Xét tính tăng giảm của dãy số $U_n=\frac{2-n}{\sqrt{n}}$

Xét hiệu: $u_{n}-u_{n+1}=\frac{2-n}{\sqrt{n}}-\frac{1-n}{\sqrt{n+1}}=\frac{(2-n)\sqrt{n+1}-(1-n)\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}> 0$(vì $(2-n)\sqrt{n+1}> (1-n)\sqrt{n}$)

$\Rightarrow$ Dãy số giảm

Thêm hai bài nữa

3,

Mọi người cho mình hỏi tại sao lại không dùng được trình soạn thảo công thức toán vậy?

Máy mình cũng bị nek, sao không gõ được Latex vậy nhỉ?

Hai bài 79 và 80: vpvn và PlanBbyFESN đã cho lời giải đúng. Mình xin tiếp tục:

Bài 81: Cho các số thực thỏa mãn: $x,y,z>0$ và thỏa mãn: $x=y+z+xyz$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2+1)}+\frac{2z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$P=\frac{z(z+xyz+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z(x-y+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z\left [ (x-y).1+2\sqrt{xy}.z \right ]}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{z\sqrt{\left [ (x-y)^{2}+4xy \right ](1+z^{2})}}{(x+y)(1+z^{2})}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}\left ( 1-\frac{z^{2}}{z^{2}+1} \right )=\frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{2z^{3}}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

Khảo sát hàm số $f(t)=3t-2t^{3}$ với $0\leq t=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow P\leq f(t)\leq \sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}+1, y=\sqrt{2}-1, z=1$

Bài 18: Cho $x,y,z$ là ba số thực thỏa mãn: $2x+3y+z=40$. Tìm GTNN của biểu thức:

$S=2\sqrt{x^2+1}+3\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+36}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki ta có:

$S=\sqrt{4x^{2}+4}+\sqrt{9y^{2}+144}+\sqrt{z^{2}+36}\geq \sqrt{(2x+3y+z)^{2}+(2+12+6)^{2}}=20\sqrt{5}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=2, y=8, z=12$

Bài 6: Xét các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2\le 3y$. Tìm GTNN của: 

$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.

Ta có: $(x+1)^{2}\leq 2(x^{2}+1), (z+3)^{2}\leq 4(z^{2}+3)$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{2}{z^{2}+3}=\frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{4}{2(z^{2}+3)}\geq \frac{9}{2(x^{2}+z^{2})+8}\geq \frac{9}{2(3y-y^{2})+8}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{2(3y-y^{2})+8}+\frac{4}{(y+2)^{2}}$

Ta chứng minh: $\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{9}{2(3y-y^{2})+8}\geq 1$

$\Leftrightarrow (y-2)^{2}(2y^{2}+9y+10)\geq 0$(luôn đúng)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=z=1, y=2$

Và tiếp theo là hai bài sau:

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $3(a^2+b^2+c^2)+4abc\ge 13$.

Theo nguyên tắc Đi-rích-lê thì tồn tại 2 số cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1.

Giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1\Leftrightarrow abc\geq c(a+b)-c=c(3-c)-c=2c-c^{2}$

Do đó ta có:

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc\geq \frac{3}{2}(a+b)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{3}{2}(3-c)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{(c-1)^{2}+26}{2}\geq 13$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 2: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh rằng: $(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\le 5(y+z)^3$

Một cách gải khác cho bài toán 2.

Đặt $a=x+y, b=y+z, c=z+x(a,b,c>0)$

Từ gt$\Rightarrow b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca$

Ta có: $b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca\geq 2ca-ca=ca$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca=(c+a)^{2}-3ca\geq (c+a)^{2}-\frac{3}{4}(c+a)^{2}=\frac{1}{4}(c+a)^{2}\Leftrightarrow c+a\leq 2b$

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$a^{3}+c^{3}+3abc\leq 5b^{3}$

$\Leftrightarrow b(c+a-2b)+3(ca-b^{2})\leq 0$(luôn đúng)

Ta có đpcm.

Tiếp theo: 

Bài 30*: Giả sử $x,y,z\ge 0$ thỏa mãn: $x+y+z=3$. Hãy tìm GTNN của biểu thức: $P=x^4+8y^4+64z^4$

Giả định $x=a, y=b, z=c$

Áp dụng AM-GM ta có:

$x^{4}+a^{4}+a^{4}+a^{4}\geq 4xa^{3}$

$8(y^{4}+b^{4}+b^{4}+b^{4})\geq 32yb^{3}$

$64(z^{4}+c^{4}+c^{4}+c^{4})\geq 256zc^{3}$

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

$P\geq 4xa^{3}+32yb^{3}+256zc^{3}-3a^{4}-24b^{4}-192c^{4}$

Ta tìm $a,b,c$ thoả mãn hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} &a+b+c=3 \\ &4a^{3}=32b^{3}=256z^{3} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &a=\frac{12}{7} & \\ &b=\frac{6}{7} & \\ &c=\frac{3}{7} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P\geq \frac{5184}{343}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=\frac{12}{7}, y=\frac{6}{7}, z=\frac{3}{7}$

Bài 70 : Giải pt : $\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{2x-9}=\sqrt[3]{4x-3}$ 

Đặt $\sqrt[3]{3x+1}=a, \sqrt[3]{5-x}=b, \sqrt[3]{2x-9}=c$

$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=4x-3$

Khi đó ta có:

$a+b+c=\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}+2abc)=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$

Đến đây dễ rồi

Dạng tổng quát ta làm tương tự thôi

Mình xin đánh lại STT

Bài 337: $\sqrt[3]{6x^3+2}-\sqrt{3x^2-3x+1}=1$

Bài 338: $2x= (\sqrt[3]{9x+9}-x)^3+3$

Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$

Bài 340: $\begin{cases} & y+\sqrt{3y^{2}-2y+6+3x^{2}}=3x+\sqrt{7x^{2}+7}+2 \\ & 3y^{2}-4x^{2}-3y+3x=-1 \end{cases}$

P/s: Bây giờ mong các bạn tạm thời dừng việc đăng bài mới lại và hãy tập trung giải quyết những bài tập chưa có lời giải của topic. Dạo gần đây mình thấy có quá nhiều bài tập chưa được giải nên topic đã bị loãng đi khá nhiều. Về việc tổng hợp các bài tập thì khi nào rảnh mình sẽ làm. 

Bài 246: Tìm nghiệm dương của phương trình: $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

Bài 247: $\sqrt{x}+\sqrt[4]{x(1-x)^{2}}+\sqrt[4]{(1-x)^{3}}=\sqrt{1-x}+\sqrt[4]{x^{3}}+\sqrt[4]{x^{2}(1-x)}$

đề nghị chủ topic thống kê lại những bài làm rồi và chưa làm đi nào

Bạn có thể xem ở trang 16

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 41: $\left\{\begin{matrix} &x+y+z=0 & \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=10 & \\ &x^{7}+y^{7}+z^{7}=350 & \end{matrix}\right.$

Xin được trích lại một bài viết của anh nthoangcute

Áp dụng đẳng thức: $350=x^{7}+y^{7}+z^{7}=7xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx)^{2}$

$\Rightarrow xyz(10+xy+yz+zx)^{2}=50$

Từ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=10$ và $x+y+z=0\Rightarrow xy+yz+zx=-5$

$\Rightarrow xyz=2$

Áp dụng Vi-et bậc 3 ta thấy x,y,z là nghiệm của pt:

$X^{3}-5X-2=0$

...

Bài 474: $\left\{\begin{matrix} &4(x+y)(x+1)(y+1)=5xy+(x+y+1)^{3} \\ &\sqrt{(2-x)(x-1)}=\sqrt{(3-y)(y-1)} \end{matrix}\right.$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 106: $2(2x-3)(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x-1})=3x-2$

ĐK: $x\geq 1$

$\Rightarrow VP> 0\Rightarrow 2x-3> 0\Leftrightarrow x> \frac{3}{2}$

Pt$\Leftrightarrow 2(2x-3)\left [ (\sqrt[3]{x-1}-1)+(\sqrt{x-1}-1) \right ]=3x-2-4(2x-3)$

$\Leftrightarrow 2(2x-3)\left [ \frac{x-2}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1} \right ]+5x-10=0$

$\Leftrightarrow 2(2x-3)(x-2)\left [ \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1} \right ]+5(x-2)=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(\frac{2(2x-3)}{\sqrt[3]{(x-1)^{2}}+\sqrt[3]{x-1}+1}+\frac{2(2x-3)}{\sqrt{x-1}+1}+5)=0$

$\Rightarrow x=2$(vì phần trong ngoặc luôn dương)

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 480: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}+4x-5=\sqrt{-y^{2}-6y-1} \\ &x+1=\sqrt{17-4y-16x} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

(y) Hợp tiêu chí... "cứ làm mọi thứ" cho đơn giản (nhưng vẫn chứa mẹo nên vẫn không hài lòng bằng lời giải của leminhnghiatt.)

Mình thấy có một số bạn hỏi về pp làm những dạng này, đó là U.C.T. Nhân tiện mình sẽ nói qua pp này qua bài 480...

Ta xét hệ tổng quát: $\left\{\begin{matrix} &ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0 \\ &a^{'}x^{2}+b^{'}y^{2}+c^{'}x+d^{'}y+e^{'}=0 \end{matrix}\right.$

Như vậy ta phải tìm hằng số k sao cho PT(1)+k.PT(2) có thể đưa về dạng:

$(a+ka^{'})(x+\alpha )^{2}+(b+kb^{'})(y+\beta )^{2}=0$

$\Leftrightarrow (a+ka^{'})x^{2}+(b+kb^{'})y^{2}+2x\alpha (a+ka^{'})+2y\beta (b+kb^{'})+(a+ka^{'})\alpha ^{2}+(b+kb^{'})\beta ^{2}=0$

PT(1)+k.PT(2)$\Leftrightarrow (a+ka^{'})x^{2}+(b+kb^{'})y^{2}+(c+kc^{'})x+(d+kd^{'})y+e+ke^{'}=0$

Khi đó ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &2\alpha (a+ka^{'})=c+kc^{'} & \\ &2\beta (b+kb^{'})=d+kd^{'} & \\ &(a+ka^{'})\alpha ^{2}+(b+kb^{'})\beta ^{2}=e+ke^{'} & \end{matrix}\right.$

Áp dụng vào bài 480 thay các hệ số vào ta được hệ phương trình 3 ẩn:

$\left\{\begin{matrix} &2\alpha (6+k)=8+18k & \\ &2\beta =6+4k & \\ &(6+k)\alpha ^{2}+\beta ^{2}=-10-16k \ & \end{matrix}\right.$

Từ đây ta giải được: $\left\{\begin{matrix} &k=-1 & \\ &\alpha =-1 & \\ &\beta =1 & \end{matrix}\right.$

332.$\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=\frac{9}{2}& \\ & \frac{1}{4}+\frac{3}{2}(x+\frac{1}{y})=xy+\frac{1}{xy} \end{matrix}\right.$

Bài 14: Giải PT: $(x-1)(2\sqrt{x-1}+3\sqrt[3]{x+6})=x+6$

 

Bài 8 :  $\left\{\begin{matrix} xy +x^{2}=2 \\ 2x^{2}-y^{2}=2 \end{matrix}\right.$

 

Bài 483: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\dfrac{2x^{2}+4y^{2}}{xy}=4\sqrt{(\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{x})(x+y)}-1 \\ &\sqrt{(x+1)^{2}+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} \end{matrix}\right.$

Bài 445: 1) $x^3-6=\sqrt[3]{x+6}$

2)$\sqrt{5-x}-\sqrt{3x+1}=8x^2+16x-24$

3)$\sqrt{2x-1}-\sqrt{5x-2}=(5x-2)^3-(2x-1)^3$

4)$\sqrt[3]{x^2+1}+\sqrt[5]{2x^2+2}=\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[5]{x+3}$

5)$x+\sqrt{2x}=\frac{1}{x}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}$

1, Đặt $\sqrt[3]{x+6}=t$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &t^{3}=x+6 \\ &x^{3}=t+6 \end{matrix}\right.$

Trừ 2 pt trên vế theo vế ta được:

$(t-x)(t^{2}+tx+x^{2}+1)=0$

$\Leftrightarrow t=x$

...

2, ĐK: $\frac{-1}{3}\leq x\leq 5$

Pt$\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{5-x}+\sqrt{3x+1}}+2(x-1)(x+3)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)\left ( \frac{1}{\sqrt{5-x}+\sqrt{3x+1}}+2(x+3) \right )=0$

$\Leftrightarrow x=1$(vì phần trong ngoặc luôn dương)

Các bài 3,4,5 đều là các bài tương tự như bài 2

Bài 541: $\left\{\begin{matrix} &xy+\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}=1 \\ &x^{2009}y^{2013}+x^{2013}y^{2009}=\dfrac{2}{3^{2011}} \end{matrix}\right.$

Bài 329: $\begin{cases} & x\sqrt{1-97y^{2}}+y\sqrt{1-97x^{2}}=\sqrt{97}(x^{2}+y^{2}) \\ & 27\sqrt{x}+8\sqrt{y} =\sqrt{97} \end{cases}$

Trích bài viết của một người "ẩn danh"

Bài 446: 1)$\left\{\begin{matrix} & x^3+2x=3(y+1)\sqrt{3y+1}\\ & \sqrt{2x-3}+\sqrt{3y-2}=2\end{matrix}\right.$

2)$\left\{\begin{matrix} & x^3-3x^2+2=\sqrt{y^3+3y^2}\\ & 3\sqrt{x-2}=\sqrt{y^2+8y}\end{matrix}\right.$

1, ĐK: $x\geq \frac{3}{2}, y\geq \frac{2}{3}$

Pt(1)$\Leftrightarrow x^{3}+2x=\sqrt{(3y+1)^{3}}+2\sqrt{3y+1}$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{3y+1}$

$\Leftrightarrow y=\frac{x^{2}-1}{3}$

Đến đây chắc dễ rồi...

2, ĐK: $x\geq 2, y\geq 0$

Pt(1)$\Leftrightarrow (x-1)^{3}-3(x-1)=\sqrt{(y+3)^{3}}-3\sqrt{y+3}$

$\Rightarrow x-1=\sqrt{y+3}$

$\Leftrightarrow y=x^{2}-2x-2$

Đến đây thay vào pt(2) rồi bình phương...