Kí hiệu $p(k)$ là ước số lẻ lớn nhất của k.
Cho n;a là các số nguyên dương.
a/ Tìm n sao cho với mọi a thì: $n+p(n^a)=p(n)+n^a$
b/ Tìm a sao cho với mọi n thì: $n+p(n^a)=p(n)+n^a$

Tìm max của $P=xy+2yz+xz$ biết $x \geq y \geq z >0$ và $1+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}x^2=z^2=5-4y^2$

Có hay không cách chia một tam giác thành 5 tam giác bằng nhau?
Trả lời câu hỏi với 7 phần bằng nhau.

Tìm các số thực x,y,z sao cho:
$(2x-4y)^2+(6y+2z)^2+(2z+2x-1)^2<3$

Cho tam giác ABC. H là trực tâm. Trung điểm BC là M. Nối MH. Vẽ đường vuông góc với MH tại H cắt AB ở E, AC ở F. CMR: HE=HF.

3) $(x^2+8x+17)(y^2-2y+6)=[(x+4)^2+1][(y-1)^2+5] \geq 1.5=5$
Đẳng thức xảy ra <=> x+4=0 và y-1=0 <=> x=-4 và y=1.
5) $(y^2-4y+5)(z^2+6z+13)=[(y-2)^2+1][(z+3)^2+4] \geq 1.4=4$
$-x^2+4x=-(x^2-4x+4)+4=-(x-2)^2+4 \leq 4$
=> y=2;z=-3;x=2.

Giả sử $x_0$ là nghiệm của phương trình trên.
Th1: x=0
=>q=0 (không thỏa mãn)
Th2: $x \neq 0$
=>$0 \vdots x$ => $x^4-px+q \vdots x$ => $q \vdots x$
Suy ra x=q hoặc x=1.
*Nếu x=1 thì p-q=1=>Có một số chẵn và một số lẻ. Chú ý rằng p,q nguyên tố, ta được p=3;q=2.
*Nếu x=q thì: $q^4-pq+q=0$
$=>q(q^3-p+1)=0 <=>q^3-p+1=0$ (do q nguyên tố, khác 0).
$=> p-q^3=1$ =>$p$ và $q^3$ khác tính chẵn lẻ. => p và q khác tính chẵn lẻ. Ta đc p=3;q=2 hoặc p=2;q=3.
Thử lại:không có trường hợp nào thỏa mãn.
*Kết luận: p=3;q=2;x=1.

Lúc đầu có 2005 tấm xanh,0 tấm đỏ. Hiệu chia 4 dư 1.
Sau khi lật 4 tấm bất kì, giả sử trong đó có n tấm xanh và m tấm đỏ (n+m=4). thì số tấm đỏ sau đó tăng thêm n giảm m; số tấm xanh giảm n tăng thêm m. Hiệu của chúng so với trước đó là $x+n-m-(y-n+m)=x-y+2(n-m)$.
Ta có $n-m=n+m-2m=4-2m$ chẵn. => Hiệu số tấm xanh và số tấm đỏ sau và trước khi chuyển đổi có cùng dư khi chia cho 4 (chia 4 dư 1).
Nếu 2005 tấm đỏ, 0 tấm xanh thì hiệu là -2005 chia 4 dư 3 => Không thể thực hiện được.

Đề thi chọn đội tuyển lần 1 toán 8 trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa

(Học kì I)

Thời gian: 60 phút

1/ (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $28x^6+1+3x^2(x^2+1)$
b) $(a+b-3c)^2+(a+b+4c)^2-29c^2$
2/ (2 điểm) Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{2009^3}<\dfrac{1}{4}$
3/ (2 điểm) Cho 4 số a,b,c,d (khác 0) thỏa mãn: abcd=1 và $a+b+c+d=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}$.
Chứng minh rằng: tồn tại tích hai số trong 4 số đó bằng 1.
4/ (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có góc A bằng 90, CB=CD. Từ A vẽ AH vuông góc với BD tại H. Chứng minh rằng: CD,CH,AH là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
5/ (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB<CD). Gọi M,N,P theo thức tự là trung điểm của AB,BD và AC. Đường thẳng vuông góc với MN tại N và đường thẳng vuông góc với MP tại P cắt nhau tại E. Chứng minh: EC=ED.

$H=a^{4k}-1=(a^k-1)(a^k+1)(a^{2k}+1)$
a là snt lớn hơn 5 nên a không chia hết cho 2;3;5.
*Mỗi thừa số đều chia hết cho 2. Do đó H chia hết cho 8.
*a chia 3 dư một thì $a^k-1$ chia hết cho 3.
*a chia 3 dư hai thì $a^2+1$ chia hết cho 3.
Tương tự: nếu a chia 5 dư 1 hoặc 4 thì H chia hết cho 5.
Nếu a chia 5 dư 2 hoặc 3 thì $a^{2k}+1$ chia hết cho 5.
Suy ra H chia hết cho 8;3;5. Do (8;3;5)=1 nên H chia hết cho 120.

chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thỏa mãn đẳng thức x^2 +y^2+z^2=2 thì x+y+z xyz +2

<=>$(x+y+z)^2 \leq (xyz+x^2+y^2+z^2)^2$
Phân tích 2 vế và giản lược, ta được: $0 \leq (xyz)^2+2xyz(x^2+y^2+z^2)$ đúng với mọi x,y,z dương.
Đẳng thức xảy ra <=> xyz=0 <=> Có ít nhất một trong 3 số x;y;z bằng 0.

Đặt 2005=k; 2006=q.
Ta có tử bằng 10001k.(10001q.100000+200006)=10001.10001.100000qk+20006.10001k
Mẫu bằng 10001q.(10001k.100000+20005)=10001.10001.100000qk+20005.10001.q
Ta có 20005.10001.q=(20006-1).10001.(k+1)=20006.10001.k-10001.k+20006.10001-10001=20006.10001.k+10001(2006-1-k)=20006.10001.k (do 2006-1-k=0)
Suy ra Tử bằng Mẫu
Do đó phân bằng 1.

Tìm x,y,z nguyên: $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$.

1. Cho tam giác ABC có AM, AD lần lượt là các đường trung tuyến và phân giác. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD ở E. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AM tại F. Chứng minh rằng:
a) Góc ABC = 90 độ.
b) 3 điểm E,F,C thẳng hàng.
2. Cho tam giác ABC và O là giao điểm 3 đường trung trực. Tìm M trong mặt phẳng để A=MA+MB+MC+MO nhỏ nhất.
3. Cho tam giác ABC có các trung tuyến AM và BN sao cho góc CAM= góc CBN=30. Chứng minh ABC là tam giác đều.

1.Tìm STN có 3 chữ số, biết tổng của 6 STN có 2 chữ số lập bởi 2 trong 3 chữ số ấy gấp đôi số phải tìm.
2.Tìm STN có 2 chữ số, biết nếu chia số ấy cho tích các chữ số của nó thì được 8 : 3 và hiệu giữa số phải tìm với số viết theo thứ tự ngược lại là 18.
3.Tìm 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết tổng các STN có 3 chữ số gồm cả 3 chữ số ấy là 2886, còn hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất là 495.
4.Tìm 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết tổng các STN có 3 chữ số gồm cả 3 chữ số ấy là 1554.
( Em học toán hơi kém, mong mọi người giúp cho! )

1/2.abc=ab+bc+ca+ba+cb+ac=10a+b+10b+c+10c+a+10b+a+10c+b+10a+c=22.(a+b+c)
=>100.a+10.b+c=11.a+11.b+11.c.
=>89.a-b-10.c=0.
=>89.a=bc.
Do bc là số có 2 chữ số nên a=1.
Suy ra b=8 và c=9.
Số cần tìm là 189.
2/Không hiểu đề...
3/Ta có: abc+acb+bac+bca+cab+cba=100.a+10.b+c+100.a+10.c+b+100.b+10.a+c+100.b+10.c+a+100.c+10.a+b+100.c+10.b+a=222.(a+b+c)=1554
Suy ra a+b+c=7.
Do a,b,c khác nhau và khác 0 nên ta có a,b,c bằng 1,2 và 4.

CMR: Với a,b,c,d dương; abcd=1 thì:
$\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4+1}+\dfrac{1}{b^4+c^4+d^4+1}+\dfrac{1}{c^4+d^4+a^4+1}+\dfrac{1}{d^4+a^4+b^4+1}<\dfrac{1}{4}$

baj` nay` la^u oy` , nhung em va^n~ chua ra ( em la` thanh` vien moj' , mong các anh chj. giup' do them )
cho ABC , trên AB lấy M , AC lấy N , sao cho BM=CN , gọi H,K lần lượt là trung điểm của BC và MN . HK cắt AB , AC tại E và F . CM AEF là cân

Nối M với C. Lấy Q là trung điểm của MC.
Theo tính chất đường trung bình thì: KQ//AC và KQ=$\dfrac{1}{2}$NC; QH//MB và QH=$\dfrac{1}{2}$MB.
Do MA=NC nên KQ=QH. => Tam giác KQH cân tại Q.=> Góc QKH= Góc QHK.
Ta có: Góc QKH= Góc CFH (đồng vị)= Góc AFE(đối đỉnh).
Góc QHK= Góc AEF (so le trong).
Mà Góc QKH= Góc QHK nên góc AFE= góc AEF. => Tam giác AEF là tam giác cân.

1)Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB=AC=5 (đvđd). Lấy 2 điểm M,N bất kì trên mặt phẳng. CMR: Luôn tồn tại K nằm trên các cạnh của tam giác ABC sao cho MK+NK lớn hơn độ dài cạnh huyền của tam giác.
2)Cho đoạn thẳng AD. Lấy B,C trên đoạn thẳng sao cho AB=CD. Lấy M bất kì trên mặt phẳng. CMR: MA+MD>MB+MC.

Gọi vận tốc tàu khi nước lặn là a (km/h)
Theo đề bài: $\dfrac{80}{a+4}+\dfrac{80}{a-4}=8h30'=\dfrac{17}{2} (h)
<=> 80 (\dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{a-4})=\dfrac{17}{2}
<=> \dfrac{1}{a+4}+\dfrac{1}{a-4}=\dfrac{17}{160} <=>\dfrac{2a}{a^2-4}=\dfrac{17}{160}
<=> 2a=\dfrac{17a^2-68}{160} <=> 320a=17a^2-68 <=> 17a^2-320a-68=0$
Tời đây giải pt bậc 2 để tìm a

Tìm min, max của: $\dfrac{x^2}{(x^2+4)^3}$

Cho tam giác ABC và M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác đó. Tìm O trên mặt phẳng sao cho MO+MA+MB+MC đạt min.

Giải pt: $2x^2+2y^2+2xy-10x-8y+14=0$

$x^2+5y^2-4xy-x+2y+6=(x-2y+1)(x-2y-2)+y^2+8=0$
Điều đó chỉ đúng khi: (x-2y+1)(x-2y-2)<0
Chú ý rằng x-2y-2<0<x-2y+1
Do đó -1<x-2y+1
Nếu x-2y+1>4 thì x-2y-2>0 (ko thỏa)
=> đpcm

Bài 1. Cho $a,b\in\Bbb{N}^*$ thỏa mãn $a.b=2009^{2010}$. Hỏi $a+b$ có chia hết cho $2010$ hay không ?

Bài 2. Cho $a,b\in\Bbb{N}^*$ nguyên tố cùng nhau sao cho $ab$ chia hết cho $a+b$. Chứng minh rằng $a+b$ là một số chính phương.

1. $2009^{2010} \equiv 2^{2010} (mod 3) $
Mà $ 2^{2010}=4^{1005} \equiv 1 (mod 3) $
Vậy: $2009^{2010}$ chia 3 dư 1.
=> a,b đều chia 3 dư 1.
Vậy: a+b chia 3 dư 2 (tức là không chia hết cho 3)
Mà để a+b chia hết cho 2010 thì a+b phải chia hết cho 3.
=> a+b không chia hết cho 3.

Chứng minh bđt sau với a,b dương:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2+\dfrac{2003.(a-b)^2}{a^2+4004ab+b^2}+\dfrac{2004.(a-b)^2}{a^2+4006ab+b^2}$