Leftrightarrow 6x^{2}+8x-10+y^{2}+6y\leq 0(*)$

Pt(2):$x+1=\sqrt{17-4y-16x} \Rightarrow x^{2}+18x+4y-16=0(**)$

Lấy (*)-(**) ta được:$5(x-1)^{2}+(y+1)^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x=1$ và $y=-1$

Thay lại hệ ta thấy không thoả mãn. Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 41: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=0 & \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=10 & \\ &x^{7}+y^{7}+z^{7}=350 & \end{matrix}\right.$

Xin được trích lại một bài viết của anh nthoangcute

Áp dụng đẳng thức: $350=x^{7}+y^{7}+z^{7}=7xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx)^{2}$

$\Rightarrow xyz(10+xy+yz+zx)^{2}=50$

Từ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$ và $x+y+z=0\Rightarrow xy+yz+zx=-5$

$\Rightarrow xyz=2$

Áp dụng Vi-et bậc 3 ta thấy x,y,z là nghiệm của pt:

$X^{3}-5X-2=0$

...

Bài 16 $$\left\{\begin{matrix}2x^{2}-y^{2}=1 \\ xy + x^{2}=2 \end{matrix}\right.$$

=2

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 106: $2(2x-3)(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1})=3x-2$

ĐK: $x\geq 1$

$\Rightarrow VP> 0\Rightarrow 2x-3> 0\Leftrightarrow x> \frac{3}{2}$

Pt$\Leftrightarrow 2(2x-3)\left [ (\sqrt[3]{x-1}-1)+(\sqrt{x-1}-1) \right ]=3x-2-4(2x-3)$

$\Leftrightarrow 2(2x-3)\left [ \frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1} \right ]+5x-10=0$

$\Leftrightarrow 2(2x-3)(x-2)\left [ \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1} \right ]+5(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(\frac{2(2x-3)}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{2(2x-3)}{\sqrt{x-1}+1}+5)=0$

$\Rightarrow x=2$(vì phần trong ngoặc luôn dương)

Những bài mà bạn NguyenPhuongQuynh đăng lên được coi là bài 156 nhé!

Bài 157: $\left | \sqrt{x^{2}+2x+5}-\sqrt{x^{2}-4x+40} \right |=x^{2}+5x+\frac{45}{4}$

Bài 158: $\sqrt{x^{2}-2x+5}+\sqrt{x^{2}+2x+10}=\sqrt{29}$

Bài 159: $x+\sqrt{x-1}=3+\sqrt{2x^{2}-10x+16}$

Bài 160: $6\sqrt{x^{2}+5}+12\sqrt[3]{x^{2}+3x-2}=3x^{2}-x+32$

Bài 269: $\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2+2=\sqrt{y^3+3y^2} \\ 3\sqrt{x-2}=\sqrt{y^2+8y} \end{matrix}\right.$

ĐK: $x\geq 2, y\geq 0$

Pt(1)$\Leftrightarrow (x^{3}-3x^{2}+3x-1)-3(x-1)=(y+3-3)\sqrt{y+3}$

$\Leftrightarrow (x-1)^{3}-3(x-1)=\sqrt{(y+3)^{3}}-3\sqrt{y+3}$

Đến đây dễ rồi

Bài 14: Giải PT: $(x-1)(2\sqrt{x-1}+3\sqrt[3]{x+6})=x+6$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}+3$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$

Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$

Bài 184: $x^{\sqrt{x^{2}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$

Bài 186: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}-12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Bài 188: $\sqrt{x^{3}+5}+2\sqrt[3]{2x+1}+x=0$

Bài 199: $4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Bài 202: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 \\ &x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2} \end{matrix}\right.$

Bài 225: $\left\{\begin{matrix} &y^{3}+2x^{3}+3y^{2}+4y+3xy(x+y+2)=2(3x^{2}-16x+14) \\ &5x^{2}+3x+y+3=\sqrt{y^{2}+4x+8}+3x\sqrt{2x^{2}-y+4} \end{matrix}\right.$

Bài 279: $\sqrt{2-x\sqrt{2}}+\sqrt[4]{2x-2}=1$

Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$

Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 297: $\begin{cases} \sqrt{3y^{2}+13}-\sqrt{15-2x}=\sqrt{x+1} & \text{ } \\ y^{4}-2xy^{2}+7y^{2}=(x+1)(8-x) & \text{ } \end{cases}$

Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài 314: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy=3y^2-y\sqrt{xy} & \\ & \frac{y^2}{1+\sqrt{2-x}}+\frac{(2-x)^2}{1+y}=1 \end{matrix}\right.$

Bài 321: $\begin{cases} & y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1) \\ & 3xy^{2}-2y^{2}-2x+1=0 \end{cases}$

Bài 323: $(4x+3)(\sqrt{4+x}+\sqrt[3]{3x+8}-1)=9$

Bài 324: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 331: $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1-x+y+xy & \\ & 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$

Bài 335: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{y}+1)^{2}+y^{2}x=y^{2}+2\sqrt{x-2} \\ &x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y \end{matrix}\right.$

Bài 336: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 338: $2x= (\sqrt[3]{9x+9}-x)^3+3$

Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 350: $x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Bài 351: $\begin{cases} & x\sqrt{x-2y-1}+y\sqrt{x+2y-1}=2 \\ & x(x-y-2)+1=\sqrt[3]{y^{3}+3xy-3y+1} \end{cases}$

Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$

Bài 360: $\begin{cases} & (x-2015)(2015+2016\sqrt[3]{y-2017})=1 \\ & \sqrt[3]{x-2014}(y-4032)=2016 \end{cases}$

Bài 380: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x+y-4}+1)^{2}=2y-7+2\sqrt{4x-xy} \\ &\dfrac{x+1}{y+2}+\dfrac{y+1}{x+2}=1+\dfrac{\sqrt{xy}}{4} \end{matrix}\right.$

Bài 388: $\frac{(x^{3}+3x^{2}\sqrt{x+1})(3-x)}{2+\sqrt{x+1}}=4(x+1)(2\sqrt{x+1}-x-1)$

Bài 395: $\begin{cases} & (x+y)^{2}+12\sqrt{x+y-6}=4x+3y+37 \\ & \sqrt{y^{2}-12}+10\sqrt{y}= x\sqrt{x^{2}y-5y}+10 \end{cases}$

Bài 398: $(2-5x)\sqrt{2x+1}+(5x+1)\sqrt{x+4}-\sqrt{(x+4)(2x+1)}-9x=0$

Bài 402: $\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+3x^2-2y^2-6y=4 & \\ x^2-y-3+\sqrt{2x+2y+3}=\sqrt{x^2+4x-3} \end{matrix}\right.$

Bài 413: $\left\{\begin{matrix} &y^{2}-x^{3}=\sqrt{x-1}-8 \\ &2\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}+12x-5y=20 \end{matrix}\right.$

Bài 418: $x^3+\sqrt{(x+1)^3} + 1 = 2x^2 + 2x + 2x\sqrt{2x+1}$

Bài 425: $(\sqrt[3]{x-2}-1)(\sqrt{7-x}+1)\leq \sqrt{7-x}+x-5$

Bài 428: $\begin{cases} & y-6=\sqrt{y-4}+\sqrt{3-x}+\sqrt{x} \\ & \sqrt{4x+y}+\sqrt{3x^{2}+y-4}=x^{3}+7x-xy+2 \end{cases}$

Bài 439: $3x+2+2\sqrt{2x^2+6x+21-(x+6)\sqrt{2-x}}=2\sqrt{2x+5}$

Bài 440: $\frac{x^2-2+\sqrt{x}(2x-\sqrt{x}-4)}{\sqrt{2x-4\sqrt{x-1}}-1}=\sqrt{4-x^2}$

Bài 462**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Bài 480: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1} \\ &x+1=\sqrt{17-4y-16x} \end{matrix}\right.$

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

 

Bài 8 :  $\left\{\begin{matrix} xy +x^{2}=2 \\ 2x^{2}-y^{2}=2 \end{matrix}\right.$

 

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 323: $(4x+3)(\sqrt{4+x}+\sqrt[3]{3x+8}-1)=9$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

ĐK: $x\geq -4$

TH1: $-4\leq x< -3\Rightarrow VT> 9\Rightarrow$ Vô nghiệm

TH2: $-3< x< 0\Rightarrow VT< 9\Rightarrow$ Vô nghiệm

TH3: $x> 0\Rightarrow VT> 9\Rightarrow$ Vô nghiệm

$\Rightarrow$ Phương trình có 2 nghiệm $x=0$ và $x=-3$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 353: $\sqrt[5]{x-1}+\sqrt[3]{x+8}=-x^3+1$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình 
Nếu x > 0, vế phải phương trình lớn hơn 1 còn vế trái của phương trình nhỏ hơn 1 nên phương trình không có nghiệm.
Nếu x < 0 vế phải của phương trình nhỏ hơn 1 vế trái của phương trình lớn hơn 1 nên phương trình không có nghiệm.
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 517: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{3+2x^{2}y-x^{4}y^{2}}+x^{4}(1-2x^{2})=y^{4} \\ &1+\sqrt{1+(x-y)^{2}}=x^{3}(x^{3}-x+2y^{2}) \end{matrix}\right.$

Bài 370: $\begin{cases} & \sqrt{9-4y^{2}}=2x^{2}+6y^{2}-7 \\ & 2y^{3}+y+2x\sqrt{1-x}= 3\sqrt{1-x} \end{cases}$

ĐK: $x\leq 1, \frac{-3}{2}\leq y\leq \frac{3}{2}$

Pt(2)$\Leftrightarrow y(2y^{2}+1)=\sqrt{1-x}(2(1-x)+1)$

$\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x}$(ĐK: $0\leq y\leq \frac{3}{2}$)

$\Rightarrow x=1-y^{2}$

Thay vào pt(1) rồi bình phương 2 vế ta được pt trùng phương...

đk: $x\geq 1$

ta đặt $\sqrt{x-1}=a\geq 0$

đưa phương trình thứ nhất về dạng cùng cấu trúc hàm:

$y(2y^2+1)=a(2a^2+1)$

xét hàm $f(t)=t(2t^{2}+1)\Rightarrow f{(t)}'=2t^2+1> 0$

từ đó ta được hàm đồng biến trên txđ nên $y=\sqrt{x-1}$ sử dụng phương pháp thế $y^2=x-1$ vì phương trình 2 chỉ xuất hiện đại lượng $y^2$ từ đó tìm ra nghiệm!

Vấn đề là giải quyết pt cuối cùng, ai có phương hướng cho pt này không?

$x^{3}-2x^{2}-4=(x+4)\sqrt{x+4}$